16

Трение играет большую роль в природе и технике. Благодаря трению движется транспорт, удерживается забитый в стену гвоздь и т. д. В некоторых случаях силы трения оказывают вредное действие и поэтому их надо уменьшать. Для этого на трущиеся поверхности наносят смазку (сила трения уменьшается примерно в 10 раз), которая заполняет неровности между трущимися поверхностями и располагается тонким слоем между ними так, что поверхности как бы перестают касаться друг друга, а скользят относительно друг друга отдельные слои жидкости. Таким образом, внешнее трение твердых тел заменяется значительно меньшим внутренним трением жидкости.

Довольно радикальным способом уменьшения силы трения является замена трения скольжения трением качения (шариковые и роликовые подшипники и т. д.). Коэффициент трения качения в десятки раз меньше коэффициента трения скольжения.

§ 9. Закон сохранения количества движения (импульса)

Для вывода закона сохранения импульса рассмотрим некоторые понятия. Совокупность материальных точек и тел, рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной). Если мы имеем механическую систему, состоящую из многих тел, то, согласно третьему закону Ньютона, силы, действующие между этими телами, будут равны и противоположно направлены, т. е. геометрическая сумма внутренних сил равна нулю.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n тел, масса и скорость которых соответственно равны m1, m2, … mn, и v 1, v2, … vn. Пусть F' — равнодействующая всех приложенных к данному телу внутренних сил, а F — равнодействующая приложенных к данному телу внешних сил. Запишем второй закон Ньютона для каждого из n тел механической системы:

dtd ( m1v1 ) = F1′ +F1

dtd ( m2 v2 ) = F2′ +F2

. . . . . . . . .

dtd ( mn vn ) = Fn′ +Fn

17

Складывая почленно эти уравнения, получим

dtd ( m1v1 + m2 v2 +...+ mn vn ) = F1′ +F2′ +... +Fn′ +F1 +F2 +... +Fn

Но так как геометрическая сумма внутренних сил механической системы по третьему закону Ньютона равна нулю, то

dtd ( m1v1 + m2 v2 +...+ mn vn ) = F1 +F2 +... +Fn

или

dp	= F	+F	+... +F	(9.1)
dt	1	2	n

Таким образом, производная по времени от количества движения механической системы равна геометрической сумме внешних сил, действующих на систему.

Рассматривая замкнутую систему, можем записать

F1 + F2 + … + Fn = 0

Таким образом,

dp

=

d

( m v

1

+ m v

2

+...+ m v

n

) = 0

(9.2)

dt

dt

1

2

n

или

dp

d

=

n

( m v

) = 0

∑

i

dt

i=1 dt

i

т. е.

p = ∑n

mi vi

= const

(9.3)

i=1

Это выражение и является законом сохранения количества движения

(импульса) - количество движения (импульс) замкнутой механической системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени. Этот закон справедлив не только в рамках классической механики. Он является фундаментальным законом природы.

§ 10. Уравнение движения тела переменной массы

Движение некоторых тел сопровождается изменением их массы, например масса ракеты уменьшается за счет истечения газов, образующихся при сгорании топлива, и т. п. Если система выбрасывает часть своей массы в каком-то определенном направлении, то она получает количество движения в

18

противоположном направлении. В этом заключается физическая сущность принципа реактивного движения лежащего в основе ракетной техники.

Выведем уравнение движения тела переменной массы на примере движения ракеты. Если в момент времени t масса ракеты m, а ее скорость v, то по истечении времени dt ее масса становится равной m - dm, а скорость - v + dv. Изменение количества движения

dp = (m - dm)(v + dv) + (v + dv - u)dm - mv,

или

dp = mdv — udm,

где u — скорость истечения газов из ракеты.

