ИДЕНТИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАЦИЙ

В.В. Хабалов, А.И. Салфетников

Существующие в настоящее время методы дифференцирования сигналов и, в частности, метод конечных элементов обладают определенными недостатками, вытекающими из самого принципа нахождения производной. Так, при наличии помехи в виде белого шума дифференцирование сигнала становится невозможным. Предлагается принципиально другой подход, заключающийся в том, что сначала выбирается модель сигнала, аналитическим путем находится ее производная и далее оцениваются параметры полученной модели. Такойподходисключаетсущественноевлияниепомехнаискомоезначениепроизводной.

Введение

На вход устройства оценивания (рис.В.1) поступают значения процесса, представляющие собой аддитивную смесь полезного сигнала и помехи в виде стационарной случайной последовательности с ограниченным вторым моментом. Требуется произвести операцию дифференцирования процесса, поступающего на вход устройства оценивания. Искомые оценки формируются в режиме поступления данных.

Модель сигнала

ν

u

l T

&

s(t)

z(t)

ˆ

zˆ(t)

Алгоритм

Θ

обработки

Рис. 1. Схема устройства оценивания

Задача

линейного преобразования

процессов, представляющих собой

аддитивную смесь полезного сигнала и помехи, на первом этапе решается как задача идентификации сигналов по текущим наблюдениям методом наименьших квадратов [1]. При этом используются линейные уравнения наблюдения вида

z j	= x j			+ν j	=	u	Tj	Θ + v j ,		(В.1)
x j	=	u	Tj	Θ,
гдеz1, z2 ,K, zi –					последовательность				скалярных наблюдений	идентифицируемого
процесса; Θ – неизвестный, подлежащий оцениванию вектор										параметров модели
идентифицируемого								процесса; u Tj	– известные вектора-столбцы, элементами

которых являются функции выбранной базисной системы модели идентифицируемого процесса; vj – последовательность независимых случайных величин, причём

Ev j = 0, Ev j

2 < ∞, j =1(1)i .

(В.2)

Основные положения

Первым этапом решения данной задачи является выбор функций базисной

системы модели сигнала, т.е. выбор компонент вектора u Tj		:
u	Tj = [ f1 (t) f2 (t)... fm (t)],	(1.1)

где fi (t), i =1,2,..., m – функции выбранной базисной системы.

Функции fi (t) выбираются таким образом [2], чтобы полученная модель сигнала

x j =

u

Tj Θ =θ1 f1 (t) +θ2 f2 (t) +... +θm fm (t)

(1.2)

263

позволяла выполнять простейшие линейные операции над вектором u Tj , а также

достаточно эффективно решать задачу идентификации наблюдаемого процесса. Наиболее часто для этих целей подходит полиномиальный ряд по степеням t :

f1 (t) =1,	f 2 (t) = t, f3 (t) = t 2 ,..., f m (t) = t m−1 .	(1.3)
Далее,	в зависимости от условий решаемой	задачи, выбирается метод

определения вектора параметров θ модели сигнала (1.2). В частности, при отсутствии информации о характеристиках и модели сигнала выбирается классический метод наименьших квадратов [3], метод взвешенных наименьших квадратов или метод наименьших квадратов с учетом старения информации.

Для решения задачи линейного преобразования идентифицированного процесса с

	целью получения	некоторой величины yˆ(t) = ϕ[zˆ(t)],			где ϕ определяет требуемое
	линейное преобразование полученного процесса, введем соотношение:
				T ˆ
	yˆ(t) = ϕ[zˆ(t)] = l								(1.4)
				Θ.
	ˆ	текущей оценки параметров модели			сигнала,			T	– вектор будет
						l
	где Θ – вектор

определять характер линейного преобразования вектора u Tj .

Подробно рассмотрим процедуру получения искомой оценки. Пусть модель

оценки идентифицируемого сигнала определяется выражением

T

ˆ

ˆ

zˆ(t) = u

(1.5)

(t) Θ = [ f1 (t)

f2 (t) ... fm (t)] Θ .

