§10. Число e.

Числом e называется предел

Это число иррациональное и приближенно равно e= 2,71828… Логарифмы с основаниемe называютсянатуральными и обозначаются

Десятичный логарифм:

ПРОИЗВОДНАЯ И ДЕФФЕРЕНЦИАЛ

§1. Производные алгебраических и тригонометрических функций.

.Определения.Производной функциив точкеx называется предел

(1)

Если этот предел конечный, то функцияназываетсядифференцируемой в точкеx; при этом она оказывается обязательнонепрерывной, в этой точке.

Если же предел (1) равен (или), то будем говорить, что функцияимеет в точкеx бесконечную производную, однако при дополнительном условии, что функция в этой точке непрерывна.

Производная обозначается y’ или f’(x), или или Нахождение производной называется дифференцированием функции.

.Основные формулы дифференцирования.

1) (c)’ = 0; 2)3)

4)5)

6)7)

8)9)

10)11)

§2. Производная сложной функции.

Если, атоy называетсяфункцией от функцииилисложной функциейотx. Тогда

или(1)

Формулы предыдущего параграфа примут теперь общий вид:

1)2)3)4)

5)6)

§3. Касательная и нормаль к плоской кривой.

Угловой коэффициент касательной к кривой в точке кривойравен значению производной функции в точке:

(1)

Это число называют иногданаклоном кривой в точкеУравнениекасательной к точкена кривой:

(2)

Уравнение нормали:

(3)

где определяется формулой (1). Отрезкиназываются соответственноподкасательной иподнормалью, а длины отрезкови- длинами касательной и нормали.

§4. Случаи недифференцируемости непрерывной функции.

Угловая точка. Точкакривойназываетсяугловой, если в этой точки производнаяне существует, но существуетлевая иправаяразличные производные:и. Из угловой точки выходят два касательных луча с наклонамии.

Точка возврата с вертикальной касательной. Точканазываетсяточкой возврата с вертикальной касательной, если в этой точке производнаяне существует, но существуетлевая иправаябесконечные производныеразного знака (и) Такая точка является частным случаем угловой. Из нее выходит один вертикальный касательный луч или, можно считать, что из нее выходят два слившихся касательных луча.

Точка перегиба с вертикальной касательной. Точканазываетсяточка перегиба с вертикальной касательной, если в ней существует бесконечная производнаяили. В такой точке существует вертикальная касательная.

В точках ифункцияне имеет производной; в точкеона имеет бесконечную производную. Во всех трех точках функция непрерывна, нонедифференцируема.

§5. Производные логарифмических и показательных функций.

Основные формулы:

§6. Производные обратных тригонометрических функций.

;

§7. Производные гиперболических функций

1°. Определения. Выражения , и их отношения называются соответственно гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом и обозначаются

, , ,

2°. Свойство гиперболических функций:

1) 4)

2) 5)

3) 6)

§8. Производные высших порядков

Пусть мы нашли для функции ее производную . Производная от этой производно называется производной второго порядка функции и обозначаются или или . Аналогично определяется и обозначаются

Производная третьего порядка

Производная четвёртого порядка

Производная n-го порядка

§9. Производные неявной функции

Если управление , неразрешенное относительно , определяет как однозначную функцию , то называется неявной функцией . Чтобы найти производную этой неявной функции, нужно обе части уравнения продифференцировать по , рассматривать как функцию от . Из полученного уравнения найдем искомую производную . Чтобы найти , нужно уравнение дважды продифференцировать по и т.д.

§10. Дифференциал функции

Если функция дифференцируема в точке , т.е. имеет в этой точке конечную производную , то , где ; отсюда

. (1)

Главная часть приращения функции, линейная относительно , называется дифференциалом функции и обозначается

(2)

Положив в формуле (2) , получим , и поэтому

(3)

формула (3) верна и в том случае, если есть функция новой переменной t.

Из (1) следует, что , т.е. при достаточно малом приращение функции приближено равно ее дифференциалу.

В части, для линейной функции имеем: .