31
		§ 16. Кинетическая энергия вращения
	Все реально существующие твердые тела под влиянием приложенных к
	ним сил деформируются, т. е. тем или иным образом изменяю								т свою форму.
	Для упрощения дальнейших рассуждений введем понятие абсолютно твердого
	тела. Абсолютно твердым телом называется тело, которое ни при каких
	условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между
	двумя точками, или, точнее, между двумя частицами этого тела остается
	постоянным. В дальнейшем мы будем рассматривать только такого рода тела.
	Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной
	оси ОО, проходящей через него (рис. 22). Мысленно разобьем это тело на
	маленькие объемы с элементарными массами m1, m2, …, mn, находящиеся на
	расстоянии r1, r2, …, rn		от оси вращения. При вращении твердого тела
	относительно неподвижной оси отдельные его элементарные объемы массами
	mn опишут окружности различных			радиусов г„и			будут		иметь	различные
	0		линейные		скоростиυ		n. Но так как мы
		r1	рассматриваем			абсолютно		твердое		тело,	то
			угловая скорость вращения этих
	m1
			объемов одинакова:
	r1	v1
			ω= υ1 / r1			= υ2 / r2	=... = υn / rn			(16.1)
	rn	mn	Кинетическую			энергию		вращающегося			тела
	vn		найдем	как	сумму кинетических энергий						его
			элементарных объемов:
	0
	Рис. 22			Tтв = m1υ12 + m2 υ22				+... + mn υn2		,
						2	2		2
			n	2
	или		Tтв = ∑mi υi
			i=1	2
	Используя выражение (16.1), получим

Tтв = ∑mi ω	2	ri2 =	ω	2	∑mi ri2	= Jω	.	(16.2)
n					n
i=1 2			2		i=1	2

Из сравнения формулы (16.2) с выражением (12.1) для кинетической энергии тела, движущегося поступательно (Т = mυ2/2), следует, что момент инерции вращательного движения — мера инертности тела. Чем больше момент инерции, тем большую энергию нужно затратить для достижения данной скорости.

Формула (16.2) справедлива для тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. Для тела (колеса), катящегося по горизонтальной

				32
поверхности, энергия движения будет складываться из энергии
поступательного движения и энергии вращения:
			T =	mυ2	+	Jω2
				2		2
где m — масса катящегося тела,υ — скорость поступательного движения, J —
момент инерции тела, ω — скорость вращательного движения.
§ 17. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела
Если тело, закрепленное на оси, приводится во вращение какой-либо
силой, то кинетическая энергия вращения возрастает на величину затраченной
			работы. Работа зависит от действующей силы
			и от произведенного ею перемещения, однако
dφ	r B	dS	выражение				работы	для	смещения
			материальной				точки	при	вращательном
0	α		движении неприменимо, так как в данном
l			случае перемещение угловое.
	α		Найдем выражение для работы при вращении
F			тела (рис. 23). Пусть сила F приложена в точке
			В, находящейся от оси вращения на
	Рис. 23		расстоянии r,α				— угол между направлением
			силы и радиусом вектором. Так как тело
			абсолютно твердое, то работа этой силы равна
работе, затраченной на поворот всего тела. При повороте тела на малый угол dφ
точка приложения В проходит путь ds = rdφ и работа равна произведению
проекции силы на направление смещения на величину смещения:

dA = F sin α · rdφ	(17.1)
Величина
M = Fr sin α	(17.2)

называется моментом силы относительно оси вращения;

r sin α = l

есть кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы. Момент силы равен произведению силы на ее плечо:

М=Fl

Момент силы — величина векторная. Так как l = r sin α , то вектор

М = [rF].

33

Его направление перпендикулярно плоскости, в которой расположен вектор силы, и он определяется по правилу правого винта.

Подставляя (17.2) в (17.1), получим, что работа при вращении тела равна произведению момента действующей силы на угол поворота:

dA = Mdφ

Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии:

dA =dT,

но

				Jω2
		dT = d			2		= Jωdω
поэтому
		Mdω= Jωdω
или			dω					dω
		M				= Jω
				dt				dt
Учитывая, чтоω=	dϕ	, получим
	dt
				dω
		M = J				= Jε				(17.3)
				dt
В векторной форме		M=Jε								(17.4)

т. е. момент силы, действующей на тело, равен произведению момента инерции тела на угловое ускорение. Уравнение (17.4) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

§ 18. Момент количества движения и закон его сохранения

При сравнении законов вращательного и поступательного движений усматривается аналогия между ними, только во вращательном движении вместо силы выступает ее момент, роль массы играет момент инерции. Какая же величина будет аналогом количества движения тела? Ею является момент количества движения тела относительно оси.

Моментом количества движения (моментом импульса) Li отдельной частицы тела массой mi называется произведение расстояния ri от оси вращения до частицы на количество движения (импульс) mivi этой частицы:

34

Li = miυiri (18.1)

Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов количества движения отдельных частиц:

n

L = ∑mi υi ri

i=1

Так как для вращательного движения υi=ωri, то

n	n
L = ∑mi ri2	ω= ω∑mi ri2	= Jω
i=1	i=1
т.е.	L = Jω

Таким образом, момент количества движения твердого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Момент количества движения твердого тела — это вектор, направленный по оси вращения так, чтобы видеть с его конца вращение, происходящим по часовой стрелке(рис. 24).

	J1>J2
ω1	ω1< ω2	ω2

0L

r

m

mv

Рис. 24

Рис. 25

Продифференцируем уравнение (18.2) по времени:

dLdt = J ddtω = Jε = M

или в векторной форме

	dL	= M	(18.3)
	dt