ОЦЕНКА ЗАПАСОВ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ С ИНТЕРВАЛЬНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

С.А. Сударчиков, А.В. Ушаков

В работе рассматриваются системы, спроектированные методами модального управления на заданные качество и требование к относительной интервальности матриц состояния. В качестве дополнительного показателя систем предлагается использовать интервальное значение запаса устойчивости по фазе проектируемых систем, конструируемого на семействе полиномов В.Л.Харитонова. Приводится пример.

Введение. Постановка задачи

Рассматривается многомерная непрерывная система с интервальной матрицей состояния, имеющая векторно-матричное описание

x(t) = [F]x(t) +Gg(t);Y (t) = Cx(t) ,	(1)
&

которое получено агрегированием объекта управления (ОУ) с интервальной матрицей состояния

x(t) = [A]x(t) + Bu(t);Y (t) = Cx(t) ,				(2)
&
и регулятора, реализующего закон управления (ЗУ)
u(t) = K g g(t) − Kx(t) .				(3)
В (1) – (3) x,g,y,u – соответственно вектор состояния системы и ОУ, экзогенное
воздействие,	регулируемый	выход,	вектор	управления;
x Rn ; g, y Rm ;u Rr . [F],[A],G, B,C		– соответственно	интервальные матрицы

состояния системы и ОУ, матрицы c фиксированными параметрами входа системы, управления и выхода; [ F ], [ A ] R n ×n ; G R n ×m ; B R n ×r ; C R m ×n ; K g – матрица прямых связей по экзогенному воздействию g(t); K – матрица прямых связей

(ОС) по состоянию; K Rr×m;K Rr×n. Матрицы системы (1),

(ОУ)

(2) и ЗУ (3) связаны

g

соотношением

(4)

F = A − BK; G = BK g

В дальнейшем используется представление интервальных матриц в виде

аддитивной

композиции

их

медианных A0 , F0 и

симметричных интервальных

[ A],[ F]частей, так что матрицы [A] и [F] могут быть представлены в виде

[ A] = A0

+[

A];[F] = F0 +[

F] = A0 − BK +[ A]

(5)

Введем

в

рассмотрение такую характеристику системных

]

матриц, как оценка

относительной интервальности δ

I*

, задав ее для матриц

[

]

[

соотношениями

A

,. F

δIA =

[

A]

; δIF =

[

F]

=

[

A]

(6)

A0

F0

A0

− BK

Корректность введения понятия оценка относительной интервальности матриц задаваемая с помощью соотношений (6) опирается на то, что симметричные интервальные компоненты [ A]= [ F] исходных интервальных матриц [A],[F],

характеризуются одной и той же матричной нормой на всех угловых реализациях их интервальных элементов.

При постановке задачи синтеза закона управления (3) методами модального управления формулируются требования к структуре собственных значений медианного компонента F0 = A0 − BK , который доставляет системе необходимую динамику и

257

качество, а также к обеспечению интервальной матрице состояния необходимой оценки относительной интервальности в форме

δIF =

[

F]

=

[

A]

≤ δIR ,

(7)

F0

A0

− BK

за счет выбора матрицы обратных связей K.

Матрица прямых связей Kg выбирается из соображения ориентации системы (1) с законом управления (3) относительно экзогенного воздействия g(t) так, чтобы медианная версия системы характеризовалась единичным отношением вход-выход при неподвижном состоянии. Этому условию удовлетворяет равенство

Ф (s) = C(sI − F )−1 BK		g	|	s=0	= −CF −1 BK	g	= Ι ,	(8)
0	0				0

где Ι − (m ×m) единичная матрица. Дополним задачу еще одним требованием к

показателям системы (1), в качестве которого предлагается использовать значение ее запаса устойчивости по фазе. Этот интервальный показатель также оценим как в абсолютной интервальной постановке, так и в относительной, с оценками I ϕ,δi ϕ ,

задаваемых выражениями

I

ϕ =

ϕ

и δI ϕ =

[

ϕ]

,

(9)

где ϕ0

ϕ0

ϕ] =

ϕ0 + [ ϕ] .

