Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	II
	JJ

2.1Принятие решений в условиях полной определенности

Условия полной определенности можно разбить на два типа. К первому относятся однокритериальные условия определенности: имеется один целевой ориентир и известны все условия для его достижения. Ко второму типу определенности относятся те ситуации, когда требуется достичь одновременно несколько целевых ориентиров. Это задачи многокритериальной оптимизации. В рамках макроэкономического планирования программно-целевой метод планирования (например, при разработке целевых комплексных программ) обычно предполагает реализацию множества целей социального, экономического и научно-технического развития.

Задачи однокритериальной оптимизации часто встречаются при микроэкономическом планировании, например, планирование производства (максимизирующего прибыль с учетом ограниченности ресурсов), планирование сбытовой деятельности (минимизация затрат при поставке продукции различным потребителям). Данные задачи решаются с помощью моделей математического программирования. В частности, их реализацию можно осуществлять с помощью надстройки «Поиск решения» Excel.

Модели в принятии решений Стр. 37 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.1 II
	JJ

2.1.1 Многокритериальные методы оптимизации

В случае многокритериальной оптимизации используют различные методы:

1)сведение многих критериев к одному с помощью весовых коэффициентов (свертывание критериев);

2)минимизации максимальных отклонений для всех критериев от их наилучших значений;

3)оптимизация одного критерия и использование остальных

ввиде ограничений;

4)упорядочивание критериев и последовательная оптимизация по каждому из них.

Далее будем полагать, что все критерии желательно максимизировать и пусть каждый j-й критерий характеризуется целевой функцией fj(x), j = 1, . . . , n, где x — некоторый допустимый план (альтернатива) деятельности субъекта (организации). Поиск оптимальной альтернативы x зависит от выбора (например лицом принимающего решение) метода многомерной оптимизации. Рассмотрим некоторые из них.

Модели в принятии решений Стр. 38 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.1 II
	JJ

Метод равномерной оптимальности. В рамках данного метода на основе исходных критериев максимизации fj формируется новый критерий на максимум:

	n
f (x) =	Xj	(2.1)
	fj(x).
	=1

В качестве простейшей модификации этой формулы используют среднее арифметическое:

f (x) =	n
	jP .
	fj(x)
	=1
	n

Данный метод обычно применяется для абсолютных показателей. Недостатком метода является то, что малые значения одних критериев могут быть компенсированы большими значениями других; все критерии fj должны максимизироваться, иметь одинаковый приоритет и одинаковую размерность (или быть безразмерными).

Модели в принятии решений Стр. 39 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.1 II
	JJ

Метод справедливого компромисса. В рамках данного метода на основе исходных критериев максимизации fj формируется новый критерий на максимум:

	n
f (x) =	Yj	(2.2)
	fj(x).
	=1

В качестве модификации этой формулы используют среднее геометрическое:

n

Y 1/n

f (x) = fj(x) .

j=1

Данный метод обычно применяется для относительных независимых показателей, например, индексов. Недостатки этого критерия такие же как для метода равномерной оптимальности.

Модели в принятии решений Стр. 40 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.1 II
	JJ

Метод свертывания критериев. Данный метод обобщает метод равномерной оптимальности. Для этого формируется новый (свернутый) критерий на максимум с весовыми коэффициентами αj > 0:

nn

X	X	(2.3)
f (x) = αjfj(x),	αj = 1.
j=1	j=1

Модификацией этой формулы является мультипликативное свертывание критериев:

n

f(x) = Y fj(x) αj .

j=1

Значение весового коэффициента αj можно трактовать как доля значимости критерия j.

При использовании метода исходные частные критерии необходимо предварительно преобразовывать, так как согласование частных критериев за счет различной размерности весовых коэффициентов невозможно из-за условия нормировки коэффициентов (нельзя складывать показатели с различной размерностью). Другим недостатком является то, что коэффициенты αj должны быть найдены на основе экспертных оценок, что вносит некоторую неопределенность (субъективность) в получаемых результатах.

