- •Элементы непрерывной математики
- •§1. Переменные величины и функции.
- •§2. Пределы последовательности и функции.
- •§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида и
- •§4. Предел отношения при.
- •§7. Сравнение бесконечно малых.
- •§8. Непрерывность функции.
- •§9. Асимптоты.
- •§10. Число e.
- •§1. Производные алгебраических и тригонометрических функций.
- •§2. Производная сложной функции.
- •§3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
- •§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции.
- •§5. Производные логарифмических и показательных функций.
- •§11. Параметрические уравнения кривой
- •2.Интегрирование подстановкой и непосредственное
- •Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование тригонометрических функций
- •5. Интегрирование рациональных алгебраических функций
- •6. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций
- •7. Интерирование некоторых трансцендентных функций
- •8. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки
- •Вычисление определенного интеграла
- •Вычисление площадей
- •Среднее значение функции
- •Частные производные, полные дифференциалы и их приложения
- •Функции двух переменных и их геометрическое изображение
- •Частные производные первого порядка
- •Полный дифференциал первого порядка
- •Производные сложных функций
- •5. Производные неявных функций
- •7. Интегрирование полных дифференциалов
- •Особые точки плоской кривой
- •Огибающая семейства плоских кривых
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •1) В точке (1;1;3),
- •2) В точке
- •3) В точке
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении
- •Дифференциальое уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
- •Дифференциальные уравнения первого порядка:
- •Однородное, 2) линейное, 3) бернулли
- •Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейное дифференциальное уравнение эйлера
Частные производные, полные дифференциалы и их приложения
Функции двух переменных и их геометрическое изображение
Определение. Переменная называетсяоднозначной функцией переменныхи, если каждой паре значенийив некоторой области их изменений поставлено в соответствие одно значение. Функциональную зависимостьотизаписывают в виде
. (1.1)
Геометрическое изображение. Уравнение (1) геометрически определяет некоторую поверхность. Пара значений иопределяет на плоскоститочку, а- аппликату соответствующей точкина поверхности. Поэтому говорят, чтоесть функция точки, и пишут.
Предел функции , если разность-есть бесконечно малая, когдапри любом способе приближенияк(например, по любой линии).
Непрерывность функции. Функция называетсянепрерывной в точкеесли,Иначе говоря, функциянепрерывна в некоторой точке, если
Частные производные первого порядка
Производная функции по, найденная в предложении, что остается постоянным, называетсячастной производной пои обозначаетсяили.
Аналогично определяется и обозначается частная производнаяпо:
Полный дифференциал первого порядка
Если функция имеет в точкенепрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде
(3.1)
где при. Тогда выражениеестьглавная часть полного приращения; она называетсяполным дифференциалом функции и обозначается:
(3.2)
Полагая в формуле (3.2) равным 1); 2), найдем,. Поэтому
(3.3)
Из (3.1) следует что
(3.4)
т.е. при достаточно малых иполное приращение функции приближенно равно ееполному дифференциалу.
Функция называетсядифференцируемой в точке, если она имеет в этой точке полным дифференциалом.
Производные сложных функций
Если тоназываетсясложной функцией от. При этом
(4.1)
Если функция идифференцируемы.
Если , где, если функцииидифференцируемы, то
(4.2)
5. Производные неявных функций
Уравнение , имеющее решение, определяет в окрестностипеременнуюкак непрерывную функциюпри условии, что производнаяи непрерывна в некоторой окрестности точки.
Символично это равенство можно записать так:
Аналогично и т.д.
7. Интегрирование полных дифференциалов
Чтобы выражение гдеи- дифференцируемые функциии, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия
Для нахождения из условийиполучим
Выписав из первого предложения все известные члены, а из второго – члены с, недостающие в первом, получим функцию.
Чтобы выражение где- дифференцируемые функции оти, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условий:
Для нахождения имеем:
Выписав из первого выражения все известные члены, а из второго и третьего – недостающие члены с и, получим функцию.
Нахождение функции по ее полному дифференциалу называется интегрированием полного дифференциала.
Особые точки плоской кривой
Точка кривой называетсяособой, если в этой точкеи.
Угловой коэффициент касательной в точке находится из уравнениягде- значения производныхив этой особой точке.
При этом возможно три случая:
1. - две касательных; точка называетсяузлом.
2. - нет касательной; точкаизолирована.
3. - или изолированная точка, или точка возврата, самосоприкосновения существует одна общая касательная к двум ветвям прямой.
Чтобы в третьем, сомнительном, случае решить вопрос окончательно, нужно узнать, имеются ли точки кривой в сколь угодно малой окрестности исследуемой точки.