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

T

–

вектор

текущей

оценки параметров модели

сигнала,

где Θ =

θ1

θ2 ...

θm

определяемый

методом наименьших

квадратов,

u

T (t) = [ f1 (t)

f2 (t) ... fm (t)]

– вектор

функций выбранной базисной системы модели сигнала.

Для

данного

примера

в качестве

fi (t), i =1,2,..., m

выберем

элементы

полиномиального ряда по степеням t :

f1 (t) =1,		f 2 (t) = t, f3 (t) = t 2 ,..., f m (t) = t m−1 ,
u	T (t) = [1	t t 2 ... t m−1 ] .

Тогда модель оценки идентифицируемого процесса получим в виде

			T	ˆ
zˆ(t) = u							f1 (t) + θ2 f2 (t) + θ3 f3 (t) +... + θm fm (t) =
				(t) Θ = θ1
ˆ		ˆ		ˆ	t	2	ˆ	m−1	.
= θ1	+ θ2			t + θ3			+... + θm t

(1.6)

(1.7)

(1.8)

Для получения оценки производной полученного сигнала продифференцируем левую и правую части выражения (1.8). Получим:

ˆ&	= θ1	&	(t) + θ2	&	(t) + θ3	&		&
z(t)		f1		f 2		f3		(t) +... + θm fm (t) =	(1.9)
ˆ	ˆ				ˆ	m−2	.
= θ2	+ 2θ3	t +... + (m −1)θm t

Далее возьмем производную по времени от каждого компонента вектора u T (t) :

&

&

&

&

m−2

u (t) =

(t)

(t)

(t) ...

=

0 1 2t ... (m −1)t

.

(1.10)

f1

f2

f3

fm (t)

&

Как видно из выражений (1.9) и (1.10), для получения оценки производной идентифицированного сигнала достаточно проделать такую же операцию (взятие

производной) над каждой из компонент вектора базисных функций

u

T (t)

и умножить

его на вектор оценки параметров

ˆ

Θ модели сигнала (1.5). Тогда вектор линейного

преобразования lT

для данной задачи получим в виде

T

&

&

&

&

m−2

l

(t) = u (t) =

=

0 1 2t ... (m −1)t

, (1.11)

f1 (t)

f2 (t)

f3

(t) ... fm (t)

&

и оценка производной полученного сигнала будет определяться из выражения

ˆ

T

ˆ

(1.12)

z(t) = l

(t) Θ ,

&

264

где l T (t) = u&(t) – вектор линейного идентифицируемого сигнала zˆ(t) , Θˆ – вектор

текущей оценки параметров модели сигнала (1.5). Из рассмотренного примера следует, что, применяя аналогичные рассуждения и соответствующим образом преобразовывая

вектор базисных функций u T (t) , можно прийти к решению целого класса задач, определяемых линейным преобразованием вектора u T (t) .

В качестве примера полиномиального ряда по приведенные выше, для

выберем модель идентифицируемого сигнала в виде степеням t (1.3). Тогда, применяя преобразования, оценки сигнала (В.1), получим вектор линейного

T в виде:

преобразования l

T

t)2

t)m−1 ] ;

1)

для задачи экстраполяции

(ti

(ti + k

(ti + k

l

= [1

+ k

t)

...

2)

для задачи интерполяции

T

= [1

(ti

− k

t)

(ti − k

t)2

...

(ti − k

t)m−1 ] ;

l

3)

для задачи дифференцирования

T

2ti

(m −1)ti m−2 ] ;

l

= [0 1

...

4)

T

1 t 2

1 t3

...

1

t m ] ;

для задачи интегрирования l

= [t

T

2

3

m

5)

= [1

0

0 ...

0] .

для задачи фильтрации l

Для получения экспериментальных данных применим рассмотренные линейные

преобразования сигналов к сигналу вида

s(t) = at e−bt sin(ct) с параметрами a = 5 ,

b = 0.3 ,

c = 2 в присутствии аддитивной помехи

в

виде белого шума с нулевым

математическим ожиданием и дисперсией D = 0.5. В качестве модели сигнала примем

элементы полиномиального ряда uT = [1

t] .