Модели в принятии решений Стр. 41 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.1 II
	JJ

Метод главного критерия. При данном методе отбирается один в качестве главного, а к остальным предъявляются требования, чтобы они принимали значения не ниже некоторых пороговых значений. Пусть первый критерий является главным, а остальные должны принимать значения не менее соответствующих пороговых значений d2, d3, . . . , dn. Тогда получаем следующую задачу: найти максимум функции f1(x) при ограничениях: f2 > d2, f3 > d3, . . . , fn > dn. В тех случаях, когда полученная задача не имеет решение, снижают пороговые значения до более низких приемлемых уровней (например на 5% или 10%) до тех пор, пока не появится хотя бы одно решение.

Недостатком метода является проблема выбора главного критерия и пороговых значений остальных. Такой выбор, как правило, носит субъективный (экспертный) характер и поэтому несет в себе некоторую неопределенность.

Модели в принятии решений Стр. 42 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.1 II
	JJ

Метод идеальной точки. Данный метод соответствует принципу Сэвиджа, суть которого в следующем. Максимизация всех критериев одновременно обычно оказывается невозможной. С геометрической точки зрения множество всевозможных планов деятельности субъекта хозяйствования изображается в n-мерном пространстве некоторой ограниченной фигурой, а план, отражающий максимум всех критериев, — «идеальной» точкой, не принадлежащей этой фигуре. Поэтому задача заключается в отыскании на фигуре точки, ближайшей к «идеальной» точке.

Алгоритм метода в следующем. Для каждого критерия j определяется максимальное значение fjmax среди всех значений fj(x), где x пробегает множество всех альтернатив. Далее формируется функция (матрица) потерь, состоящая из элементов

gj(x) = fjmax − fj(x)

(2.4)

(характеризующих потери по сравнению с тем, что могло быть

— альтернативные затраты). Для каждого фиксированного x находится максимум по j (максимальные потери — отклонения от наилучших значений). Среди полученных значений выбирается минимальное. Соответствующая этому значению альтернатива x характеризует минимальные отклонения от наилучших значений всех критериев (минимальные потери).

Недостаток метода в том, что не всегда выбор плана с минимальными потерями является наилучшим. При определенной доле риска большие´ потери могут принести и большую´ выгоду.

Модели в принятии решений Стр. 43 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.2 II
	JJ

2.1.2Подготовка данных — переход к нормированным показателям

Рассмотренные методы как правило требуют, чтобы частные критерии были одного типа, например, найти максимум для всех критериев. На практике возможно потребуется противоположное, например, минимизировать затраты. В таком случае соответствующие показатели достаточно умножить на (−1) и перейти от задачи минимизации к задаче максимизации.

Для согласования размерности различных показателей обычно переходят к безразмерным величинам. Один из способов согласования показателей — переход к индексам (цепным или базисным).

Другой подход — преобразование данных в единую шкалу измерения. Для этого вычисляют у каждого частного критерия его наибольшее и наименьшее значение, а потом отклонение текущего показателя делят на разность между наибольшим и наименьшим значениями показателей:

gj(x) =

fj(x) − fjmin

j = 1, . . . , n,

(2.5)

,

max

min

fj

− fj

где

max

=

max

(

x

),

min

= min

(

x

) при условии, что

min =

fj

x

fj

fj

x

fj

fj

6

6= fjmax.

Новый показатель gj(x) по критерию j становится нормированным (принимает значения от 0 до 1) и безразмерным. Его можно интерпретировать в процентах: например, показатель gj(x) = 0,75 означает, что план x по критерию j на 75% лучше наихуждшего плана; gj(x) = 1 = 100% — план x — наилучший; gj(x) = 0 = 0% — план x — наихудший.

Показатель 1 −gj(x) можно интерпретировать размер потерь при плане x по сравнению с наилучшим планом.

