- •Вопросы экзамена по математическому анализу для студентов 1 курса экономического факультета анх
- •Вопрос 1: множества и операции над ними
- •Вопрос 2 : декартово произведение множеств, бинарные отношения
- •Вопрос 3: отображения и их свойства
- •Вопрос 4: множество действительных чисел. Аксиома отделимости
- •§1. Натуральные числа
- •§ 1΄. Аксиомы Пеано
- •§ 2. Целые числа
- •§ 3. Рациональные числа
- •§4. Действительные числа
- •Вопрос 5:верхняя и нижняя грани
- •2. Стягивающиеся отрезки
- •Вопрос 6. Предельные точки
- •Вопрос 7. Приближённые вычисления
- •Вопрос 8. Предел последовательности. Предел функции. Бесконечно малые величины .Арифметические свойства предела
- •Вопрос 9. Предельный переход в неравенствах. Вычисление
- •Вопрос 10: предел монотонной ограниченной функции
- •Вопрос 11: число e
- •Вопрос 12: критерий коши существования предела последовательности, предела функции
- •Вопрос 13: непрерывность. Точки разрыва.Свойства непрерывных функций
- •1. Непрерывна в точке ;
- •2. Существует такая , что.
- •Вопрос 14: непрерывность элементарных функций
- •Вопрос 15: символы ,. Вычисление ,,
- •Вопрос 16: промежуточные значения непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 17: ограниченность непрерывной на отрезке функции
- •Вопрос 18: равномерная непрерывность
- •Вопрос 19: производная, её естественнонаучный смысл и основные свойства
- •1. Дифференцируемость функции
- •2.Производная
- •3. Касательная к графику функции
- •4. Правила дифференцирования
- •4. Производная обратной функции
- •6. Производная сложной функции
- •7. Производная функции, заданной параметрически
- •Вопрос 20: дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала
- •1.Понятие дифференциала числовой функции
- •4.Дифференциал суммы, произведения и частного функций.
- •Вопрос 21:производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Последовательные производные
- •2. Примеры
- •3. Линейное свойство производных высших порядков
- •Вопрос 22.
- •Вопрос 23: теоремы ферма, ролля. Необходимые условия экстремума
- •Вопрос 24:теоремы лагранжа, коши.Критерий постоянства функции
- •Вопрос 25: формула тейлора с остаточным членом в форме лагранжа
- •Вопрос 26. Формула тейлора с остаточным членом в форме пеано
- •Вопрос 28: правила лопиталя
- •1. Неопределённость типа
- •Вопрос 29: монотонность функции. Достаточные условия экстремума функции
- •Вопрос 30. Функции спроса торнквиста. Функция полезности. Выпуклость графикафункции.
- •2.Производственные функции.
- •5. Выпуклость графика функции.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно
- •1.Выпуклость непрерывной функции
- •2. Выпуклость дифференцируемой функции
- •3. Выпуклость дважды дифференцируемой функции
- •4.Точки перегиба
- •31. Пространство , множества в нем.
- •Вопрос32.Функции и отображения. Предел, непрерывность.
- •Функции Кобба-Дугласа.
- •Вопрос 33. Дифференцируемость функции многих переменных. Частные производные
- •Вопрос 34.
- •Вопрос 35.
- •Производная сложной функции. Инвариантность формы первого дифференциала.
- •Вопрос 36. Касательная плоскость
- •Вопрос 37. Производная по направлению, градиент.
- •Необязательный материал, но знание его весьма полезно Матрица Якоби и ее свойства.
- •Вопрос 39. Производные высших порядков
- •Дифференциалы высших порядков
- •Второй дифференциал функции.
- •Вопрос 41. Формулы Тейлора.
- •Билет 42. Экстремумы функций нескольких переменных.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Метод наименьших квадратов.
Метод наименьших квадратов.
В различных исследованиях приходится пользоваться формулами, составленными на основании эксперимента. Одним из лучших способов получения формул является метод наименьших квадратов.
Пусть на основании эксперимента необходимо установить функциональную зависимость между переменными величинами x и y , например, между температурой и удлинением прямолинейного металлического стержня. Производим n измерений, по результатам составляем таблицу
X |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
Y |
y1 |
y2 |
… |
yi |
… |
yn |
При этом вид функции устанавливается из теоретических исследований, или по характеру положения на координатной плоскости экспериментальных точек. Пусть, например, точки, взятые из таблицы, расположены так, как показано на рис. 45. В данном случае естественно предположить, что между и существует линейная зависимость, выражающаяся формулой
(1)
Мы ограничимся рассмотрением случая линейной зависимости.
Так как точки (x1;y1),(x2;y2),…,(xn;yn) приблизительно лежат на одной прямой, то формула (1) является приближенной. Поэтому, подставляя их координаты в формулу (1) вместо и получим следующие равенства: , , ………………, .
где некоторые числа, которые назовем погрешностями.
Возникает задача – подобрать коэффициенты таким образом, чтобы эти погрешности были возможно, меньше по абсолютной величине. Методом решения этой задачи и является метод наименьших квадратов. Согласно этому методу рассмотрим сумму квадратов погрешностей: .
где и - заданные числа, а коэффициенты – неизвестные величины, подлежащие определению, т.е. можно рассматривать как функцию двух переменных и исследовать ее на экстремум.
Имеем , .
Приравнивая эти частные производные нулю, получаем линейную систему двух уравнений с двумя неизвестными : (2)
Система (2) называется нормальной системой метода наименьших квадратов. Из нее мы находим числа , подставляя их в уравнение (1), получаем форму искомой прямой.
Во – первых, для разрешимости системы (2) потребуется условие
= (3)
Лемма. Величина в правой части (3) равна и, следовательно, больше 0.
Доказательство. Правая часть этого равенства равна
Эту сумму легко сгруппировать и получить .
Итак, такие a, b , чтобы выполнялась система (2), существуют. Чтобы проверить, что в этих точках функция S(a,b) действительно имеет минимум, вычислим . Следовательно, определитель
, по лемме имеет положительные главные миноры, поэтому найденная точка – точка минимума.
Пример. Пусть в результате эксперимента получены пять значений искомой функции у при пяти значениях аргумента х (n=5), которые записаны в таблице: дем искать функциональную зависимость между x и y в виде линейной функции y=ax+b.
При составлении нормальной системы (2) для определения коэффициентов a и b, вычисляем
Система (2) принимает вид
25a+5b=16,5,
5a+5b=8.
Решая эту систему, находим: a=0,425,b=1,175. Отсюда формула искомой прямой есть
y=0,425x+1,175.