УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫМ ДВИЖЕНИЕМ АВТОНОМНЫХ РОБОТОВ

И.В. Мирошник, А.Н. Шалаев

Рассматривается траекторная задача управления плоским движением автономных роботов, т.е. задача перемещения робота в рабочем пространстве по предписанной траектории, заданной в аналитическом виде. Основные результаты представлены задачно-ориентированной моделью пространственного движения и соответствующими нелинейными алгоритмами управления.

Введение

Подвижными роботами называются технические системы, приспособленные к самостоятельному перемещению в рабочем пространстве и предназначенные для автоматической транспортировки разнообразных предметов и механизмов [3–4, 6–7]. К данному классу можно отнести рельсовые транспортные средства, безрельсовые платформы и манипуляторы на подвижной основе, автоматические летательные, надводные и подводные аппараты, шагающие механизмы и проч.

Конструкция подвижного робота включает основание (корпус) и двигательную систему, обеспечивающую требуемое направление и скорость перемещения корпуса в рабочем пространстве. Важнейшее место в ряду подвижных роботов занимают автономные роботы, движение которых происходит в воздушной или водной среде, т.е. без контакта с опорной поверхностью. Как объект управления автономный робот является многоканальной существенно нелинейной динамической системой. Его математическое описание (модель движения) может быть получено с использованием уравнений Лагранжа или Ньютона-Эйлера, в которых силомоментные воздействия производятся двигательной системой. Особенности двигательной системы и взаимодействие с вязкой средой определяют основные отличия моделей движения автономных роботов от моделей твёрдого тела и роботов колесного типа.

Рис. 1. Автономный робот и траектория движения S

Динамические модели роботов устанавливают связи выходных переменных системы, к которым относятся декартовы координаты платформы yj и углы её ориентации αj, и входных (управляющих) переменных, в качестве которых выступают продольная движущая сила F и вращающий момент μ (рис.1). Задача, решаемая системой управления подвижного робота, заключается в создании управляющих воздействий, обеспечивающих перемещение центра масс в рабочем пространстве с учётом сил сопротивления внешней среды и ограничивающих условий,

237

представленных в виде функциональных соотношений различных переменных системы. В траекторных задачах такие соотношения даются аналитическим описанием заданной траектории движения (трассы), и задача системы управления сводится к парированию отклонений от трассы (стабилизация объекта относительно заданной траектории) и обеспечению желаемого режима продольного перемещения. При этом полагается, что робот оснащён адекватной измерительной системой, позволяющей определить текущее положение и/или значение отклонения от заданной траектории.

В работе рассматривается наиболее распространённая траекторная задача управления плоским движением автономных роботов – задача перемещения в рабочем пространстве (плоскости R2) по предписанной траектории (трассе) S, заданной в аналитическом виде. Используемый подход предусматривает нелинейное преобразование модели робота к системе задачно-ориентированных координат. Это даёт возможность свести сложную многоканальную задачу управления к ряду простых задач компенсации линейных и угловых отклонений, а затем с помощью стандартных приёмов нелинейной стабилизации [1,8] найти адекватные законы управления. Основные результаты представлены задачно-ориентированной моделью пространственного движения и соответствующими нелинейными алгоритмами управления. Результаты являются развитием известных решений задач управления пространственным движением, предложенных в [1, 3, 5].

2. Модель движения и основная задача управления

Положение корпуса робота как твёрдого тела в плоскости Y=R2 характеризуется парой

y,α,

где y=(у1, у2) – вектор декартовых координат центра масс С, α – угловая ориентация. С углом α связана ортогональная матрица (матрица вращения)

T (α) =		cosα	sinα		SO(2),	T (0) = I ,
		− sinα	cosα

соответствующая базису с началом в точке С. Поступательное движение робота описывается моделью

y = V ,			&		= T	T	(α)(F + Fc ) ,	(1)
				mV
&
а вращательное –								(2)
α = ω,				Jω = μ + μc
&			&
где V R2 и ω – линейная и угловая скорости движения,
F =		f		,				(3)
		0

и Fc R2 – заданные в относительной системе координат Z R2 управляющие и возмущающие силовые воздействия, μ и μс – управляющий и возмущающие моменты, m и J – массо-инерционные характеристики. Отметим, что в относительной системе координат робота Z вектор линейных скоростей Vz= (Vz1 ,Vz2) находится как

Vz =T (α)V .	(4)
Возмущающие воздействия рассматриваемого класса подвижных роботов
определяются выражениями
Fc = −K y (Vz )Vz .	(5)
μc = −kα (ω)ω.	(6)
где

238

K y =

k1

Vz1

0

, kα = k3

ω

,

(7)

k2

Vz 2

0

ki – коэффициенты вязкого трения.

Уравнения (1)–(6) описывают 3-канальную динамическую систему 6-го порядка с выходами y1, у2,α и входами (управлениями) f, μ..

