§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида и

Предел постоянной равен самой постоянной.

^{если и существуют.}

еслиисуществуют и

Если для всех значенийв некоторой окрестности точки, кроме, быть может,, функциииравны и одна из них имеет придел при, то и вторая имеет тот же предел.

Это свойство применяется при раскрытии неопределённостей вида и.

Например, при любых, кроме. По свойству .

§4. Предел отношения при.

Если угол выражен в радианах, то

§7. Сравнение бесконечно малых.

Определения. Пусть прифункцияиявляются бесконечно малыми. Тогда:

I. Еслитоназывается бесконечно малой высшего порядкаотносительно.

II. Если(конечен и отличен от ноля), тоназываетсябесконечно малой -го порядкаотносительно.

III. Еслитоиназываютсяэквивалентными бесконечно малыми. Эквивалентность записывается так:.

Свойства эквивалентных бесконечно малых:

а) Разность двух эквивалентных бесконечно малых есть бесконечно малая высшего порядка относительно каждой из них.

б) Если из суммы нескольких бесконечно малых разных порядков отбросить бесконечно малые высшего порядка, то оставшаяся часть, называемая главной, эквивалентна всей сумме.

Из первого свойства следует, что эквивалентные бесконечно малые могут сделаться приближенно равными со сколь угодно малой относительной погрешностью. Поэтому знак мы применяем как для обозначения эквивалентности, так и для записи приближенного равенства их достаточно малых значений.

§8. Непрерывность функции.

Определение. Функцияназываетсянепрерывной при, если она определена в некоторой окрестностиa и

Это определение содержит такие четыре условия непрерывности:

1)должна быть определена в некоторой окрестности;

2) должны существовать конечные пределы и;

3) эти пределы (слева и справа) должны быть одинаковыми;

4) эти пределы должны быть равны .

Функция называется непрерывной на отрезке , если она непрерывна в каждой точке внутри отрезка, а на его границахи.

Элементарные функции: степенная , показательная, логарифмическая, тригонометрические и им обратные, а также их сумма, произведение, частное непрерывны при всяком, при котором они имеют определенное значение.

Разрывы функции. Функция имеетразрывпри, если она определена слева от, но в точкене соблюдено хотя бы одно из условий непрерывности различают два основных типа разрыва.

1) Разрыв Iрода – когда существуют конечные пределыи, т.е. когда выполнено второе условие непрерывности и не выполнены все остальные (или хотя бы одно из них).

2) Разрыв IIрода– когдаслева или справа равен

Например, функция имеет приразрывIIрода. Все дробные функции, знаменатель которых приравен 0 , а числитель не равен 0, имеют приразрывIIрода. Функциятак же имеет приразрывIIрода, так какно

§9. Асимптоты.

Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при ее удалении по кривой в бесконечность.

I. Еслито прямаяесть асимптота кривой

Например, кривая имеет асимптоту.

II. Если в правой части уравнения кривойy=f(x) можно выделить линейную частьy=f(x) =kx + b + (x)так, что оставшиеся часть(x)→ 0, когдаx → ± ∞, то прямаяy = kx + b есть асимптота кривой. Примеры 1) криваяу = имеет асимптотуy =x + 1 (и асимптотуx =0); 2) криваяимеет асимптотуy = 0.

III. Если существуют конечные пределыилииилиесть асимптота.