9.3. Ошибки выборочного наблюдения
При проведении выборочного наблюдения допускаются ошибки двух видов: ошибки регистрации и ошибки репрезентативности. Ошибки регистрации могут быть при проведении всех видов наблюдения. Они зависят от добросовестности и квалификации регистраторов, правильности ответов опрашиваемых и т. д.
Ошибки репрезентативности свойственны только выборочным наблюдениям. И те и другие ошибки могут быть случайными и систематическими.
Случайные ошибки – несущественные, так как отклонения в сторону уменьшения или увеличения встречаются одинаково часто, и взаимно погашаются.
Систематические ошибки существенно искажают результаты, так как допускаются отклонения в одну сторону, эти ошибки являются следствием нарушения принципа случайного отбора.
При соблюдении принципа случайного отбора ошибка выборки определяется прежде всего численностью выборки. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем меньше величина ошибки выборки.
Ошибка выборки также определяется степенью варьирования изучаемого признака, а степень варьирования характеризуется в статистике средним квадратом отклонений – дисперсией.
Средняя ошибка выборки () при собственно-случайном повторном отборе определяется следующим образом:
для
среднего значения признака по формуле
для
доли альтернативного признака по формуле
где n – численность выборочной совокупности;
σ2 – дисперсия признака;
ω– доля единиц совокупности с заданным значением признака в общей их численности по выборке.
Применительно
к бесповторной выборке в формулы средней
ошибки выборки
необходимо добавить дополнительный
множитель в подкоренное выражение
,
тогда формулы средней ошибки выборки
примут следующий вид:
для
среднего значения признака:
для
доли альтернативного признака:
где N – численность генеральной совокупности.
Предельную ошибку выборки () находят по формуле
= ± tμ,
где t – коэффициент доверия, величина которого зависит от заданной вероятности (р) и определяется по специальным таблицам, исчисленным по интегралу Лапласа.
Эти таблицы обычно приводятся в учебниках и учебных пособиях по статистике.
Например, при р = 0,683 t = 1; при р = 0,954 t = 2; при р = 0,997 t = 3.
Если в вышеприведенную формулу предельной ошибки выборки подставить значение средней ошибки выборки, то формула предельной ошибки выборки для среднего значения признака примет следующий вид:
при
повторном отборе:
при
бесповторном отборе:
Границы (пределы) среднего значения признака по генеральной совокупности (х) определяются следующим неравенством:
,
где х – среднее значение признака по выборочной совокупности.
Пример 1. С целью изучения естественной убыли крупы в порядке механической выборки произведено 2 %-ное обследование. Полученные результаты необходимо использовать для определения интервалов (пределов), в которых ожидается средний процент естественной убыли крупы в генеральной совокупности, с вероятностью 0,954 (табл. 33).
Таблица 33
|
Потери крупы, % |
Число партий (в % к итогу), f |
Середина интервала (х) |
хf |
x – x |
(х – x)2 |
(x – x)2f |
|
А |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
До 0,15 |
18 |
0,10 |
1,8 |
0,185 |
0,0342 |
0,6156 |
|
0,15–0,25 |
22 |
0,20 |
4,4 |
0,085 |
0,0072 |
0,1584 |
|
0,25–0,35 |
30 |
0,30 |
9,0 |
0,015 |
0,0002 |
0,006 |
|
0,35–0,45 |
17 |
0,40 |
6,8 |
0,115 |
0,0132 |
0,2244 |
|
Свыше 0,45 |
13 |
0,50 |
6,5 |
0,215 |
0,0462 |
0,6006 |
|
Итого |
100 |
– |
28,5 |
– |
– |
1,605 |
Определяем средний естественный процент потерь крупы по отобранному числу партий по формуле
Затем определяем выборочную дисперсию признака следующим образом:
Предельная ошибка выборки для средней составит:
%.
Следовательно, средний естественный процент потерь крупы в генеральной совокупности находится в следующих пределах:
;
,
т. е. от 0,256 до 0,311 %.
Предельная ошибка выборки для доли альтернативного признака определяется следующим образом:
при
повторном отборе по формуле
при
бесповторном отборе по формуле
Границы (пределы) доли признака по всей (генеральной) совокупности определяются следующим неравенством:
где р – доля альтернативного признака по генеральной совокупности.
Пример 2. С вероятностью 0,997 необходимо определить возможные пределы доли партий с естественным процентом потерь крупы свыше 0,35 % (см. табл. 33).
Доля партий с естественным процентом потерь крупы свыше 0,35 %составляет:
.
Исчислим предельную ошибку выборки для доли следующим образом:
Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что интервал, в котором находится доля партий с естественным процентом потерь крупы свыше 0,35 % в генеральной совокупности равен:
,
т. е. от 16,5 до 43,5 %.