Рассмотрим пример расчета оптимальных альтернатив по различным критериям.

Модели в принятии решений Стр. 44 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.2 II
	JJ

Пример 2.1. Муниципальное образование разрабатывает план социально-экономического развития на ближайший год. При этом ставятся одновременно следующие цели: снизить число безработных в муниципальном образовании, увеличить долю газифицированных населенных пунктов, переселить людей из аварийного и ветхого жилья, отремонтировать дороги. Эффективность реализации трех альтернативных планов представлена в табл. 2.1. Требуется найти наиболее выгодный план социально-экономического развития в соответствии с методами равномерной оптимальности, справедливого компромисса, свертывания критериев и идеальной точки.

Таблица 2.1. Оценки эффективности планов социальноэкономического развития

	Альтернативы		Цели (критерии)
		число без-	уровень га-	число пере-	ремонт
	(планы)	работных,	зификации,	селенных
					дорог, км.
		сот. чел.	%	семей, ед.
	План 1	6	45	90	180
	План 2	9	40	85	170
	План 3	5	50	80	165

Модели в принятии решений Стр. 45 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.2 II
	JJ

Решение. Так как исходные данные имеют различную размерность, то перейдем к безразмерным величинам по формуле (2.5) и заполним новую таблицу нормированных коэффициентов (табл. 2.2).

Таблица 2.2. Показатели эффективности

	A	B	C	D		E
		Число без-	Уровень	Число пе-		Ремонт
			газифи-
1	Альтернативы	работных,		реселенных		дорог,
			кации,
		сот. чел.		семей, ед.		км.
			%
2	План 1	6	45	90		180
3	План 2	9	40	85		170
4	План 3	5	50	80		165
5		Максимизируемые коэффициенты
6	План 1	−6	45	90		180
7	План 2	−9	40	85		170
8	План 3	−5	50	80		165
9	Максимум	−5	50	90		180
10	Минимум	−9	40	80		165
11		Нормированные коэффициенты
12	План 1	0,750	0,500	1,000		1,000
13	План 2	0,000	0,000	0,500		0,333
14	План 3	1,000	1,000	0,000		0,000

По условию задачи число безработных необходимо минимизировать, поэтому для расчета нормированных коэффициентов показатели числа безработных были умножены на −1. Так в ячейке B6 была введена формула =-1*B2 и «протянута» до ячейки B8. Остальные показатели были скопированы при помощи знака «=»: в ячейку C6 введена формула =C2 и «протянута» до ячейки E8.

Модели в принятии решений Стр. 46 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.2 II
	JJ

Далее были вычислены наибольшее и наименьшее значения по каждому критерию. Так в ячейке B9 введена формула =МАКС(B6:B8), а в ячейке B10 формула =МИН(B6:B8), остальные значения в строках 9 и 10 были получены в результате «протягивания».

Для расчета нормированных коэффициентов в ячейке B12 введена формула

=(B6-B$10)/(B$9-B$10)

и «протянута» на массив B12:E14.

Модели в принятии решений Стр. 47 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.2 II
	JJ

Результаты вычисления оптимального плана относительно критериев равномерной оптимальности, справедливого компромисса и свертывания критериев приведены в таблице 2.3.

Таблица 2.3. Оптимальные планы социально-экономического развития по различным критериям

	A	B	C	D	E
15	Вес	0,3	0,5	0,1	0,1
		Равномерной	Справедливого	Свертывания	Идеальной
16	Критерии	оптимально-
		сти	компромисса	критериев	точки
17	План 1	3,250	0,375	0,675	0,500
18	План 2	0,833	0,000	0,083	1,000
19	План 3	2,000	0,000	0,800	1,000
20	Оптимум	3,250	0,375	0,800	0,500
21	План 1	+	+		+
22	План 2
23	План 3			+

В15 строке введены веса для расчета по методу свертывания критериев (2.3). Весовые коэффициенты критериев были определены экспертно, например, на основе стратегии социально-экономического развития муниципального образования.