Если на систему действуют внешние силы, то dp = Fdt, поэтому

Fdt = mdv — udm,

	или
	m	dv	= F +u dm	(10.1)
		dt
			dt

Член u dmdt есть дополнительная сила, ее называют реактивной силой Fp. Таким образом, мы получили уравнение движения тела переменной массы

ma = F + Fp

(10.2)

Применим уравнение (10.1) к движению ракеты, на которую не действуют никакие внешние силы. Полагая F = 0 и учитывая, что скорость истечения газов из ракеты по направлению противоположна скорости ракеты, получим

	m		dv			= −u dm
			dt
						dt
	или в скалярной форме
	m		dυ			= −u dm
			dt
						dt
	откуда
	υ= −u∫dm					= −u ln m + C
			m

Значение постоянной интегрирования С определим из начальных условий. Если в начальный момент времени скорость ракеты равна нулю, а ее

масса m0, то С = u ln m0. Следовательно,
υ = u ln (m0/m).	(10.3)

19

Это соотношение называется формулой Циолковского. Онo показывает,

что:

1) чем больше полезная нагрузка, тем больше должна быть начальная масса ракеты m0;

2) чем больше скорость истечения газов, тем больше может быть полезная нагрузка при данной массе ракеты.

Глава 3. Работа и энергия

§ 11. Энергия, работа, мощность

Энергия — универсальная количественная мера движения и взаимодействия всех видов материи. С различными формами движения материи связывают различные формы энергии: механическую, тепловую, электромагнитную, ядерную и др.

В одних явлениях форма движения материи не изменяется (например, горячее тело нагревает холодное), в других— переходит в другую форму (например, в результате трения механическое движение превращается в тепловое). Однако существенно, что во всех случаях энергия, отданная (в той или иной форме) другому телу, равна энергии, полученной вторым телом.

Изменение механического движения тела вызывается силами, действующими на него со стороны других тел. Чтобы количественно характеризовать процесс обмена энергией между взаимодействующими телами, в механике рассматривают работу силы, приложенной к данному телу.

Если тело движется прямолинейно и на него действует постоянная сила F, составляющая некоторый уголα с направлением перемещения, то работа этой силы равна произведению проекции силы Fs на направление перемещения, умноженной на перемещение точки приложения силы:

А = Fss = Fs cos α

(11.1)

В общем случае сила может изменяться как по модулю, так и по направлению. Чтобы найти работу переменной силы, пройденный путь разбивают на большое число достаточно малых элементов, чтобы их можно было считать прямолинейными, а действующую силу в любой точке данного элемента — постоянной. Тогда элементарная работа (рис. 14)

dAi = Fsidsi = Fi dsi cosαi

Fi

	vi
αi	Fsi

dsi

а работа переменной силы на всем пути MN будет равна сумме элементарных работ:

Рис. 14

20

								A = N∫Fsi dsi = N∫Fidsi		cosαi	(11.2)
								M	M
						Для вычисления этого интеграла надо знать зависимость Fs					от s вдоль
			траектории МN. Если эта зависимость представлена графически (рис. 15), то
								искомая работа А определяется заштрихованной на
								графике площадью. Если, например, тело			движется
Fs						dA		прямолинейно, сила F = const и α = const, то получим
									A = N∫Fdscosα = FcosαN∫ds = Fscosα,
									M	M
			A
								где s — пройденный телом путь (см. также формулу
								(11.1)).
							s
						ds		Из формулы (11.2) следует, что приα < π/2работа
								силы положительна, в этом случае составляющая Fsi
			Рис. 15
								совпадает по направлению с вектором скорости движения
								v. Еслиα	> π/2,то работа силы отрицательна,		в этом

случае работа совершается против данной силы. Приα = π/ 2 (сила направлена перпендикулярно перемещению) работа силы равна нулю. Единица работы — джоуль (Дж):1 Дж - работа, совершаемая силой в. 1 Н на пути в 1 м.

Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности. Мощность N есть физическая величина, равная отношению работы А к промежутку времени t, за который она совершена:

N = ∆∆At

Если тело движется с постоянной скоростью v под действием силы F, то мощность может быть выражена формулой

	N =	∆A	=	Fs ∆s	= Fs υ	(11.3)
		∆t		∆t

т. е. равна произведению проекции силы на направление перемещения на скорость тела.

В случае переменной мощности (за малые одинаковые промежутки

времени Δt совершается неодинаков		ая	работаА) вводится понятие
мгновенной мощности:	∆A	= dA
N = lim			(11.4)
∆t→0	∆t	dt

Если мгновенная мощность (11.4) не постоянна, то формула (11.3) определяет