- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
Второй дифференциал функции.
Вернемся к формуле (2). Она означает, что второй дифференциал является квадратичной формой от переменных . Как известно из курса алгебры, квадратичной форме сопоставляется матрица квадратичной формы, в рассматриваемом случае имеющая вид и называемая иногда матрицей Гессе.
Вопрос 41. Формулы Тейлора.
Теорема 41.1
Пусть функция имеет непрерывные производные до порядка и включительно в окрестности точки и непрерывные производные порядка в . Тогда для любой точки существует число , такое, что (1) ,
где все дифференциалы вычислены при (2).
Доказательство.
Соединим в пространстве точку с точкой прямолинейным отрезком; запишем параметрические уравнения этого отрезка: любая его точка имеет вид (3) .
При получаем , при получаем .
Рассмотрим функцию одной переменной , определенную на отрезке . Уравнение (3) представляет собой случай уравнения (6) из вопроса 40.
Поэтому, при вычислении получаем, в соответствии с (3),(4) и (6) из вопроса 40, что , . (4)
Осталось применить к функции теорему 25.1, точнее, формулу (8) из вопроса 25:
(6)
Подставляя в (6) из (4) и (5), получаем утверждение теоремы.
Теорема 41.2
Пусть функция имеет непрерывные производные до порядка включительно в точки . Тогда , где .
Для доказательства достаточно использовать теорему 26.1 вопроса 26.
Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
Пусть определена в окрестности точки . Будем говорить, что - точка минимума (строгого), если для всех из некоторой проколотой окрестности . Точка - точка минимума, если для всех . Точки минимума обычно называются точками экстремума.
Теорема.
Если - точка экстремума и существует , то .
Доказательство.
Рассмотрим точки, у которых все координаты, кроме i - ой фиксированы и равны координатам точки , а координата меняется. Тогда функцию можно рассматривать как функцию от этой точки. Поэтому производная этой функции равна 0. Вместе с тем она, по определению, есть . Теорема доказана.
Замечание.
Разумеется, в точке экстремума частные производные могут и не существовать.
Пример.
. Эта точка, очевидно, точка минимума, т.к. если хотя бы одно из чисел , было отлично от 0, величина . Но и , поэтому частные производные в точках и не существуют.
Замечание.
Если все частные производные в точке экстремума существуют, то все они равны 0 и , а также , как функция от .
Замечание.
В точке экстремума дифференцируемой функции касательная плоскость параллельна плоскости .
Достаточные условия экстремума.
Сначала мы изложим схему исследования функции на экстремум. Прежде всего, найдем стационарные точки , т. е. такие, что (или ). Затем, предполагая, что имеет частные производные до 2-го порядка включительно, непрерывные в стационарных точках, применим в этих точках формулу Тейлора , где при .
(Поскольку - точка, близкая к 0, а производные 2-го порядка непрерывные и .) Таким образом, знак приращения совпадает со знаком 2-го дифференциала. Второй дифференциал есть квадратичная форма от . Если это – положительно определенная форма, то и в точке - минимум. Если отрицательно определенная, то - максимум. Если форма неопределенная (т.е. меняет знак), то экстремума нет. Для выяснения вопроса определенности формы можно использовать критерий Сильвестра из курса линейной алгебры.
Для этого следует рассмотреть определитель(гессиан)
, где обозначают производные и его главные миноры, т.е. , , .
Если все эти миноры положительные, то - точка минимума. Если знаки этих миноров чередуются, начиная со знака «-» - то - точка максимума.
В двумерном случае имеем геометрическую иллюстрацию. При данных условиях в окресности точки экстремума график функции имеет вид «почти» эллиптического параболоида:
В случае точки минимума
В случае точки максимума
Если же график «почти» гиперболического параболоида (седло), то экстремума нет.