и

ϕ связаны соотношением [

Поставленная задача, контроля запаса устойчивости системы (1), с интервальной

матрицей

состояния

[F],

решается

с

привлечением аппарата семейства

характеристических полиномов В.Л.Харитонова, на котором конструируются эквивалентные разомкнутые системы.

Основной результат

Введем в рассмотрение понятие эквивалентная разомкнутая система, сопровождающая некоторый характеристический полином.

Определение 1 (0.1) Система типа одномерный вход – одномерный выход, полученная путем размыкания единичной отрицательной обратной связи по выходу, с

	передаточной функцией прямой цепи
	W (s) =	M (s)	,	(10)
		N(s)

где M(s), N(s) – полиномы от s с вещественными коэффициентами удовлетворяющие требованиям минимальной фазовости [1] называется эквивалентной разомкнутой системой сопровождающей характеристический полином D(s), если выполняется

условие
	D(s)=M(s)+N(s).						(11)
	В развитие разрабатываемых положений сформулируем следующие утверждения.
	Утверждение 1 (У1)						Системы с передаточными функциями прямых цепей
W	(s)=	M1	(s)		и W (s)=	M 2	(s)	соответственно, замкнутые отрицательной единичной
		N1	(s)			N2
1					2		(s)

обратной связью по выходу и представленные в одном и том же базисе ,обладают

идентичными показателями сходящихся по множеству начальных состояний					x(0)				= x0
при отсутствии экзогенного воздействия g(t) процессов x(t)= x[x(0), g(t)≡ 0,t],					если
M1 (s)+ N1 (s)= M 2 (s)+ N2 (s)= D(s)	□			(12)
258

Доказательство утверждения строится на непосредственном использовании

определения (1) с учетом условия (12).	■
С целью дальнейших исследований выделим	на классе эквивалентных

разомкнутых систем сопровождающий данный характеристический полином системы с

фиксированным порядком астатизма при помощи следующего определения.
Определение		2 (О.2) Передаточная функция прямой цепи				вида
W (s)=	an−(ν −1)sν −1 + an−(ν −2)sn−2		+...... + an−1s + an			(13)
			+...... + a
	sν (sn−ν	)+ a sn−ν −1		n−ν
		1

доставляет замкнутой единичной отрицательной обратной связью системе астатизм порядка ν и при этом является передаточной функцией эквивалентной разомкнутой

системы,	сопровождающей					характеристический			полином
D(s)= sn + a sn−1	+ a	2	sn−2 + a	sn−3 +...... + a	n−1	s + a	n	□	(14)
1			3

Определение 2 позволяет сформулировать следующее утверждение Утверждение 2 (У.2) На множестве значений порядка астатизма ν , передаточные

функции вида (13) порождают класс эквивалентных систем в смысле положений

утверждения 1.	□
Доказательство утверждения строится	на вычислении характеристических

полиномов замкнутых систем, образованных замыканием разомкнутых систем с передаточной функцией прямой цепи (13), приводящим для всех порядков астатизма к

представлению (14).	■
Применим положения сформулированных определений и утверждений к оценке

запасов устойчивости разомкнутых систем, конструируемых на семействе полиномов

Харитонова, полученных из (1).

Напомним основные положения теоремы Харитонова В.Л. [2] об устойчивости

интервальных систем. Пусть интервальная матрица [F] состояния системы (1) обладает

интервальным характеристическим полиномом (ИХП) [D(λ)], то есть полиномом с

интервальными

коэффициентами,

который

вычисляется

в

[

силу

соотношения

[

(

)

]

= det([F ] − λI ) =

[

a

0 ]

λn

[ 1

]

λn−1

+......

[

a

n−1]

a

n ]

(15)

D

λ

+

a

+

λ +

где

[ai ] =[ ai ,

];i = (

) . Тогда

ИХП (15) на множестве угловых реализаций

ai

1, n

]

[ai

интервальных

коэффициентов

будет Гурвицевым, а следовательно будет

устойчива система (1) с интервальной матрицей [F], если будут Гурвицевыми

следующие четыре полинома с фиксированными параметрами

D

(λ)= a

λn + a λn−1

+

λn−2

+

λn−3 +...... + a

λ + a

,

(16)

a

2

a

n−1

n

1

0

1

3

D

(λ)= a

λn +

λn−1

+

λn−2

+ a

λn−3 +...... + a

λ +

,

(17)

2

0

a

a

2

n−1

a

n

1

3

D

(λ)=

λn +

λn−1

+ a

λn−2

+ a

λn−3 +...... +

λ +

,

(18)

3

a

a

2

a

n−1

a

n

0

1

3

D

(λ)=

λn + a λn−1

+ a

λn−2

+

λn−3 +...... +

λ + a

.

