- •Элементы непрерывной математики
- •§1. Переменные величины и функции.
- •§2. Пределы последовательности и функции.
- •§3. Свойства пределов. Раскрытие неопределенностей вида и
- •§4. Предел отношения при.
- •§7. Сравнение бесконечно малых.
- •§8. Непрерывность функции.
- •§9. Асимптоты.
- •§10. Число e.
- •§1. Производные алгебраических и тригонометрических функций.
- •§2. Производная сложной функции.
- •§3. Касательная и нормаль к плоской кривой.
- •§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции.
- •§5. Производные логарифмических и показательных функций.
- •§11. Параметрические уравнения кривой
- •2.Интегрирование подстановкой и непосредственное
- •Интегрирование по частям
- •4. Интегрирование тригонометрических функций
- •5. Интегрирование рациональных алгебраических функций
- •6. Интегрирование некоторых иррациональных алгебраических функций
- •7. Интерирование некоторых трансцендентных функций
- •8. Интегрирование гиперболических функций. Гиперболические подстановки
- •Вычисление определенного интеграла
- •Вычисление площадей
- •Среднее значение функции
- •Частные производные, полные дифференциалы и их приложения
- •Функции двух переменных и их геометрическое изображение
- •Частные производные первого порядка
- •Полный дифференциал первого порядка
- •Производные сложных функций
- •5. Производные неявных функций
- •7. Интегрирование полных дифференциалов
- •Особые точки плоской кривой
- •Огибающая семейства плоских кривых
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Скалярное поле. Линии и поверхности уровней. Производная в данном направлении. Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •1) В точке (1;1;3),
- •2) В точке
- •3) В точке
- •Дифференциальные уравнения
- •Понятие о дифференциальном уравнении
- •Дифференциальое уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Ортогональные траектории
- •Дифференциальные уравнения первого порядка:
- •Однородное, 2) линейное, 3) бернулли
- •Дифференциальные уравнения, содержащие дифференциалы
- •Дифференциальные уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка
- •Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами
- •Линейное дифференциальное уравнение эйлера
§11. Параметрические уравнения кривой
Пусть кривая задана параметрическими уравнениями и . Обозначая точками производные по параметру, найдем:
.
Задачи
1. Построить график функции:
на отрезке [-2,5];
2. Построить графики функции:
1). ; 2).;
3. Найти область определения вещественных значений функций:
1). ; 2).;
4. Доказать что limn→ 0.666…6 =, составив разности;; …;.
5. Пусть an– внутренний угол правильногоn– угольника. Доказать, чтоlimn→ an = .
6. На продолжении отрезка АВ = а справа взята точка М на расстоянии ВМ=x. Найти .
Найти пределы:
7. .
8. .
9. .
10. .
11. .
12. .
13. Капля испаряется так, что её радиус стремится к 0. Определить порядки бесконечно малых поверхности и объёма капли относительно её радиуса.
14. Определить порядки бесконечно малых: 1). ; 2).sin2x-sinx относительно бесконечно малойx.
15. Доказать, что при x→0: 1)arctgmxmx; 2).
16. Указать точку разрыва функции , найтиlimn→-2-0 y,limx→-2+0y, limx→и построить график по точкамx= -6, -4, -3, -1, 0, 2.
17. Найти точки разрыва и построить графики функций: 1) ; 2).
18. Сколько однозначных функций задано уравнением x2 + y2 = 4? Определить из них: 1) две непрерывные на отрезке; 2) ту из них, отрицательна на отрезкеи положительна для всех остальных допустимых значенийx. Построить график и указать разрывы последней функции.
19. Построить кривые: 1) ; 2)и параболы, к которым эти кривые асимптотически приближаются.
20. Найти асимптоты кривых: 1) ; 2)и построить кривые по точкам.
21. Найти асимптоты кривых и построить кривые: 1) ; 2).
Найти пределы:
22. .
23. (положитьcos22x = a).
24. .
Найти производные функций:
25. ;
26. ; найти;
27. ; найти,и;
28. ;
29. ;
30. ; найти;
31. В какой точке параболы нужно провести касательную, чтобы она была перпендикулярна к биссектрисе первого координатного угла?
32. Найти длину подкасательной, поднормали, касательной и нормали кривой в точкеx= 1.
33. Какие углы образуют парабола с её хордой, абсциссы концов которой равны 2 и 4?
34. На отрезке [0;] построить график функциии написать уравнения касательных к кривой в угловой точке.
35. На отрезке [-2;0] построить график функции и написать уравнения касательных к кривой в точкеx= -1.
36. На отрезке [-1;5] построить график функции и написать уравнения касательных в угловой точкеx= 0 и найти угол между ними.
Найти производный функции:
37. ;
38. ; найти;
39. Написать уравнение касательной к кривой в точке пересечения её с осьюОу. Построить кривую, касательную и асимптоту кривой;
40. ;
41. ;
42. ; найти;
43. Линия называется цепной. Написать уравнение нормали к этой линии в точкеx = a. Построить кривую и нормаль.
44. Написать уравнение касательной к кривой в точкеx = -2. Построить кривую и касательную к ней.
45. Доказать, что проекция ординаты любой точки цепной линии на её нормаль есть величина постоянная, равнаяа.
46. ; показать, что;
47. ; найти;и;
48. По формуле Лейбница найти производную третьего порядка функции: ;
49. ; найтиприt = 0;
50. ; найтиприt = 1;
51. ; найтипри;
Найти дифференциалы функций:
52. ;
53. ;
54. ;
55. Написать уравнение касательной к циклоиде ,в точке. Построить кривую и касательную.
56. Написать уравнение касательной к развертке круга ,в точке.
57. Найти из уравнения:
;;
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
НЕОПРЕДЕЛЛЕНЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЗЛОЖЕНИЕМ
Неопределенным интегралом называется функция, содержащая произвольное постоянное, дифференциал который равен подынтегральному выражению, т.е.
,
если
.
Таблица основных интегралов:
Свойства неопределенного интеграла:
I. III.
II. IV.
Интегрирование разложением есть приведение данного интеграла (по свойствуIV) к сумме более простых интегралов.