Тема 6. Показатели вариации

6.1. Понятие вариации признаков. Показатели вариации

Средние величины дают обобщенную характеристику варьирующего признака, но в них не отражается степень колеблемости отдельных значений признака вокруг среднего уровня. Для измерения колеблемости изучаемого признака в статистике применяются различные показатели.

1. Размах вариации (R) определяется по формуле

R = х_мах – х_min,

где х_min – минимальное значение признака;

х_mах – максимальное значение признака.

Этот показатель дает общее, внешнее представление о колеблемости признака, но не характеризует степень его колебаний.

2. Среднее линейное отклонение исчисляется по следующим формулам:

 по несгруппированным данным: ;

 по сгруппированным данным: .

Этот показатель представляет собой среднюю величину из отклонений индивидуальных значений признака от средней арифметической. Как меру вариации признака этот показатель в статистике применяют редко.

3. Дисперсия признака (σ²) рассчитывается следующим образом:

 по несгруппированным данным: ,

 по сгруппированным данным: .

Дисперсия является средней арифметической квадратов отклонений каждого значения признака от общей средней, это относительная мера вариации.

4. Среднее квадратическое отклонение – это абсолютная мера вариации, выражается в единицах измерения изучаемого признака и определяется по следующим формулам:

 по несгруппированным данным: ;

 по сгруппированным данным: .

5. Коэффициент вариации (V) применяется для сравнения степени вариации различных признаков, выражается в процентах и определяется следующим образом:

.

Рассмотрим определение дисперсии признака, среднего квадратического отклонения и коэффициента вариации на следующем примере.

Пример 1. Имеются следующие статистические данные о возраст- ном составе работающих по возрасту (табл. 18).

Таблица 18

Группировка работающих по возрасту, лет (х)	Удельный вес работающих, % ( f )
До 20	4
20–30	20
30–40	30
40–50	28
Свыше 50	18
Итого	100

Решение

Так как данные представлены в сгруппированном виде, то для расчета следует применить следующие формулы:

 дисперсии: ,

где ;

 среднего квадратического отклонения: ;

 коэффициента вариации: .

Сначала определим условные нижнюю и верхнюю границы первого и последнего интервала, затем от интервального ряда перейдем к дискретному ряду.

Расчеты следует проводить в табл. 19.

Таблица 19

Группировка ра- ботающих по возрасту, лет (х)	Удельный вес работающих, % ( f )	Середина интервала (х)	x  f
До 20	4	15	60	–23,6	556,96	2227,84
20–30	20	25	500	–13,6	184,96	3699,2
30–40	30	35	1050	–3,6	12,96	388,8
40–50	28	45	1260	6,4	40,96	1146,88
Свыше 50	18	55	990	16,4	268,96	4841,28
Итого	100	–	3860	–	–	12304

Определим следующие показатели:

 среднее значение признака по формуле лет;

 дисперсию по следующей формуле: ;

 среднее квадратическое отклонение по формуле лет;

 коэффициент вариации следующим образом: %. ЕслиV  33 %, то это говорит о большой колеблемости признака в изучаемой совокупности.

Дисперсия (σ²) имеет ряд математических свойств, которые упрощают технику ее расчета. В математической статистике доказано, что она равна разности между средней из квадратов значений признака и квадратом их средней:

.