(19)

4

a

0

2

a

a

n−1

n

1

3

Нетрудно

видеть, что

если применить

положения определения

(1) и (2) к

семейству полиномов В.Л.Харитонова, то на этом семействе может быть сконструировано семейство эквивалентных разомкнутых систем (СЭРС), сопровождающих эти полиномы при различных порядках астатизма. Так для астатизма ν =1 передаточные функции семейства эквивалентных разомкнутых систем примут вид.

W1

(s)=

an

(20)

s(a0 sn−1

+ a1 sn−2

+ a2 sn−3 + a3 sn−4 +...... + an−1 )

259

W2

(s)=

an

(21)

s(a0 sn−1

+ a1sn−2

+ a2 sn−3 + a3 sn−4 +...... + an−1 )

W3

(s)=

an

s(a0 sn−1

+ a1 sn−2

+ a2 sn−3 + a3 sn−4

+...... + an−1 )

W4

(s)=

an

,

s(a0 sn−1

+ a1sn−2

+ a2 sn−3 + a3 sn−4

+...... + an−1 )

для случая ν = 2 это семейство определяется следующими выражениями.

W1

(s)=

an−1 s + an

,

s2 (a0 sn−2

+ a1 sn−3 + a2 sn−4

+...... + an−2 )

an−1s +

W2

(s)=

an

,

(a0 sn−2

+...... + an−2 )

s2

+ a1 sn−3 + a2 sn−4

s +

W3

(s)=

an−2

an

,

s2

(a0 sn−2

+ a1 sn−3 + a2 sn−4

+...... + an−2 )

s + an

W4

(s)=

an−1

.

s 2

(a0 s n−2

+ a1 s n−3 + a2 s n−

4 +...... + an−2 )

И наконец для ν = n передаточные функции СЭРС принимают вид.

W (s)=

Vi (S )

(i =1, n),

i

S n

где V (s)= a−1 D (s)− sn для i =1,2 ;V (s)=

D (s)

− sn

a−1

для i = 3,4 .

i

0

i

i

0 i

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

Введение эквивалентных разомкнутых систем, позволяет ввести в рассмотрение такой удобный пользовательский показатель как запас устойчивости по фазе, конструируемый с их помощью. В этой связи оказывается полезным следующее определение.

Определение 3 (О.3) Запас устойчивости

по

фазе

ϕi некоторой

системы с

единичной отрицательной обратной связью по выходу и передаточной функцией Wi (s)

прямой цепи определяется соотношением

ϕi =π +argWi (jω)

ω=ω*

(30)

где

W(

jω)

ω*

= arg{

=1}.

(31)

Применение

соотношений (28), (29), (30), (31) к семейству эквивалентных

разомкнутых

систем,

порождаемых

полиномами

В.Л.

Харитонова

в

форме

(20 ÷ 23), (24 ÷ 27),

(28 ÷ 29),

дают

одно

и тоже

значение

запаса устойчивости

i -той

системы

ϕi ,( i =1,2,3,4)

. В

этой

связи

предпочтение

семейству

из

числа

перечисленных

делается исключительно из соображений простоты вычислительного

характера. Вычисленные в силу(30,31), значения запасов устойчивости с помощью

передаточных функций эквивалентных разомкнутых систем, сопровождающих полиномы В.Л. Харитонова, порождают интервальную их реализацию вида

[ ϕ]= [ ϕ, ϕ]. Это дает возможность сконструировать оценки (9) интервальности запаса устойчивости по фазе интервальной системы (1).

260

С пользовательской точки зрения, полученные значения оценок (9) позволяют в достаточно сжатой форме оценить эффект введения в структуру системы регулятора, реализующего закон управления (3) и определить направление модификации [3] его

матричных компонентов, для уменьшения значений этих оценок с целью достижения требуемой ее величины.