В рассматриваемых здесь траекторных задачах требуемое поведение робота предписывается кривой, заданной в системе координат Y. Будем рассматривать движение относительно гладкого отрезка плоской кривой S, неявное описание которого имеет вид

ϕ( y) = 0 ,	(8)
а соответствующая локальная координата s (путь) определяется выражением
s = ψ( y) ,	(9)

где ϕ(y), ψ(y) – гладкие функции. Воспользуемся ортогональными представлениями кривых [1,3], для которых функции ϕ и ψ таковы, что на линии S матрица Якоби

φ( y) =		∂ψ / ∂y
		∂ϕ/ ∂y

ортогональна. Тогда, обозначив φ* ( y) = φ( y) y S , можно записать

φ* ( y) = T (α* ) SO(2) ,

где α* – угол наклона касательной. Определённая таким образом матрица T(α*) соответствует подвижному базису (базису Френе), который удовлетворяет следующему уравнению типа Френе [1–2]:

T&(α* ) = s&S(ξ)T (α* ) .

Введённые в рассмотрение ортогональные матрицы (и, следовательно, подвижные базисы) подчинены следующим дифференциальным соотношениям:

T&(α) = ωET (α) ,								(10)
&	*		&			*		(11)
T (α ) = sξ(s)ET (α ) ,
где E =		0	1		so(2) ,		ξ	– кривизна. Свойство (10) может быть записано в явной
	−1		0
форме								(12)
&
α = ω,
а уравнение (11) – как
&*		&						(13)
α	= sξ .

Задача управления траекторным движением автономного робота ставится как задача поддержания голономных соотношений между выходами системы yi, заданных в форме (8). Она дополняется описанием желаемого режима продольного движения основной точки s(t), обычно устанавливаемого с помощью эталонной переменной s*(t)

или эталонной скорости продольного движения Vs* = s&* (t) .

В установившемся режиме относительная ориентация подвижного объекта (по отношению к S) определяется следующим соотношением

T (α) = T ( α)T (α* ) ,	(14)
где α – угол разворота, T (	α) SO(2) , или в скалярной форме
α = α + α* .	(15)

Значение α определяется выражением

239

α = arctg(	m	ξV * )	(16)
	k2
Введём в рассмотрение ошибки тракторного движения. Нарушение условий (8)
характеризуется ортогональным отклонением
e = ϕ( y) ,			(17)

принимающем на множестве S нулевые значения. Текущие нарушения угловых соотношений (15) определяются угловой ошибкой

δ = α − α* − α	(18)
или ортогональной матрицей
T (δ) = T (α)T T (α* )T T ( α) .	(19)

Требуемая ориентация механизма соответствует нулевому значению δ или, соответственно, тождеству T (δ) = I .

Таким образом, задача траекторного управления автономным роботом заключается в определении (в замкнутой форме) входов f и μ, которые обеспечивают:

(а) стабилизацию движения робота относительно кривой S, что подразумевает обнуление вектора пространственных отклонений e;

(б) поддержание требуемого режима продольного движения механизма s = s* (t) , часто задаваемого с помощью простейшей эталонной модели

&*	*		(20)
s	= Vs = const ,
или обнуления скоростной ошибки
	*	&	(21)
Vs = Vs		− s .

3. Синтез алгоритма управления

Для построения системы управления траекторным движением прежде всего получим необходимые скоростные соотношения. Продифференцировав уравнения (9), (17) и (18) по времени и принимая во внимание (1), (14) и (15), найдём, что для

достаточно малых отклонений e выполняется
	s	&
	&	= T (α) y ,	(22)
	&
	e
&		&	(23)
δ + sξ = ω.

Теперь требуемая задачно-ориентированная модель пространственного движения системы может быть получена дифференцированием уравнений (22) и (23) по времени. После необходимых подстановок при малых e и δ получаем

s

&

T

s

1

T

&&

+ ξsE

&

=

T (δ +

α)(F + Fc )

(24)

&&

&

m

e

e

&&

&

1

δ + ξs + ξs

=

(μ + μc ) .

(25)

&&

&

J

Учитывая выражения (5)-(6), последние уравнения можно переписать в виде

s

1

T

& T

s

&&

+ (

T (δ + α)K yT (δ + α) + ξsE )

&

=

&&

m

&

e

e

=

1

T T (δ +

α)

f

,

(26)

0

m

&&

k3

&

k3

&

1

δ + ξs +

δ + (

ξ + ξ)s

=

μ .

(27)

J

J

J

&&

&

240

Уравнения (26)-(27) полностью описывают поступательное движение механизма и его вращение относительно кривой S. Эти выражения используются для построения алгоритмов управления.

