- •Оглавление
- •Глава 1. Введение. 7
- •Глава 2. Статика 22
- •Глава 3. Кинематика точки 31
- •Глава 4. Кинематика твердого тела 35
- •Глава 5. Фундаментальные законы механики. 65
- •Глава 6. Механика Лагранжа 109
- •Глава 7. Колебания систем 122
- •Глава 1. Введение.
- •1.1. Системы отсчета, системы координат. Тела, примеры тел в механике.
- •1.2. Некоторые сведения из векторного анализа.
- •1.3. Некоторые сведения из тензорного анализа
- •1.3.1. Определение тензора второго ранга
- •1.3.2. Операции с тензорами второго ранга.
- •2.Тензорный базис, координаты тензора. Матричный образ тензора.
- •3. Скалярное и векторное умножение тензора на вектор и тензор. Единичный тензор.
- •4.След, векторный инвариант, определитель тензора. Теорема о представлении кососимметричного тензора.
- •1.3.3. Некоторые тождества, связанные с определителем тензора
- •1.3.4. Ортогональные тензоры. Тензор поворота.
- •Глава 2. Статика
- •2.1. Воздействия и их классификация. Главный вектор и главный момент воздействий. Зависимость главного момента от выбора опорной точки.
- •2.2. Уравнения равновесия для произвольной и плоской систем воздействий. Момент относительно оси. Типы опорных реакций. Статически определимые и неопределимые системы.
- •2.3. Эквивалентные воздействия
- •2.4. Равнодействующая, центр параллельных сил, центр тяжести.
- •Глава 3. Кинематика точки
- •3.1 Скорость и ускорение в декартовой системе координат.
- •3.2 Скорость и ускорение в цилиндрической системе координат
- •3.3. Скорость и ускорение при траекторном (естественном) способе описания движения.
- •Глава 4. Кинематика твердого тела
- •4.1 Кинематика плоского движения.
- •4.1.1 Основная формула кинематики твердого тела. Формула Эйлера
- •4.1.2 Мгновенный центр скоростей и способы его нахождения.
- •4.1.3. Ускорения точек твердого тела при произвольном и плоском движении
- •4.2.Произвольное движение твердого тела
- •4.2.1 Описание ориентации тела. Направляющие косинусы.
- •4.2.2. Углы Эйлера, самолетные (корабельные) углы.
- •4.2.3.Матрица поворота. Матрица спина. Вектор угловой скорости.
- •4.2.4. Описание ориентации с помощью тензора поворота. Теорема Эйлера о тензоре поворота.
- •4.2.5 . Тензор спина, вектор угловой скорости, формула Пуассона.
- •4.2.6.Теорема о сложении угловых скоростей
- •4.2.7. Примеры вычисления вектора угловой скорости. Пример 1. Углы Эйлера
- •Пример 2. Самолетные (корабельные) углы.
- •Пример 3. Трехстепенной гироскоп в кардановом подвесе.
- •Пример 4. Движение конуса по конусу
- •4.2.8. Связь тензора поворота и вектора конечного поворота .
- •4.2.9.Сложное движение точки. Теоремы о сложении скоростей и ускорений (теорема Кориолиса).
- •4.2.10. Сложное движение тела
- •Глава 5. Фундаментальные законы механики.
- •5.1. Первый фундаментальный закон механики - закон баланса количества движения. Открытые и закрытые тела.
- •Пример. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.
- •5.1.1. Центр масс. Теорема о движении центра масс.
- •5.1.2. Уравнения динамики относительного движения материальной точки. Силы инерции.
- •Пример 1. Маятник Фуко.
- •Маятник Фуко (точное решение линейной задачи)
- •Пример 2. Отклонение снарядов (битва у Фолклендских островов).
- •5.2. Второй фундаментальный закон механики - закон баланса момента количества движения (кинетического момента, момента импульса).
- •5.2.1. Зависимость кинетического момента от выбора опорной точки. Кинетический момент твердого тела. Тензор инерции.
- •5.2.2. Постоянный тензор инерции. Осевые и центробежные моменты инерции. Вычисление моментов инерции относительно произвольных осей.
- •5.2.3. Зависимость тензора инерции от точки (обобщенная теорема Гюйгенса- Штейнера).
- •5.2.4. Главные оси и главные моменты инерции.
- •5.2.5. Эллипсоид инерции.
