ЧАСТИЧНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ И АТТРАКТИВНОСТЬ НЕТРИВИАЛЬНЫХ

МНОЖЕСТВ1

О.В. Слита, И.В. Мирошник

В работе представлен сравнительный анализ ключевых концепций пространственной динамики (инвариантности и аттрактивности нетривиальных множеств) и частичной устойчивости гладких нелинейных систем. Рассмотрены примеры, показывающие различие свойств аттрактивности и частичной устойчивости.

Введение

В традиционных задачах теории управления представление о желаемом поведении системы обычно связывается с притяжением интегральных кривых к точечным положениям равновесия (точечным аттракторам) и устойчивостью по всем переменным состояния. В последние годы внимание специалистов привлекают более сложные теоретические и прикладные проблемы, в которых необходимо обеспечить инвариантность и устойчивость системы по отношению к нетривиальным множествам

– кривым и многомерным поверхностям [2–4, 7–10]. Подобные задачи тесно связаны с концепцией устойчивости по части переменных состояния xi или некоторым

функциям от xi , т.е. так называемой частичной устойчивостью динамической

системы [4, 7–10]. С другой стороны, анализ частичной устойчивости часто ассоциируется с определенными геометрическими концепциями и может быть выполнен с помощью дифференциально-геометрической теории управления.

В статье устанавливаются взаимосвязи понятий аттрактивности многомерных множеств (подмногообразий) и частичной устойчивости нелинейных динамических систем. Также рассмотрены примеры, иллюстрирующие теоретические положения.

1. Притягивающие множества и частичная устойчивость

Рассмотрим гладкую автономную нелинейную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением вида

&	(1)
x = f (x) ,

где x – n-мерный вектор состояния системы.

Исследование свойств аттрактивности и частичной устойчивости предполагает анализ поведения системы относительно некоторого ν-мерного геометрического

объекта Z * (кривой, поверхности,	подмногообразия), все точки которого
удовлетворяют уравнению
ϕ(x) = 0 ,	(2)
где для всех x Z *
rank ϕ(x) = n − ν ,
а локальные координаты определяются как
z = ψ(x) .	(3)

Специфическое поведение системы (1) в некоторой окрестности множества Z * связано с понятиями инвариантности и аттрактивности.

Гладкая поверхность Z * называется инвариантным подмногообразием системы (1), если для всех начальных состояний x0 Z *

x(t, x0 ) Z * ,

и аттрактором (притягивающим подмногообразием), если выполняется условие равномерной аттрактивности

250

lim dist( x(t), Z * ) = 0	.	(4)
t→∞

где dist(x, Z * ) – расстояние от точки x до множества Z * . Введем в рассмотрение выходную переменную системы (1)

ξ = ϕ(x) ,	(5)
и определим решение системы (1),(5):
ξ(t) = ξ(t, x0 ) = ϕ(x(t, x0 )).
Точка ξ* = 0 называется (частичным)	положением равновесия системы (1)-(5),
когда для всех x0 Z *
ξ(t, x0 ) = 0 ,	(6)

а система (1),(5) в положении равновесия ξ = 0 называется частично асимптотически устойчивой (по отношению к функции ξ ), когда выполняется условие

lim |ξ(t, x0 )|= 0

(7)

t→∞

(равномерно по x0 ).

Понятие частичного положения равновесия связано с инвариантностью системы: ξ = 0 является частичным положением равновесия тогда и только тогда, когда для

произвольной точки x0 Z * решение x(t, x0 ) системы (1) принадлежит инвариантному

множеству Z * . Однако в общем случае инвариантное множество Z * частично устойчивой системы не является притягивающим множеством, так как (7) не

гарантирует, что соответствующая траектория приближается к Z * согласно (4), и обратно. Возникает необходимость изучения взаимосвязи указанных понятий и нахождения условий, при которых данные понятия являются эквивалентными.

