7.2.4. Общее решение задачи о свободных колебаниях.

Общее решение строится как сумма главных колебаний с произвольными фазами, умноженных на произвольные постоянные :

,

или .

В общем решении произвольных постоянных, которые можем найти изначальных условий:

Обозначим и перепишем систему в виде

.

Определитель каждой из подсистем не равен нулю, поскольку его столбцы – линейно независимые формы колебаний. Постоянные выражаются через:.

Пример:

К концу вертикального стержня длиной и массойна тросе длинойподвешен груз массой. Устойчивость вертикального положения равновесия обеспечивается спиральной пружиной жесткостью.

Потенциальная энергия .

Раскладывая ее в ряд до второй степени включительно, получим

.

Обобщенные силы

Кинетическая энергия, как уже отмечалось, записывается в момент прохождения системой положения равновесия:

, где

.

Уравнения Лагранжа

имеют вид

(1)

Решение системы (1) будем искать в виде

,

(2)

Приравнивая определитель нулю, получим частотное уравнение

Пусть .Тогда

.

Частотное уравнение примет вид

.

Отношение амплитуд найдем из первого, например, уравнения системы (2):

. Для первой собственной частоты и главное колебание

, для второй и.

Общее решение имеет вид

.

7.2.5. Главные (нормальные) координаты

Независимость структуры уравнений Лагранжа от выбора обобщенных координат наводит на мысль о возможности введения таких координат, называемых главными, чтобы каждое из уравнений Лагранжа содержало бы только одну координату, или, что равносильно, чтобы матрицы жесткости и инерции были бы диагональными.

Можно было бы сослаться на теорему из линейной алгебры, которая утверждает, что две симметричные матрицы, одна из которых положительна (в данном случае это матрица инерции ), можно одним неособенным преобразованием привести к диагональному виду, но уже рассмотренные собственные формыпозволяют без труда это сделать.

Введем новые координаты по формулам

или (10)

С учетом ортогональности форм имеем

Совершенно аналогично , где.

Таким образом, система уравнений Лагранжа в главных координатах распадается на уравнений вида

, (11)

решения которых являются главными колебаниями .

Ясно, что отыскание главных координат, по сути, означает решение исходной задачи по вычислению собственных частот и форм, поэтому главные координаты имеют, главным образом, теоретическое значение, позволяющее рассмотреть некоторые особые случаи.