- •5.2.6. Вычисление тензоров инерции некоторых тел (шар, цилиндр, конус).
- •5.2.7. Дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси. Физический маятник.
- •5.2.8. Дифференциальные уравнения произвольного движения твердого тела. Замена опорной точки во втором фундаментальном законе.
- •Пример 1. Качение шара по вращающейся плоскости.
- •Пример 2. Качение шара по внутренней поверхности вертикального цилиндра.
- •5.2.9. Динамические реакции оси вращающегося тела. Пример
- •5.3. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).
- •5.3.1. Кинетическая энергия материальной точки и твердого тела. Теорема Кенига.
- •5.3.2. Мощность, работа. Потенциальные воздействия.
- •5.3.3. Примеры потенциальных воздействий
- •5.3.4. Теорема об изменении кинетической энергии.
- •5.3.5. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).
- •Глава 6. Механика Лагранжа
- •6.1.Обобщенные координаты, связи, число степеней свободы.
- •6.2. Уравнения Лагранжа (второго рода).
- •Замечание 1. Вычисление обобщенных сил для потенциальных воздействий.
- •Замечание 2. Принцип возможных скоростей
- •Замечание 3. Обобщенные силы, обеспечивающие постулируемую зависимость координат от времени. Примеры.
- •Пример 1. Математический маятник с изменяющейся длиной.
- •Пример 2. Движение тележки по вращающемуся стержню.
- •Замечание 4. О неголономных системах. Пример.
- •Пример 4. Движение точки по качающейся поверхности.
- •Приложение: Тождества типа Лагранжа для вращательных движений и их применение для получения уравнений.
- •Глава 7. Колебания систем
- •7.1. Колебания системы с одной степенью свободы.
- •7.1.1. Свободные колебания без сопротивления.
- •7.1.2. Вынужденные колебания без сопротивления при гармоническом воздействии. Резонанс.
- •7.1.3. Вынужденные колебания без сопротивления при произвольном воздействии. Интеграл Дюамеля.
- •7.1.4. Свободные колебания с учетом сопротивления.
- •7.1.5. Вынужденные колебания с учетом вязкого сопротивления.
- •Пример. Малые колебания кривошипно-шатунного механизма.
- •7.2. Колебания системы с несколькими степенями свободы.
- •7.2.1. Линеаризация уравнений движения вблизи положения равновесия.
- •7.2.2 Устойчивость положения равновесия.
- •7.2.3. Собственные частоты и формы малых колебаний.
- •7.2.4. Общее решение задачи о свободных колебаниях.
- •7.2.5. Главные (нормальные) координаты
- •1. Случай кратных частот
- •7.2.6. Вынужденные колебания системы с несколькими степенями свободы.
- •1.Разложение по формам свободных колебаний (метод главных координат)
- •2. Случай гармонических обобщенных сил. Пример: динамический гаситель
- •7.3. Колебания упругих тел с распределенными параметрами.
- •7.3.1. Метод Рэлея-Ритца
- •Пример 1. Свободные изгибные колебания консольного клина переменного круглого сечения
- •7.3.2. Метод конечных элементов (мкэ).
- •Пример 2. Продольные колебания консольного стержня постоянного сечения.
- •Литература
1.2. Некоторые сведения из векторного анализа.
Некоторые физические величины описываются одним лишь числом - это скалярные величины (масса, температура, объем, энергия); для описания других требуется задать величину и направление – это векторы (скорость, сила). Векторы будут обозначаться подчеркнутыми буквами (например ); та же буква без черты будет обозначать модуль (длину):.
Сразу же заметим, что векторы в виде направленных отрезков идеально подходят для описания перемещения (трансляции) тела в пространстве, а даже такое простейшее движение тела как вращение вокруг неподвижной оси удобно изобразить в виде кругового вектора , полностью описывающего и направление вращения и своей длиной угол поворота.
Круговому вектору сопоставим прямой вектор, который перпендикулярен плоскости кругового, а направление согласовано с выборомориентации пространства, а именно:
Пространство называется правоориентированным, если с конца прямого вектора направление кругового виднопротив часовой стрелки и левоориентированным, если по часовой стрелке (рис.1.2).
Векторы и тензоры называются полярными, если при изменении ориентации они не изменяются, и аксиальными, если изменяют знак на противоположный. Из вышесказанного ясно, что величины, прямо либо косвенно связанные с перемещениями, являются (скорее всего) полярными, а с вращениями – аксиальными, но это необходимо проверять.
