4.2.10. Сложное движение тела

Рассматривается движение тела («летающей тарелки») относительно двух систем отсчета - неподвижной с ортами и подвижной с ортами(рис 4.16).

Необходимо определить абсолютную ориентацию тела по известной ориентации подвижной системы и относительной ориентации, информация о которой может быть передана в неподвижную систему любым способом, например, в виде телевизионной картинки или в числовом виде посредством направляющих косинусов , измеряемых подвижным наблюдателем.

Тензор поворота, описывающий «абсолютную» ориентацию ; описывающий переносное движение. Тензор поворота относительной ориентации введем в виде, т.е. этот тензор действительно описывает то движение, которое «видит» подвижный наблюдатель, одушевленный или неодушевленный (например, телекамера) и которое неподвижный может наблюдать на экране телевизора. Таким образом,

(4.41)

Вектор угловой скорости по теореме о сложении угловых скоростей имеет вид

(4.42)

Вектор углового ускорения

, или

(4.43)

Существует и другая [4] интерпретация сложного движения, которая в части описания ориентации по сути не отличается от вышеизложенного подхода, а вот в части определения относительной угловой скорости отличается существенно .

Тензор поворота переносного движения, как и ранее .

Тензором относительного поворота называется ; .Действительно, матрица компонент этого тензора, записанного в базисе , описывает относительную ориентацию.

Очевидно, что тензор поворота абсолютного движения

.

Сразу же отметим, что - это повернутый вместе с подвижной системой «истинный» тензор поворота относительного движения:

,

так что – формула (4.41).

Векторы абсолютной и переносной угловых скоростей вводятся обычным способом в соответствии с формулой Пуассона , а вот вектор относительной угловой скоростиопределяется таким образом, чтобы формула сложения угловых скоростей имела привычный (см. любой учебник) вид

. (4.44)

Для этого вводится формулой

, (4.45)

где - производная Яуманна, известная в теоретической механике как относительная производная. Так, если вектор задан координатами в подвижном базисе, то полная производная по времени имеет вид

,

где подчеркнутое слагаемое – относительная производная, т.е. производная, которую вычислял бы подвижный наблюдатель, для которого базисные векторы неподвижны. Таким образом,.

Совершенно аналогично для тензора

. (4.46)

Дифференцируя и заменяяпо (4.46), (4.45), придем к (4.44).

Собственно говоря, из (4.42) следует, что , то есть это повернутый вместе с подвижной системой (вместе с телевизором ) «истинный» вектор угловой скорости относительного движения. При графоаналитическом решении задач, когда, разумеется, рассматривается актуальное состояние, именноизображается на рисунках.

В качестве примера можно рассмотреть, например, вращающуюся вокруг неподвижной оси с ортом платформу, относительно которой вокруг оси с ортомвращается тело (см.рис.).

Введем подвижную систему отсчета, связанную с платформой.

. Тензор поворота переносного движения . Тензор поворота относительного движения («истинный») , где- орт оси поворота тела в отсчетном положении. Заметим, что для подвижного наблюдателя постоянный векторостается неподвижным и впредь. Разумеется, по (4.41),(4.42)

(4.47)

.

При втором подходе , , (векторсчитается постоянным). Так как, то по теореме (4.19)и, как отмечалось выше, получим (4.47).