2. Случай гармонических обобщенных сил. Пример: динамический гаситель

Если вектор - столбец обобщенных сил имеет вид , то частное решение системы (12) можем найти в виде:

, откуда получаем систему линейных уравнений относительно амплитудного вектора :

Решение этой системы можем получить, например, с помощью формулы Крамера , гдеопределитель системы, аопределитель, в котором «K – й» столбец заменен столбцом .

Пример. Динамический гаситель колебаний. Антирезонанс.

Движение тела массы , закрепленного на упругой опоре жесткости, под действием силы, описывается уравнением,

частное решение которого (чисто вынужденные колебания) имеет вид

квадрат собственной частоты.

Сила моделирует, например, причину колебаний корпуса двигателя ввиду неуравновешенности его движущихся частей.

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы (амплитудно-частотная характеристика) имеет вид:

Прикрепим к телу груз на пружине жесткостью. Подставляя кинетическую и потенциальную энергии системы

,

в уравнения Лагранжа получим.

Отыскивая частное решение этой системы в виде , получим систему ,

откуда , где определитель системы

.

Из выражения для видно, что, если массуи жесткость пружины«дополнительного» тела, называемого динамическим гасителем, подобрать так, чтобы, то амплитуда колебаний« основного» тела, на которое действует сила, будет равна нулю:; это невозможное для статических задач свойство динамических задач называетсяантирезонансом.

Замечание. Динамический гаситель колебаний, позволяющий уменьшить вибрацию вблизи номинальной рабочей частоты , превращает защищаемый механизм в систему с двумя степенями свободы и, соответственно, с двумя резонансными частотамии,которые являются собственными частотами и определяются из уравнения

,

где (гаситель настроен на частоту).

Это уравнение можно переписать в виде

,

где обозначено . Корни этого уравнения лежат по разные стороны от рабочей частотыи собственной резонансной частоты(см. рисунок), поэтому при выводе механизма на рабочую частоту возникает проблема перехода через резонансную частоту.

7.3. Колебания упругих тел с распределенными параметрами.

Перемещения, деформации, внутренние силы и моменты, распределение массы в реальных телах и их моделях описываются функциями положения (места) и времени, поэтому число степеней свободы бесконечно. Однако в зависимости от требуемой точности и характера изучаемого движения (покоя) можно свести задачу к модели с несколькими степенями свободы (осуществить дискретизацию). Имеются различные способы дискретизации.

7.3.1. Метод Рэлея-Ритца

Для иллюстрации метода рассмотрим прямолинейный стержень, который может совершать продольные, крутильные, изгибные колебания. Перемещения задаются в виде ряда

, (1)

где - задаваемые линейно-независимые функции координат, (координатные функции), а неизвестные функции времени, которые в терминах механики Лагранжа можно назвать обобщенными координатами. Если используется только одна координатная функция, метод называется методом Рэлея. Координатные функции должны, по меньшей мере, удовлетворять краевым условиям для перемещений (т.н. кинематическим условиям); разумеется, если удовлетворяются хотя бы некоторые силовые условия, результаты будут ближе к точному решению.

Кинетическая и потенциальная энергии деформации (внутренняя энергия) во всех отдельно рассматриваемых случаях имеют вид

, , (2)

где приведенные в таблице коэффициенты инерции и жесткости, адеформация.Подставляя (1) в (2), получим

Уравнения Лагранжа для полученной системы с степенями свободы имеют вид

где обобщенные силы, соответствующие внешним воздействиям

.

	Переме щение	Деформация	Жесткость	Инерция	Усилия и Моменты
Продольные колебания					Продольная сила
Изгибные колебания					Перерезывающая сила Изгибающий момент