Вячейке B17 введена формула (2.1) =СУММ(B12:E12) и «протянута» до ячейки B19. В ячейке С17 введена формула (2.2) =ПРОИЗВЕД(B12:E12) и «протянута» до ячейки С19. В ячейке D17 введена формула (2.3)

=СУММПРОИЗВ(B12:E12;$B$15:$E$15)

и «протянута» до ячейки D19. В строке 20 рассчитывается оптимальное (максимальное) значение по каждому методу.

Модели в принятии решений Стр. 48 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.2 II
	JJ

Для более удобного чтения конечных результатов в 21–23 строках напротив оптимального сегмента по каждому критерию оптимизации поставлен знак +. Для автоматического вывода данного знака может быть использована логическая функция ЕСЛИ, находящаяся в категории «Логические». Так в ячейке B21 введена формула

=ЕСЛИ(B17=B$20;"+";" "),

(знак означает пробел), а потом «протянута» на остальные ячейки массива B21:D23. При вводе данной функции с помощью «Мастера функций» необходимо ввести три типа параметров. В первом окне должно быть указано логическое условие. В нашем примере это B17=B$20; во втором — знак +, в третьем

— пробел (иначе будет выводится слово «ЛОЖЬ»). Кавычки (символ текстового формата) выставляются автоматически «Мастером функций».

Для нахождения оптимального плана социальноэкономического развития по критерию идеальной точки необходимо сформировать матрицу потерь (2.4). Для этого рассчитывается максимальное значение по каждому столбцу нормированных критериев — максимальное значение относительно каждой цели, а потом — отклонения (потери) от наилучшего значения по каждой цели. Данные результаты представлены в таблице 2.4.

Таблица 2.4. Показатели матрицы потерь (альтернативные затраты)

	A	B	C	D	E		F
24	Максимум	1	1	1	1
25			Матрица потерь				Максимум
26	План 1	0,250	0,500	0,000	0,000	0,500
27	План 2	1,000	1,000	0,500	0,667		1,000
28	План 3	0,000	0,000	1,000	1,000		1,000

Модели в принятии решений Стр. 49 из 164 J I J I x y ×

Оглавление 2.1 Принятие решений в условиях полной . . .	2.1.2 II
	JJ

Так в строке 24 рассчитаны максимальные значения по каждой цели (нормированные неотрицательные коэффициенты): в ячейке B24 введена формула =МАКС(B12:B14) и «протянута» до ячейки E24. В ячейке B26 введена формула =B$24-B12 и «протянута» на остальные ячейки массива B26:E28. В ячейке F26 введена формула =МАКС (B26:E26) и «протянута» до ячейки F28. Минимальное значение массива F26:F28 указывает оптимальный план социально-экономического развития. В данном случае это первый план. Такую информацию также можно рассчитать с помощью логической функции ЕСЛИ в ячейках E21:E23, при этом в ячейках E17:E19 копируются значения ячеек F26:F28, а в ячейке E20 вычисляется минимум (а не максимум) массива E17:E19.

Анализируя оптимальные решения по разным методам, получаем, что первый план является оптимальным по большинству из рассмотренных методов. В то же время третий план является наилучшим с точки зрения свертывания критериев, и этот критерий является более убедительным, так как учитывает как количественные оценки, так и качественные — приоритет критериев.

В данной задаче весовые коэффициенты критериев должны соответствовать приоритетам в стратегии социальноэкономического развития муниципального образования. В этом случае для администрации муниципального образования третий план будет наиболее эффективным, как наиболее соответствующий программе социально-экономического развития. Но с точки зрения поддержки руководства муниципального образования со стороны населения лучше реализовывать первый план, так как в этом случае (согласно методу идеальной точки) меньше всего будет недовольства со стороны населения.

Окончательный выбор должен осуществляться лицом, принимающим решение.

Модели в принятии решений Стр. 50 из 164 J I J I x y ×