Пример

В качестве примера рассматривается двухканальная фотоэлектрическая следящая система (ФЭСС), сепаратные каналы которой в медианном исполнении, представляют собой полиномиальные динамические модели второго порядка с распределением мод

Батерворта и соответственно характеристическими частотами ω0 = 3c−1 для канала слежения по азимуту и ω0 = 8c−1 для канала слежения по углу места. В измерительном

устройстве канала слежения ФЭСС могут возникать перекрестные связи, приводящие к интервальной матрице связей в прямой цепи

[P	]=		1	q1		, где [q ]= [− 0.3;0.3].
c		q		1		1
			1

Исполнительные приводы системы подвергаются температурному воздействию со стороны окружающей среды, которое проявляется в форме интервального значения

коэффициента вязкого трения приводов, приводящего в модельном представлении к
мультипликативному члену вида						(1 +[q2 ])		где [q2 ]	= [− 0.3;0.3].	С учетом сказанного
интервальная матрица состояния [F] системы примет вид
	0			1		0		0
	−υ		−υ (1 + [q ])			−υ [q ]		0
[F ]=		12	11		2	12	1		.
	0			0		0		1
υ22 [q1 ]				0		−υ22		−υ21 (1 + [q2 ])		[F] строится путем
Интервальный			характеристический					полином	матрицы

вычисления характеристических полиномов угловых реализаций матрицы [F]= F([q]) в пространстве параметров (q1 , q2 ), мощность множества которых равна четырем. Применение к полученным угловым реализациям характеристических полиномов процедуры интервализации, приводит к ИХП принимающему вид

	[D(λ)]= [1;1]λ4 + [10.9;20.2]λ3			+[96.5;154.1]λ2 +[261.3;485.3]λ +[627.8;627.8]	(32)
	В соответствии с процедурой В.Л.Харитонова на ИХП (32) строятся				четыре
полинома В.Л.Харитонова. (16)-(19), которые получают представление
	D	(λ)= λ4	+10.9λ3 +154.1λ2	+ 485.3λ + 627.8
1		(λ)= λ4
	D2		+ 20.9λ3 +154.1λ2 + 261.3λ + 627.8
	D3	(λ)=λ4 +20.9λ3 + 96.5λ2 + 261.3λ + 627.8
	D4	(λ)= λ4	+10.9λ3 + 96.5λ2	+ 485.3λ + 627.8
	Семейство		эквивалентных	разомкнутых систем сопровождающих полученные

характеристические полиномы характеризуются передаточными функциями (28) – (29), которые принимают вид

W (s)=	10.9s3 +154.1s2		+ 485.3s + 627.8
1		s	4
W2 (s)=		20.9s3 +154.1s2	+ 261.3s + 627.8
		s4

261

W (s)=		20.9s3 + 96.5s2		+ 261.3s + 627.8
3			s4
W4 (s)=		10.9s3 + 96.5s2		+ 485.3s + 627.8
			s4
По приведенным передаточным функциям могут быть определены запасы
устойчивости по фазе			ϕi (i =			)
					1,4
ϕ1 = 520.7 , ϕ2			=190.24 , ϕ3				=120.73 , ϕ4 = 510.38 .
Применение к полученным значениям процедуры интервализации дает
интервальные представления
[ ϕ]= ϕ0 + [			ϕ]=	ϕ0 + [			ϕ,		]= [120.73;520.7]= 320.715 + [−190.985;190.985]
								ϕ

, которые позволяют сконструировать оценки интервальности запаса устойчивости ФЭСС в абсолютной и относительной постановках, принимающие в силу (9) значения

I ϕ =

ϕ

=19

0

.985

δI ϕ =

ϕ

=

19

0.985

= 0.61.

ϕ0

320.715

Литература

1.Бесекерский В.А., Попов Е.П., Теория систем автоматического регулирования. - М.: Наука, 1972

2.Харитонов В.Л Об асимптотической устойчивости положения равновесия семейства дифференциальных уравнений //Дифференциальные уравнения 1978 №11

3.Синтез дискретных регуляторов при помощи ЭВМ / В.В.Григорьев, В.Н.Дроздов, В.В.Лаврентьев, А.В.Ушаков. -Л: Машиностроение , Ленингр.отд-ние, 1983.

262