СТАБИЛИЗАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ СТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

А.А. Бобцов, М.Б. Гурбашков

1. Введение

Задача стабилизации линейных стационарных систем по состоянию является хорошо изученной. Однако проблема управления в условиях неопределенности параметров продолжает волновать умы специалистов по теории автоматического регулирования и по сей день. В настоящее время получено множество решений, как в классе задач адаптивного [1-4], так и в классе задач робастного управления [4]. Как правило, полученные алгоритмы либо достаточно сложны в реализации [4-5], либо преследуют решение локальной задачи, например, регулирование выхода [4-6], либо математические модели объектов имеют некоторую фиксированную структуру относительно входящих в нее неопределенностей [7].

Результаты предлагаемой статьи не претендуют на универсальность и общность, а лишь расширяют класс подходов управления линейной системой в условиях неопределенности ее параметров. В работе рассматривается линейный стационарный объект, переменные состояния которого подлежат измерению. Предполагая, что ряд несложных предположений выполнен, выбирается закон управления, обеспечивающий асимптотическую устойчивость по всем переменным объекта, но не по переменным его регулятора.

2. Постановка задачи
Рассмотрим линейный стационарный объект управления вида:
q	(1)
x = Ax + (∑θi Di )x + Bu ,
&
i=1
где x Rn - вектор переменных состояния доступный измерениям, θi	- неизвестный

постоянный параметр, A , Di и B - известные числовые матрицы, u - управление.

Предполагая, что система (1) полностью управляема, требуется выбором управления u обеспечить асимптотическую устойчивость положения равновесия x = 0 .

3. Синтез алгоритма управления

Для повышения уровня читабельности предлагаемого ниже материала, рассмотрим модель системы (1) для случая i =1. Тогда уравнение (1) примет вид:

x = Ax + θDx + Bu ,	(2)
&
где пара (A +βD, B) - полностью управляема для любых значений β .
Выберем управление u в следующем виде:
u = −BBT Px ,	(3)

где матрица P = PT > 0 является решением матричного уравнения Риккати вида:

T	ˆ	T	P + PD) − PBBP = −2αP ,		(4)
A P + PA + θ(D
ˆ				α > 0 выбирается из следующего условия:
где θ - настраиваемый параметр, функция
		ˆ			(5)
Reλ i{αI + A + θD} > 0 .
Именно	условие (5) обеспечивает			наряду	с полной управляемостью пары

(A +βD, B) существование положительно определенного решения уравнения (4) [8].

Для настройки параметра θˆ , воспользуемся следующей вычислительной процедурой:

229