Пример выполнения задания №2.

Найти абсолютную и относительную погрешность функции двух переменных: U(x,y)=x^y+2*ln(x/y) при x=5 и y=1,5, если абсолютная погрешность аргументов равна 10^-2.

Абсолютная погрешность функции U(x,y) равна:

где x и y -абсолютные погрешности аргументов x и y.

1. Из условий задания имеем: x=10^-2 и y=10^-2. Находим значения частных производных:

2. Вычисляем абсолютную погрешность при x=5 и y=1.5:

U(x,y)0,03754+0,1657=0,203240,2.

3. Така как относительная погрешность функции U(x,y) равна:

то вначале вычисляем значение функции в точке x=5 и y=1,5:

U(x,y)=5^1,5+2ln(5/1,5)11,18+2*1,204=12,38412,4,

и определяем относительную погрешность функции U(x,y):

U(x,y)0,2/12,40,01612*10^-2.

. Аппроксимация функций

1. Интерполирование-это аппроксимация (приближение) функции с помощью алгебраического многочлена(x) степени n, значения которого в заданных узлах (i=0,1,...,n) равны значениям функции в этих же узлах, т.е. (x_i)=y_i=f(x_i), при этом полагается, что среди значенийнет одинаковых, т.е.x_ix_k при ik (Рис.1).

Многочлен (x) называется интерполяционным и имеет вид:

(2.1)

Коэффициенты интерполяционного многочлена a_k (k=0,1,...n) определяются из системы линейных уравнений:

(2.2)

Погрешность интерполяции R(x) определяется по формуле:

(2.3)

2. Многочлены Лагранжа. При больших значениях n необходимо решать систему (2.2) из (n+1) уравнений, т.е. проводить большой объем вычислений. Как избежать этого? Это можно, например, сделать с помощью интерполяционных многочленов Лагранжа.

Рассмотрим многочлены степени n следующего вида, которые называются многочленами Лагранжа (выражения в угловых скобках учитывать не надо, они записаны для того, чтобы понять по какому принципу строятся эти многочлены):

(2.4)

здесь многочлен имеет степеньn+1 и он равен нулю во всех узлах x_k, k=0,1,2,…,n.

Можно видеть, что

(2.5)

т.е. многочлен Лагранжа l_k(x_i) равен нулю во всех узлах кроме k-го узла, а в самом k-ом узле он равен единице.

Используя это свойство, сразу можем сразу записать интерполяционный многочлен:

(2.6)

Представление интерполяционного многочлена (x) в таком виде называется обобщенным многочленом Лагранжа L_n(x) или просто интерполяционным многочленом Лагранжа.

На основании определения погрешности аппроксимации функции f(x) с помощью интерполяционного многочлена Лагранжа L_n(x) можем записать:

(2.7)

при этом погрешность R(x) называется остаточным членом интерполяционного многочлена. Остаточный член, записанный в форме Лагранжа, имеет вид:

(2.8)

3. Среднеквадратичное приближение. Коэффициенты интерполяционного многочлена (x) определяются из системы линейных уравнений (2.2). При большом количестве узлов интерполяции (при больших значениях n) необходимо решать систему линейных уравнений большого порядка, что может привести к большим ошибкам. Применение обобщенного интерполяционного многочлена Лагранжа также ведет к большой относительной погрешности из-за накопления ошибок. Поэтому при больших значениях n используют иные приближения, например, среднеквадратичное приближение.

Среднеквадратичным приближением функций называется приближение, когда степень аппроксимирующего многочлена n меньше m (n<m), где m+1 равно количеству узлов (i=0,1,...,m). Случай m=n соответствует интерполяции.

Мерой отклонения многочлена от заданной функцииy=f(x) при среднеквадратичном приближении является величина среднеквадратичного отклонения равная

. (2.9)

При построении аппроксимирующего многочлена x) нужно подобрать коэффициенты так, чтобы величина была минимальной.

4. Метод наименьших квадратов. Так как , тодостигает минимума при тех же значенияхa_k, k=0,1,..,n. Введя обозначение y_i=f(x_i) рассмотрим функцию :

(2.10)

Необходимым условием минимума функции является равенство нулю частных производных этой функции по переменным а_l, т.е.

(2.11)

Отсюда получаем:

(2.12)

или:

(2.13)

Данная линейная система уравнений называется нормальной системой. Из решения этой системы уравнений определяются неизвестные коэффициенты a_k, при которых минимизируются среднеквадратичное отклонение между заданной функцией f(x) и аппроксимирующей функцией.