На множестве векторов (в векторном пространстве) вводятся операции с векторами, позволяющие не постулировать (как это принято в математике), а доказать привычные правила коммутативности (перестановочности) операций сложения и умножения, (за исключением операции векторного умножения, для которого ), дистрибутивности (распределительный закон умножения), ассоциативности (сочетательный закон) сложения.
1. Сложение векторов (рис 1.3а)
2.Умножение на число: (рис 1.3b)
3.Скалярное произведение:(1.2)
Независимо от выбора базиса модуль вектора вычисляется по формуле
.
С помощью скалярного произведения можно вычислить проекцию вектора на направление вектора:и угол между ними:.
В наиболее часто применяемом ортонормированном базисе , в котором
- символ Кронекера,
.
Здесь применяется правило суммирования по повторяющимся индексам: .
Упражнение. С помощью скалярного умножения доказать теорему косинусов для суммы векторов :
4. Векторное произведение .
Векторное произведение непосредственно связано с ориентацией пространства.
В результате произведения получается вектор, модуль которого равен произведению модулей сомножителей на синус угла между ними:
, а направлен он перпендикулярно сомножителям в ту сторону, откуда кратчайший поворот первого сомножителя ко второму виден
a) против часовой стрелки в правоориентированном пространстве
b) по часовой стрелке в левоориентированном.
Далее по умолчанию будем считать пространство правоориентированным. Отметим геометрический смысл векторного произведения - это вектор, перпендикулярный к сомножителям, длина которого равна площади построенного на них параллелограмма (рис.1.4a)
Из определения векторного произведения следует, что в результате произведения двух полярных или двух аксиальных векторов получается вектор аксиальный, а произведение полярного на аксиальный – полярный вектор.
Векторное произведение не зависит от системы координат, а его координатная форма записи зависит. Так, в ортонормированном базисе векторное произведение формально можно записать в виде определителя
( , (1.3)
где знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (-) – для левой.
Тройка векторов называется правой (в правоориентированном пространстве), если с конца третьего вектора () кратчайший поворот от первого (ко второму (виден происходящим против часовой стрелки.
В заключение параграфа приведем часто используемые в механике формулы смешанного и двойного векторного произведений.
Смешанное произведение ( имеет простой геометрический смысл. Поскольку, гдеS – площадь параллелограмма, а – единичный вектор нормали (рис.1.4b), то ( , где -объем параллелепипеда, построенного на векторах; знак (+) соответствует случаю, когда тройка векторовправая, знак (-) – левая.
. Смешанное произведение не изменяется при круговой перестановке:
( )(1.4)
В координатном виде смешанное произведение с учетом (1.3) можно записать в виде
( , (1.5)
где, как и в (1.3), знак (+) для правой тройки базисных векторов, а (-) – для левой.
Формула для двойного векторного произведения имеет вид (без доказательства)
) –(формула «бац – цаб») (1.6)
Упражнение. Доказать тождество (тождество Лагранжа):
. (1.6a)
Доказательство. Обозначим , внесем его по (1.4) в векторное произведение и воспользуемся тождеством (1.6)
Полагая, в частности, получим
Упражнение. Доказать тождество
(1.6b)
Разумеется, это тождество можно проверить прямым вычислением с помощью (1.5), но можно поступить иначе, познакомившись заодно с понятием взаимного базиса. Обозначим для удобства и разложим произвольный вектор по этому базису:.Чтобы найти, например, координату,надо умножитьвекторно на(исчезнет второе слагаемое) и затем скалярно на(исчезнет третье). Получим
, откуда и аналогично ,
где векторы называются векторамивзаимного базиса (или кобазиса).
Таким образом,
.
Положим теперь , заменим в правой части с помощью тождества Лагранжа произведения наи умножим последнее равенство скалярно на. Полученное выражение – разложение определителя (1.6b) по третьей строке.
Если основной базис ортонормированный, то взаимный базис совпадает с основным, и только в этом случае координаты вектора совпадают с его проекциями на оси, задаваемые векторами базиса. Независящий от выбора базиса вектор можно разложить как по основному базису , так и по взаимному.
Координаты называются контрвариантными, аковариантными (они меняются по тому же закону, что и основной базис).