7

§3. Ускорение и его составляющие

Вслучае неравномерного движения важно знать, как быстро изменяется скорость с течением времени. Физической величиной, характеризующей быстроту изменения скорости по модулю и направлению, является ускорение.

Пусть вектор v задает скорость точки А в момент времени t. За времяΔt движущаяся точка перешла в положение В и приобрела скорость, отличную от v как по модулю, так и направлению, равную v1 = v +Δv. Перенесем вектор v1 в точку А и найдем Δv (рис. 4).

		Δvτ			Средним ускорением неравномерного
v	C		D		движения в интервале от t			до	t + Δt
		Δs			называется векторная величина, равная
A			B
					отношению изменения скорости Δv к
			E		интервалу времени	t:
Δvn		Δv		v1	a	Δv
						= ∆t
					Мгновенным			ускорением
					а (ускорением) материальной точки в
	0				момент времени	t	будет		предел
					среднего ускорения:
							Δv	= dv
	Рис. 4				a = lim a = lim				(3.1)
					∆t→0	∆t→0	∆t	dt

Таким образом, ускорение а есть векторная величина, равная первой производной скорости по времени.

Разложим вектор Δv на две составляющие. Для этого из точки А (см. рис. 4) по направлению скорости v отложим вектор AD, по модулю равный v1. Очевидно, что вектор CD, равный Δvτ, представляет собой изменение скорости по модулю за время Δt: Δυτ = υ1 — υ. Вторая же составляющая вектора Δv— Δvn характеризует изменение скорости за время Δt по направлению.

Предел отношения ∆∆υtτ , являющийся производной от скорости по времени, определяет быстроту изменения скорости в данный момент времени t

и является тангенциальной составляющей ускорения				aτ:
aτ = lim	∆υτ = lim	∆υ	= dυ	(3.2)
∆t→0	∆t ∆t→0	∆t	dt

Определим вторую составляющую ускорения. Допустим, что точка В достаточно близка к точке А, поэтому Δs можно считать дугой окружности некоторого радиуса r, мало отличающейся от хорды АВ. Тогда из подобия треугольников АОВ и EAD следует Δvn/АВ = υ1/r, но так как АВ = υ Δt, то

				8
			∆υn	= υυ1
			∆t	к
В пределе при Δt → 0	v1	→ v.
Поскольку v1 → v, угол EAD стремится к нулю, а так как треугольник
EAD равнобедренный, то угол ADE между v и Δvn, стремится к прямому.
Следовательно, при→t	0	векторы		Δvn	и v	оказываются взаимно
перпендикулярными. Так		как вектор		скорости	направлен по касательной к

траектории, то вектор Δvn, перпендикулярный скорости, будет направлен к центру круга ее кривизны. Вторая составляющая ускорения, равная

an = lim	∆υ	n =	υ2	,	(3.3)
			r
∆t→0	∆t

называется нормальной составляющей ускорения и направлена по нормали к траектории к центру ее кривизны (поэтому ее называют также

центростремительным ускорением).

Полное ускорение тела есть геометрическая сумма тангенциальной и нормальной составляющих (рис. 5):

v			a = dv = aτ +an			(3.4)
aτ			dt
	a	Итак,	тангенциальная		составляющая
		ускорения	характеризует	быстроту		изменения
an		скорости по модулю (направлена по касательной
		к траектории), а нормальная составляющая
		ускорения	характеризует	быстроту		изменения
Рис. 5		скорости по направлению (направлена к центру
		кривизны траектории). С учетом тангенциальной

инормальной составляющих ускорения

движение можно классифицировать следующим образом:

1)аτ = 0, аn = 0 — прямолинейное равномерное движение;

2)аτ = а = const, an = 0 — прямолинейное равнопеременное движение. При таком виде движения

aτ = a =	∆υ	=	υ2	− υ1
	∆t		t2	− t1

Если начальный момент времени t1 = 0, а начальная скоростьυ 1 = υ0, то, обозначив t2 = t и υ2 = υ, получим a = (υ – υ0)/t, откуда

υ= υ0 + at

9

Проинтегрировав эту формулу в пределах от нуля до произвольного момента времени t, получим формулу для пройденного пути в случае равнопеременного движения:

s = ∫t υ dt = ∫t (υ0 + at)dt = υ0 t + at2 / 2 ;

00

3)аτ = f (t), аn = 0 — прямолинейное движение с переменным ускорением;

4)аτ = 0, а n= const. При а τ = 0 скорость по модулю не изменяется, а изменяется по направлению. Из формулы аn= υ2/r следует, что радиус кривизны должен быть постоянным. Следовательно, имеем дело с равномерным движением по окружности;

5)аτ =0, аn = f (t) — равномерное криволинейное движение;

6)аτ =const, аn ≠ 0 — криволинейное равнопеременное движение;

7)аτ = f (t), аn ≠ 0 — криволинейное движение с переменным ускорением.

§4. Угловая скорость и угловое ускорение

Вслучае движения материальной точки по окружности по аналогии с линейными скоростью и

		ускорением вводятся угловая скорость и угловое
Δφ		ускорение.
		Пусть точка движется по окружности радиуса R
R
	s	(рис. 6). Ее положение через малый					промежуток
		времени зададим углом Δφ. Угловой скоростью
		называется векторная величина, равная первой
Рис. 6		производной угла поворота тела по времени:
		ω = lim	ϕ	=	dϕ		(4.1)
			∆t		dt
		∆t→0

Направление вектора угловой скорости задается правилом винта: вектор угловой скорости совпадает по направлению с поступательным движением острия винта, головка которого вращается в направлении движения точки по

окружности (рис. 7). Размерность угловой скоростиω][ =Т					-1, а ее единица —
ω	радиан в секунду (рад/с).
	Линейная скорость точки (см. рис. 6)
	υ= lim	∆s	= lim R∆ϕ	= R lim	∆ϕ	= ds	= Rω
	∆t→0	∆t	∆t→0 ∆t	∆t→0	∆t	dt
0 R	v т. е.		υ= ωR.
Рис. 7

10

Если ω = const,то вращение равномерное и его можно характеризовать периодом вращения Т — временем, за которое точка совершает один полный оборот, т. е. поворачивается на уголπ2. Так как промежутку времениΔt =Т соответствует Δφ = 2π, то

ω = 2 π /Т.

Число полных оборотов, совершаемых телом при равномерном его движении по окружности, в единицу времени называется частотой вращения:

n = 1/Т= ω /(2π),

откуда

ω = 2πn.

Угловым ускорением называется векторная величина, равная первой производной угловой скорости по времени:

ε = ddtω. (4.2)

Из этой формулы следует, что вектор углового ускорения направлен по оси вращения в сторону вектора элементарного приращения угловой скорости. При ускоренном движении вектор ε параллелен вектору ω (рис. 8), при замедленном антипараллелен (рис. 9).

dω

> 0

ω2

dω

< 0

ω1

dt

ω1

dt

ω2

0

ε

ε

Рис. 8

Рис. 9

Тангенциальная составляющая ускорения

aτ =

dυ

, υ= ωR и aτ =

d(ωR)

= R

dω

= Rε

dt

dt

dt

Нормальная составляющая ускорения

an

= υ2

= ω2 R2

= ω2 R

R

R