21

среднюю мощность <N>. Единица мощности — ватт (Вт): 1 Вт — мощность, при которой за время 1 с совершается работа в 1 Дж (1 Вт = 1 Дж/с).

§ 12. Кинетическая и потенциальная энергии

Кинетическая энергия тела является мерой его механического движения и определяется работой, которую необходимо совершить, чтобы вызвать данное движение тела.

Если сила F действует на покоящееся тело и вызывает его движение со скоростью v, то она совершает работу, а энергия движущегося тела возрастает на величину затраченной работы. Таким образом, работа силы F на пути, который тело прошло за время возрастания скорости от 0 до v, идет на увеличение кинетической энергии тела, т. е.

				dA = dT.
	Используя скалярную запись второго закона Ньютона F = m				dυ	и
					dt
	умножая обе части равенства на перемещение ds, получим
		m	dυ	ds = Fds = dA
	Так как υ= ds		dt
		, то
	dt

dA = mυdυ= dT

и

T = ∫υ mυdυ= mυ2 / 2

0

Таким образом, для тела массой m, движущегося со скоростью v, кинетическая энергия

T = mυ2 / 2

(12.1)

Из формулы (12.1) видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т. е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее движения.

При выводе формулы (12.1) предполагалось, что движение рассматривается в инерциальной системе отсчета, так как иначе нельзя было бы использовать закон Ньютона. В разных инерциальных системах отсчета, движущихся друг относительно друга, скорость тела, а следовательно, и его кинетическая энергия будут неодинаковы. Таким образом, кинетическая энергия зависит от выбора системы отсчета.

22

Потенциальная энергия — часть общей механической энергии системы, определяемая взаимным расположением тел и характером сил взаимодействия между ними.

Пусть взаимодействие тел осуществляется посредством силовых полей (например, поля упругих сил, поля гравитационных сил), характеризующихся тем, что работа, совершаемая действующими силами при перемещении тела из одного положения в другое, не зависит от того, по какой траектории это перемещение произошло, а зависит только от начального и конечного положений. Такие поля называются потенциальными, а силы, действующие в них, — консервативными. Если же работа, совершаемая силой, зависит от траектории перемещения тела из одной точки в другую, то такие силы называются диссипативными; примером их являются силы трения.

Тело, находясь в потенциальном поле сил, обладает потенциальной энергией П, которая определяется с точностью до некоторой произвольной постоянной. Это, однако, не отражается на физических законах, так как в них входит или разность потенциальных энергий в двух положениях тела, или производная П по координатам. Поэтому потенциальную энергию какого-то определенного положения тела считают равной нулю (выбирают нулевой уровень отсчета), а энергию других положений отсчитывают относительно нулевого уровня.

Потенциальная энергия тела обычно определяется работой, которую совершили бы действующие на него внешние силы, преодолевающие консервативные силы взаимодействия, перемещая его из конечного состояния, где потенциальная энергия равна нулю, в данное положение. Работа консервативных сил, приложенных к телу, равна изменению потенциальной энергии этого тела, взятому с обратным знаком, т. е.

dA = — dII,

(12.2)

так как работа совершается за счет убыли потенциальной энергии. Поскольку работа dA есть скалярное произведение силы F на перемещение dr, то выражение (12.2) можно записать в виде

Fdr = – dII.

(12.3)

Следовательно, если известна функция П(r), то (12.3) полностью определяет силу F по модулю и направлению.

В случае консервативных сил

F	x	= −	∂П	, F = −	∂П	, F = −	∂П	,
			∂x	y	∂y	z	∂z
или в векторном виде
			F = – grad II,					(12.4)

где символом grad II обозначена сумма

			23
grad П =	∂П	i +	∂П	j +	∂П	k	(12.5)
	∂x		∂y		∂z

где i, j, k — единичные векторы координатных осей. Вектор, определяемый выражением (12.5), называется градиентом скаляра П. Для него наряду с

обозначением grad П применяется также обозначение П. («набла») означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона или наблаоператором:

	=	∂	i +	∂	j +	∂	k	(12.6)
		∂x		∂y		∂z

Конкретный вид функции П зависит от характера силового поля. Например, потенциальная энергия тела массой m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли, равна

П = mgh,

(12.7)

где h — высота, отсчитанная от нулевого уровня, для которого П0 = 0. Выражение (12.7) вытекает непосредственно из того, что потенциальная энергия равна работе силы тяжести при падении тела с высоты h на поверхность Земли.