2. Условия аттрактивности и частичной устойчивости

Для исследования свойств аттрактивности произвольного множества Z * и анализа частичной устойчивости системы (1), (5) рассмотрим нелинейное преобразование

координат (3)–(5), т.е.
	ξ		=		ϕ(x)		.		(8)
	z				ψ(x)
Вектор ξ(t)								связан с отклонением от множества Z * , а	вектор локальных
координат z(t) характеризует продольное движение системы.
Тождество ξ(t) ≡ 0 соответствует траекториям системы x(t, x0 ) , принадлежащим
поверхности Z *								(где поведение системы определяется вектором	z(t) ), т.е. является

признаком инвариантности подмногообразия. С другой стороны, это же тождество является признаком того, что точка ξ(t) = 0 является частичным положением

равновесия системы (1), (5). Дифференцируя (8) по времени и подставляя (1), получаем, что для x0 Z * имеет место тождество

∂ϕ	f (x) =0 ,	(9)
∂x

которое представляет необходимое и достаточное условие как инвариантности подмногообразия Z * , так и частичного равновесия системы в точке ξ = 0 .

Введем в рассмотрение открытое множество ε(Z * ) – окрестность поверхности Z * и матрицу Якоби отображения (8):

251

		Φ(x) =			∂ϕ ∂x .
		Ψ(x)			∂ψ ∂x
		Будем			полагать, что для всех x ε(Z * ) матрица Якоби						не вырождена, т.е.
det		Φ(x)		≠0 , и существует гладкое обратное отображение
		Ψ(x)
		x =r(ξ, z) .									(10)
		Матрица Якоби преобразования (10) имеет вид
		[R (ξ, z) R				z	(ξ, z)]= [	∂r	∂r	] .
		ξ						∂ξ ∂z

Далее ограничимся анализом случая, когда локальные координаты zi поверхности Z* выбраны так, что для всех x Z * выполняется Φ ΨT=0 и, следовательно, RξTRz=0 [3].

Рассмотрим поведение системы в достаточно малой окрестности ε(Z * ) и найдем связь переменных ξ(t) и dist(x(t), Z * ) , принимая во внимание, что для произвольной точки x ε(Z * ) можно записать

dist(x, Z * ) =| x − x* | ,

(11)

где x* Z * – ближайшая к x точка множества Z * . Определим значение z* = ψ(x* ) , запишем x * = r(0, z*) и

RzT(x-x*)=0	(12)
Разложим функцию (10) в ряд Тейлора в точке	(0, z*) , соответствующей

значению x = x* Z * . Пренебрегая остаточным членом ряда, для достаточно малых ξ получим:

x r(0, z* ) +

∂r

ξ +

∂r (z − z* ) = x * +[R* R* ]

ξ

,

(13)

z − z*

∂ξ

∂z

ξ z

где

R* = R (0, z) , R* = R

z

(0, z) . В силу (12)

z z* и, следовательно,

ξ

ξ

z

x − x* Rξ* (z)ξ.

Тогда

| x − x* |2 ξT Q (z)ξ=| ξ|

Qξ

,

ξ

где Qξ = Rξ*T Rξ* – матрица ν×ν. Подставляя полученное выражение в (11), получаем

dist(x(t), Z * ) =| ξ |Qξ ,

(14)

где

= (ξT Q (z)ξ)1 2 .

| ξ |

Qξ

ξ

Таким образом, принимая во внимание, что

| ξ |= (ξT ξ)12 ,

заключаем, что основное отличие свойства (4) аттрактивности подмногообразия Z * от свойства (7) частичной устойчивости системы определяется матрицей Qξ (z) .

Свойства с очевидностью эквивалентны при Qξ = I , а также в тех случаях, когда в рассматриваемой областиε(Z * ) матрица Qξ (z) ограничена.

Отметим, что матрица Qξ (z) является блоком метрической матрицы (см. [3]) и характеризует поперечное искажение евклидовой метрики пространства при переходе к

252

координатам (ξ, z) . Значительное искажение метрики и приводит к несовпадению рассматриваемых здесь свойств нелинейной системы (см. п.3).

3.Изучение частных случаев

Будем исследовать поведение систем второго порядка относительно скалярной выходной переменной ξ (t) и одномерной поверхности (кривой) Z * R 2 . В общем

случае одна и та же кривая может быть описана различными уравнениями (2). Выбор функции ϕ(x) , определяющей выходную переменную системы и неявную форму

описания Z*, устанавливает метрические свойства пространства (см. п.2). При этом достигается либо совпадение свойств аттрактивности и частичной устойчивости, либо имеет место лишь одно из указанных свойств.

Далее ограничимся рассмотрением случая, когда множество

Z * является

отрезком прямой: x1

= x2 в области x1

> 0 , x2 > 0 .

