Пример выполнения задания №4.

Используя метод наименьших квадратов найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена первой степени для функции, заданной в виде таблицы:

i	xi	yi
0	0	1,5
1	0,5	0,0
2	1,0	0,5
3	1,5	0,7

Вычислить с помощью этого многочлена значение функции в точке x=0,7; а также величину среднеквадратичного отклонения аппроксимирующего многочлена от заданной функции.

1. Так как аппроксимация строится на четырех узлах, то в системе линейных уравнений метода наименьших квадратов имеем: m=3 и n=1. Поэтому можем записать следующую систему:

Имеем:

2. Решая эту систему по правилу Крамера, получаем:

3. Таким образом, аппроксимирующий многочлен имеет вид: Вычисляем значение в заданной точке:(0,7)=0,96-0,380,7=0,694.

4. Определяем величину среднеквадратичного отклонения. Имеем: (0)=0,96; (0,5)=0,77; (1)=0,58; (1,5)=0,39. Следовательно, среднеквадратичное отклонение равно:

. Численное дифференцирование.

1. Аппроксимация производных конечными разностями. Производной функции y=f(x) называется предел:

(3.1)

Для приближенного вычисления производной используется формула:

(3.2)

где x-некоторое конечное число. Данное соотношение называют аппроксимацией производной с помощью конечных разностей, т.к. величина x конечна и не равна нулю.

Пусть известны значения функции y₀,y₁,...,y_i,...,y_n, вычисленные или заданные таблицей, в точках x₀,x₁,...,x_i,...,x_n (Рис.2). Точки x₀,x₁,...,x_i,...,x_n называются узлами, а разность между соседними значениями аргумента называется шагом h_i=x_i=x_i-x_i-1, i=1,...,n. Весь набор узлов называется сеткой. Если величина шага между узлами постоянна, то говорят, что узлы x₀,x₁,...,x_i,...,x_n образуют равномерную сетку с шагом h.

Для вычисления производнойy_i в точке точки x_i по формуле можно использовать различные разности, например, левую разность,

(3.3)

правую разность:

(3.4)

центральную разность:

(3.5)

и т.п.

2. Погрешность численного дифференцирования. При численном дифференцировании с использованием приближенной формулы, использующей конечно-разностное соотношение, естественно возникает погрешность: R(x,h)=y(x)-y_h(x,h), где y(x)-точное значение производной, а y_h(x,h)- значение производной вычисленное по приближенной формуле при шаге h.

Величина погрешности зависит от точки x, в которой вычисляется производная, и от шага h. При этом, чем меньше шаг, тем меньше погрешность. Обычно погрешность R(x,h) записывают одним из способов:

(3.6)

где, (x)h^k- называется главной частью погрешности аппроксимации, т.к. это слагаемое при h<<1 будет гораздо больше второго, а величина k называется порядком погрешности или порядком точности аппроксимации относительно шага h.

3. Аппроксимирующие формулы первого, второго и четвертого порядка точности. Аппроксимацию производных конечными разностями в общем случае можно рассматривать как замену производной от функции y=f(x) производной от аппроксимирующей функции (x), (x)f(x), где в качестве аппроксимирующей функции используется интерполяционный многочлен:

. (3.7)

Так как точность аппроксимации определяется степенью интерполяционного многочлена, то увеличивая степень многочлена n мы будем увеличивать и порядок точности аппроксимации производной.

С помощью интерполяционного многочлена Лагранжа при равномерном распределении узлов были получены следующие формулы первого порядка точности для аппроксимации производной с помощью левой и правой разности:

(3.8)

а также второго и четвертого порядка точности с помощью центральных разностей:

(3.9)

где, y^(k)() - значение “к”-той производной в некоторой точке на отрезке, которому принадлежат используемые в формуле узлы.

В крайних точках таблицы или в крайних узлах нельзя использовать соотношения для центральных разностей, которые имеют порядок точности два и выше. Поэтому в этих точках используются следующие односторонние формулы численного дифференцирования второго порядка точности:

(3.10)

4. Улучшение аппроксимации с помощью метода Рунге -Ромберга. Пусть y(x) - точное значение производной, а y_h(x) -значение производной, вычисляемое по формуле численного дифференцирования, имеющей порядок точности к относительно шага h. Следовательно, можем записать:

(3.11)

Запишем это же соотношение для шага h₁=ph:

Вычитая из второго соотношения первое получаем формулу для главной части погрешности, имеющей точность на порядок выше, чем порядок точности используемой формулы численного дифференцирования:

. (3.12)

Подставляя эту формулу в исходную формулу, получаем:

(3.13)

Данное соотношение позволяет по результатам двух расчетов производной с шагом h и шагом ph с использованием одной и той же формулы численного дифференцирования, имеющей порядок точности k, найти уточненное значение производной с порядком точности k+1. Данный прием называется методом Рунге-Ромберга.