Перепишем уравнение (26) в виде скалярных выражений

&&

& &

+

1

(k1 cos

2

(δ +

α) + k2 sin

2

(δ +

&

s

−ξe s

m

α)) s +

1

1

+

(k1 − k

&

f cos(δ + α) ,

(28)

2m

2 )sin(δ + α) cos(δ + α) e =

m

k1 − k2

&&

&2

+

sin(2(δ +

&

2m

e

+ξs

α) s +

+

1

(k1 sin

2

(δ +

α) + k2 cos

2

(δ +

&

=

1

f sin(δ + α) .

(29)

m

α)) e

m

При малых e,δ выражение (28) принимает вид

&&

+ k2

sin

2

&

= f cos( α)

(30)

ms

( α)s

где α определяется выражением (16).

Зададим требуемый режим движения вдоль кривой S с помощью эталонной

модели (20). Тогда алгоритм управления продольным движением находится как

f = ks (V *)

Vs

+ mξV *2 sin(

α) .

(31)

Соответствующий

выбор

коэффициента

ks>0 гарантирует асимптотическое

устранение

скоростной

ошибки

*

&

и требуемое качество системы

по

Vs = Vs − s

переменной Vs = s& .

Полагая s& =Vs* и учитывая малость e и δ, перепишем уравнения (29), (27) в виде

&&

*

&

*

*

*

) ,

(32)

me + a(Vs

) e

+Vs

b(Vs ) δ =

fe (ξ,Vs

J &δ&+ k3 δ& = μ −μδ ,

(33)

где

a(V * ) = k sin2 (δ +

α) + k

2

cos2 (δ +

α) , b(V * ) = (k

1

− k

2

) cos(2

α) −

m

ξV * sin(2 α) ,

s

1

s

2

s

1

* 2

*

&

*

fe = −ξVs

cos

α −

Vs

(k1 − k2 ) sin(2 α) , μδ = (k3ξ + Jξ)Vs .

2m

Алгоритм управления поперечным движением выбирается как

1

&

δ,

(34)

μ = μδ +

(ke1e

+ ke2e) + kδ1δ + kδ2

Vs*

&

где

ke1 , ke2 ,

kδ1

и

kδ 2 – коэффициенты обратных связей, которые назначаются из

условия получения требуемой асимптотической устойчивости моделей (32)–(33) и желаемых качественных показателей системы по e, что обеспечивает асимптотическое выполнение соотношения (8).

Таким образом, алгоритм управления траекторным движением автономного робота представлен локальными регуляторами (31) и (34). Его реализация предусматривает использование измерений относительного положения и ориентации системы (отклонений e, δ, и Vs).

4. Пример

Рассмотрим задачи управления движением автономного робота по прямолинейной трассе.

Для нормализованного представления прямой запишем

ϕ( y1 , y2 ) = −sin α* y1 + cos α* y2 , ψ( y1 , y2 ) = cos α* y1 + sin α* y2

и, следовательно

241

	φ( y) ≈ T (α* ) =				cos α*	sin α*	.
					−sin α*	cos α*
	&	*	= 0	, ξ = 0 и		α = 0.
	Здесь α

Результаты моделирования системы управления автономным роботом в режиме прямолинейного движения представлены на рис. 2. Здесь: α*=π/4, V*=2, а коэффициенты обратной связи выбраны так: ks=-0.5, ke1 = −0.3 , ke2 = −2 , kδ1 = −3 ,

kδ 2 = −15 . Траектории движения из различных начальных положений робота и графики переходных процессов e(t) и Vs (t) , соответствующие начальному положению

y1=5; y2=16, демонстрируют устойчивость системы и хорошие качественные показатели траекторного движения робота.

Рис. 2. Движение по прямолинейной трассе

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (Грант 99-01-00761) и Комплексной программы 19 Президиума РАН

(2001, раздел 1.4).

Литература

1.Мирошник И.В., Фрадков А.Л., Никифоров В.О. Нелинейное и адаптивное управление сложными динамическими системами. СПб.: Наука, 2000.

2.Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.

М.: Наука, 1984.

3.Бурдаков С.Ф., Мирошник И.В., Стельмаков Р.Э. Системы управления движением колёсных роботов. СПб: Наука, 2001. 232 с.

4.Canudas de Wit, C., B. Siciliano and G.Bastin (1996). Theory of robot control. SpringerVerlag, London.

5.Miroshnik, I.V. and V.O. Nikiforov (1996). Trajectory motion control and coordination of multilink robots. // Prepr. 13th IFAC World Congress. San-Francisco. Vol.A. PP.361– 366.

6.Murray, R.M., I.L.Zexiang and S.S. Sastry (1993) A Mathematical Introduction to Robotic Manipulation. Boca Raton: CRS Press.

7.Dixon, W., D.M.Dawson, E.Zargeloglu, A.Behal. (2001) Nonlinear control of wheled mobile robot. Springer-Verlag, London.

8.Isidori, A. (1995) Nonlinear control systems. 3nd edition. Springer-Verlag, Berlin.

242