Рис. 1.1. Дифференцирование сигнала методом наименьших квадратов с учетом старения. Длина памяти равна 0.8 с

Из полученного экспериментального материала следует, что линейное преобразование сигналов с использованием метода наименьших квадратов может применяться при решении широкого круга задач теории автоматического управления, где используются алгоритмы обработки сигнала в присутствии помех. Как видно из приведенных выше графиков, алгоритмы эффективно работают в присутствии помех, что особенно важно при решении задачидифференцированиясигнала.

Литература

1.Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1977.

2.Чураков. Е.П. Оптимальные и адаптивные системы. М.: Энергоиздат, 1987.

3.Льюнг. Л. Идентификация систем. М.: Наука, 1991.

265

ВЕКТОРНАЯ СИСТЕМА УПРАВЛЕНИЯ УСТРОЙСТВОМ РЕКУПЕРАЦИИ НА МИКРОПРОЦЕССОРЕ TMS320F243

А.П. Баев, М.Р. Гончаренко, А.С. Исаков, А.Н. Коровьяков, О.С. Осипцева

В статье представлены результаты разработки и испытаний микропроцессорной системы управления устройством рекуперации энергии в промышленную сеть, входящей в состав системы управления приводами эскалатора метрополитена.

Введение. Постановка задачи

Необходимость разработки описываемой системы возникла при решении поставленной Комитетом по экономике и промышленной политике Администрации Санкт-Петербурга задачи реконструкции систем управления асинхронными двигателями эскалаторов.

Принципы построения и функциональные свойства системы

Современные системы управления асинхронными электроприводами создаются на основе совокупности взаимосвязанных физических принципов, способов организации управления и взаимодействия функциональных элементов системы.

Для повышения экономической эффективности в структуру привода включено устройство рекуперации (УР) энергии. При этом достигается энергосбережение и уменьшение уровня возмущений на сеть со стороны работающего электропривода. Реализация управления УР строится в соответствии с современной концепцией векторного управления электроприводами и устройствами рекуперации. С целью расширения функциональных возможностей система управления реализована на основе микропроцессора и согласующего электронного обрамления. Основным требованием к микропроцессору является его повышенное быстродействие. Поэтому в системе управления УР применен сигнальный процессор TMS320F243, обладающий полным требуемым набором встроенных периферийных устройств АЦП, ШИМ и т.д.

Устройство рекуперации асинхронного электропривода эскалатора должно функционировать в одном из следующих режимов: в режиме синхронизации с сетью, в режиме компенсации реактивной мощности и в автономном режиме. Цели управления и динамические характеристики УР в различных режимах принципиально различны, что при реализации системы управления отражается на структуре программного обеспечения.

Программное обеспечение управляющего микропроцессора построено по модульному принципу и состоит из основной программы и ряда программных модулей, обеспечивающих требуемые функции.

Принцип определения текущего значения фазы сети заключается в том, что трехфазный вектор напряжений сети подается на вход преобразователя координат из неподвижной системы во вращающуюся. Если результирующий вектор трехфазного напряжения совпадет с осью Y вращающейся системы координат, то проекция результирующего вектора напряжения на ось X будет равна нулю, а проекция на ось Y пропорциональна амплитуде фазного напряжения.

Во вращающейся системе координат формируются сигналы задания тока для фазных регуляторов. При этом составляющая тока по оси X задается нулевой, в результате вектор тока в фазах совпадет с вектором фазного напряжения, а реактивная составляющая тока отсутствует.

Контроллер на базе сигнального процессора TMS320F243 выполняет быстрые аппаратные алгоритмы управления инвертором, ввод информации с датчиков, контроль работы, используя развитую систему периферийных устройств и датчиков контролируемых физических величин. Процессор осуществляет алгоритмы

266