Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
Уравнение вида
решается последовательным
- кратным интегрированием правой части.
При каждом интегрировании получается
одна произвольная постоянная, а в
окончательном результате -
произвольных постоянных.
Уравнение
,
не содержащее
в явной форме, подстановкой
приводится к виду
Уравнение
,
не содержащее
в явной форме, подстановкой
приводится к виду
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Однородное линейное дифференциальное уравнение
(8.1)
где
- функции
,
имеет общее решение вида
(8.2)
где
- линейно независимые частные решения
уравнений (8.1), а
- произвольные постоянные.
Если коэффициенты
уравнения (8.1) постоянны, то частные
решения
находятся с помощью характеристического
уравнения
(8.3)
Каждому вещественному корню
уравнения (8.3) кратности
соответствует
частных решений
Каждой паре мнимых корней
кратности
соответствуют
пар частных решений.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
Основное свойство. Пусть даны уравнения:
- неоднородное, (9.1)
- однородное, (9.2)
и пусть
-общеерешение уравнения (9.1) будет:
(9.3)
Метод неопределенных коэффициентов.
При постоянных
частное решение
находитсяметодом неопределенных
коэффициентов в следующих случаях:
1)
-
многочлен;
2)
3)
есть сумма или произведение предыдущих
функций.
В этих случаях частное решение
имеет тот же вид, что и
,
отличаясь от нее только коэффициентами.
Исключения составляют особые случаи,
когда: 1)
- многочлен, но
- корень характеристического уравнения
кратности
;
2)
но
есть корень характеристического
уравнения кратности
.
В этих особых случаях
отличается от
не только коэффициентами, но еще и
множителем
Метод вариации произвольных постоянных. Более общим приемом решения неоднородного линейного выражения является метод Лагранжа, или метод вариации произвольных постоянных.
Если
и
- независимые частные решения уравнения
,
то решение уравнения
по методу Лагранжа находится в виде
,
где
и
- функции
,
удовлетворяющие системе уравнений
Отсюда
Линейное дифференциальное уравнение эйлера
Частное решение однородного уравнения
(при
)
можно найти в виде
,
где
- постоянное число. Для нахождения
нужно подставить
в однородное дифференциальное уравнение
и решить полученноехарактеристическое
уравнение относительно
.
При этом:
Каждому вещественному корню
кратности
соответствует
частных решений
Каждой паре мнимых корней
кратности
соответствует
частных решений:
Неоднородное дифференциальное уравнение Эйлера решается методом вариации постоянных.
ЗАДАЧИ
Построить изображение поля направлений, определяемого уравнением
,
с помощью окружностей, вдоль которых
Нарисовать приближенно интегральную
кривую, проходящую через начало координат.
Построить изображение полей направлений, определяемых каждым из уравнений:
1)
2)
3)
Построить изображение семейства 1) окружностей
2) парабол
и составить их дифференциальные
уравнения.Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
при
кривая проходит через точку
,
- произвольная ордината кривой. Определить
кривую из условия, что площадь
.Определить и построить кривую, проходящую через точки (1;1), для которой отрезок
,
отсекаемый на оси
касательной к кривой в любой ее точке,
равен квадрату абсциссы точки касания.Найти ортогональные траектории семейства гипербол
.Определить кривую, радиус – вектор любой точки которой равен отрезку нормали между кривой и осью
.Определить линию, если площадь, ограничена осями координат, этой линией и произвольной ее ординатой, равна 1/3 площади прямоугольника, построенного на конечной точки кривой.
Найти форму зеркала, отражающего все лучи, выходящие из данной точки, параллельно данному направлению.
Указание.Рассматривая
плоское сечение зеркала, примем в нем
данную точку за начало координат, а
данное направление – за ось
.
Касательная к искомой кривой в точке
образует равные углы с
и осью
,
т.е. Отсекает на оси
отрезок
Решить дифференциальные уравнения:
1)
, 2)
3)
4)
5)
при
6)
Определить кривую, проходящую через точку
,
если расстояние от начала координат
до касательной в любой точке кривой
равно абсциссе этой точки.Решить дифференциальные уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
14.Найти интегрирующие множители:
1)
2)
3)
4)
15.Решить уравнения, не содержащее явно одной из переменных:
1)
2)
Решить уравнение:
Найти кривую, касательные к которой образуют с осями координат треугольник постоянной площади, равной
.Найти кривую, касательной к которой отсекает на осях координат отрезки, сумма которых равна
.Определить кривые, у которых радиус кривизны вдвое больше длинны нормали.
Определить кривые, у которых радиус кривизны равен длине нормали.
Решить уравнения:
1)
при
2)
,
3)
4)
В интервале
определить кривую, касающуюся оси
в начале координат, если кривизна ее в
любой точке
Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
Два одинаковых груза подвешены к концу пружины. Под действием одного груза пружина удлиняется на
см. Определить движение первого груза,
если второй оборвется (сопротивлением
пренебречь).Решить задачу 24 с учетом сопротивления, пропорционального скорости движения.
Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
Единица массы движения по оси
под действием постоянной силы
,
направленной по оси, при сопротивлении
движению, численно равном скорости
движения. Найти закон движения если
при
имеем
и скорость
.Следующие уравнения решить методом вариации произвольных постоянных:
1)
2)
3)
4)
Цилиндр радиуса
дм и массой
кг плавает в воде при вертикальном
положение оси. Найти период колебания,
которое получается, если цилиндр немного
погрузить в воду, а затем отпустить.
Сопротивление движению принять
приближенно равным нулю.Полый железный шар с радиусами поверхностей
и 2
имеет постоянную температуру внутренней
поверхности
и наружной
.
Определить температуру внутри на любом
расстоянии
от центра
и при
.
Указание.
Скорость падения температуры
в проводнике со стационарным распределением
температуры обратно пропорционально
площади поперечно сечения.
31. Решить уравнения:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
32. Найти частные решения дифференциальных уравнений:
1)
при
2)
при
3)
при