Так как начало отсчета выбирается произвольно, то потенциальная энергия может иметь отрицательное значение (кинетическая энергия всегда положительна!). Если принять за нуль потенциальную энергию тела, лежащего на поверхности Земли, то потенциальная энергия тела, находящегося на дне шахты (глубина h'),

П = – mgh.

Найдем потенциальную энергию упругодеформированного тела (пружины). Сила упругости пропорциональна деформации:

Fупр = – kx,

где k — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость), а знак минус указывает, что сила упругости направлена в сторону, противоположную деформации. По третьему закону Ньютона, для преодоления силы упругости надо приложить силу

F = – Fупр = kx.

Элементарная работа dA; совершаемая силой F при малой деформации dx, равна

dA = Fdx = kxdx,

24

а полная работа

A = ∫x kxdx = kx2 / 2 + C = П + C

0

идет на увеличение потенциальной энергии пружины.

Если принять, что потенциальная энергия недеформированного тела (при х = 0) равна нулю, то С = О. Таким образом, потенциальная энергия упругодеформированного тела

П =kx2 /2.

Потенциальная энергия системы, подобно кинетической энергии, является функцией состояния системы. Она зависит только от конфигурации системы и ее положения по отношению к внешним телам.

Полная механическая энергия системы — энергия механического движения и взаимодействия:

Е= Т + П.

§13. Закон сохранения энергии

Выведем закон сохранения энергии. Для этого рассмотрим замкнутую систему материальных точек.массами m1, m2, …mn, движущихся со скоростями v1, v2, … vn. Пусть F1', F2’, … , Fn’ — равнодействующие внутренних консервативных сил, действующих на каждую из этих точек, а F1, F2, … , Fn — равнодействующие внешних сил. При v « с массы материальных точек постоянны и уравнения второго закона Ньютона для этих точек следующие:

m dv1 1 dt

m2 dv2 dt

. . .

mn dvn dt

=F1′ +F1

=F2′ +F2

. . . . .

=Fn′ +Fn

Пусть все точки за какой-то интервал времени dt совершают перемещения dx1, dx2, … , dxn. Умножим каждое из уравнений скалярно на соответствующее перемещение, и, учитывая, что dxi = vidt, получим

25

m1( v1dv1 ) −(F1′ +F1 )dx1 = 0 m2 ( v2dv2 ) −(F2′ +F2 )dx2 = 0

. . . . . . . . . . . .

mn ( vndvn ) −(Fn′ +Fn )dxn = 0

Сложив эти уравнения и учитывая, что система замкнута, т. е.

получим				F1 + F2 + … + Fn = 0,
			n				n	′	,
			∑mi vidvi				−∑Fidxi = 0
			i=1				i=1
n			dv		n			/ 2 ) = dT .		(13.1)
∑m v				i	=∑d( m v2
i=1	i	i			i=1	i	i

dT - бесконечно малое изменение кинетической энергии всей системы, а

n

− ∑Fi′dxi = dП - бесконечно малая работа всех действующих в системе

i=1

внутренних консервативных сил, взятая с обратным знаком, т. е., согласно (12.2), бесконечно малое изменение потенциальной энергии системы dII. Следовательно, для всей системы в целом

d T+ dII = О,

откуда полная механическая энергия замкнутой системы

T + П = Е = const.

(13.2)

Выражение (13.2) представляет собой закон сохранения механической энергии: в замкнутой системе тел, между которыми действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется, т. е. не изменяется со временем.

В замкнутой системе тел, силы взаимодействия между которыми консервативны, взаимные превращения механической энергии в другие виды отсутствуют. Такие системы называются замкнутыми консервативными системами . Существует еще один вид систем — диссипативные системы —

такие системы, в которых механическая энергия постепенно уменьшается за счет преобразования в другие (немеханические) формы энергии. Этот процесс получил название диссипации или рассеяния, энергии. Строго говоря, все системы в природе являются. диссипативными. При движении тела в замкнутой консервативной системе происходит непрерывное превращение кинетической его энергии в потенциальную и обратно в эквивалентных количествах, так что