Рассмотрим линейную систему

&

2

− k

x1

+ k

x2

x1 =

2

2

2

(15)

2

x1

x2

&

=

+ k

− k

x2

2

2

2

с выходной переменной

ξ = −

2

x1 +

2

x2

(16)

2

2

и соответствующее множество Z * R2

(отрезок прямой)

−

2 x

+

2 x

2

= 0

2

1

2

с локальной координатой

z =

2 x

+ 2 x

2

.

2

1

2

не приводит к

Нетрудно

получить, что преобразование к координатам (ξ, z)

искажениямметрикипространства(см. рис. 1), и Qξ =1. Тогдапоформуле(14) находим

dist(x, Z * ) =

ξ

,

что определяет эквивалентность свойства (4) аттрактивности линии Z *

и свойства (7)

частичной устойчивости системы по ξ .

На рис. 1 для случая k>0 представлены интегральные кривые системы в

пространстве

R 2 ,

а также переходные процессы | ξ(t) | и dist(x(t), Z*) . При t → ∞

кривые

x(t) приближаются к прямой Z * , что свидетельствует об аттрактивности Z * .

Переходные процессы ξ(t) и dist(x(t), Z*) демонстрируют совпадение свойств аттрактивности и (частичной) устойчивости системы по переменной ξ .

Рассмотрим нелинейную систему

&		− 2 k x x		2		− k		2		x (x2				− x2 )
		1	1	2						1			1		2
x1	=
			2(x2				+ x2 )
						1				2						(17)
		− 2 k x2 x				+ k				x		(x			− x
&					2				2		2			2		2 )
		1	1										1			2
x2	=		2(x2					+ x			2 )
						1					2

с выходной переменной

253

ξ =		x2	− x2
		1	2		.		(18)
			2
Здесь множество Z * R 2 (отрезок прямой) определяется выражением
	x2 − x2
	1		2	= 0 ,
2
а вектор локальных координат –
	z = x1 x2 .
В этом случае преобразование к координатам (ξ, z)							вызывает существенное
искажение метрики пространства (см. рис.2). Найдем Qξ =						1	и по формуле (14) –
						2z

dist (x, Z*) = (2z)−1/ 4 | ξ | .

Последнее выражение показывает, что в данном случае характер связи свойств аттрактивности Z * и частичной устойчивости системы по ξ зависит от локальной переменной z(t).

Рис. 1. Траектории и переходные процессы системы (15)–(16)

Рис. 2. Траектории и переходные процессы системы (17)–(18)

254

На рис. 2 для случая k1 < k2 < 0 представлены интегральные кривые и переходные процессы: ξ(t) и dist(x(t), Z*) . Переходные процессы ξ(t) показывают, что система является неустойчивой по выходной переменной. В то же время кривые x(t) при t → ∞ приближаются к прямой Z * : dist (x, Z*) → 0 , что свидетельствует об

аттрактивности Z * .

Рассмотрим нелинейную систему

	x1 = −				k				x1 +			k x2					−	k x
					2								4x		2				4		1
&					1							2							2
														1											(19)
						k							k x2					k x
	x2 = −								x2 +								−					2
					2								4x2							4
&					1							2			1				2
с выходной переменной
ξ =				x2		− x2
				2					1	.															(20)
				x2
						+ x2
		1							2
Здесь множество Z * R2 (отрезок прямой) определяется выражением
	x2	− x			2		= 0 ,
	2	1
	x2
		+ x			2
1		2
а вектор локальных координат
				x 2		+ x 2
	z =		1						2		.
					2
Преобразование к координатам (ξ, z) вызывает существенное искажение метрики
пространства (см. рис.3). Находим Qξ																									= z и по формуле (14) получаем
dist(x, Z*) = z1 2 | ξ | ,
т.е., свойства аттрактивности линии																									Z * и частичной устойчивости системы по ξ не

эквивалентны, и их связь зависит от локальной переменной z(t).

Рис. 3. Траектории и переходные процессы системы (19)–(20)

На рис. 3 для случая k1 < 0 , k2 > 0 представлены интегральные кривые и переходные процессы ξ(t) и dist(x(t), Z*) . Как показывают переходные процессы ξ(t) ,

по выходной переменной система является асимптотически устойчивой: ξ → 0	при
t → ∞ . Тем не менее кривые x(t) при t → ∞ удаляются от прямой Z * ,	что
свидетельствует об отсутствии свойства аттрактивности.

255