35. Нормальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия.

Случайная величина  называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности имеет вид:

Здесь  математическое ожидание,  дисперсия,  среднее квадратическое отклонение. Как и ранее, , однако, этот интеграл вычисляется численными методами. Чтобы упростить эту процедуру, пользуются преобразованием случайной величины  и правилом сохранения элемента вероятности , где  плотность распределения вероятности случайной величины :

.

Как видим, индивидуальные числовые характеристики распределения (математическое ожидание и дисперсия) в последнее выражение не входят, т.е. вышеуказанным преобразованием нормальная случайная величина  приведена к нормальной стандартной случайной величине  с параметрами 0 (математическое ожидание) и 1 (дисперсия). Дифференциальная и интегральная функции стандартного нормального распределения табулированы (имеются таблицы), что существенно облегчает вычисления. Интегральная функция распределения обозначается ,

Часто используют функцию Лапласа:

Очевидны следующие свойства:

где .

Пример.  Нормальная случайная величина  задана математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением . Записать соответствующую дифференциальную функцию, схематично изобразить ее график, вычислить вероятность попадания случайной величины  в интервал 

Решение: Записать дифференциальную функцию нормальной случайной величины  с заданными значениями математического ожидания и дисперсии значит в общее выражение для дифференциальной функции нормальной случайной величины подставить заданные  и . Например, если , то получим

.

При изображении этой функции на схематичном графике следует учесть, что эта функция имеет максимум при , симметрична относительно  (это видно непосредственно из приведенной выше формулы) и стремится к нулю при . Однако правило (вероятность того, что случайная величина примет значение, по модулю отличающееся от математического ожидания на или более, пренебрежимо мала – составляет всего около 0,0027) позволяет нам закончить правую ветвь в точке  а левую – в точке  Высота максимума в точке  составит  Дополнительно надо учесть, что перегибы ветвей будут иметь место в точках 

Вероятность попадания случайной величины  в интервал  вычислим так:

При этом следует воспользоваться таблицами функции стандартного нормального распределения  или функции Лапласа .

36. Нормальная кривая.

Центральная предельная теорема. Если случайная величина Х представляет собой сумму очень большого числа взаимно независимых случайных величин, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то Х имеет распределение, близкое к нормальному.

Говорят, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами а и , если плотность распределения вероятностей имеет вид:

, –¥<t<¥.

Вероятностный смысл параметров а и  таков: а – математическое ожидание случайной величины Х, s – среднее квадратическое отклонение величины.

Иногда такой закон распределения называют Гауссовским. График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривой Гаусса). На рисунке изображены нормальные кривые с параметрами а=1 и  , , .

 Из рисунка видно, что положение пика кривых определяется параметром а=1, а параметр s (среднее квадратическое отклонение) характеризует форму нормальной кривой. При увеличении s уменьшается максимум кривой распределения, сама кривая становится более пологой, растягиваясь вдоль оси абсцисс. И, наоборот, при уменьшении s  возрастает максимум кривой распределения, сама кривая становится более «островершинной». Площадь, ограниченная любой нормальной кривой и осью абсцисс, равна единице. Параметр а(математическое ожидание величины) определяет положение максимума на оси абсцисс, не влияя на форму кривой. На рисeyrt ниже показаны нормальные кривые с одинаковым средним квадратическим отклонением  и разными математическими ожиданиями а=–1, а=0, а=1.

        

         Нормальное распределение с параметрами а=0 и  называется нормированным. 

36. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины.

Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β)

P(α<X<β)=Ф((β-a)/σ)-Ф((α-a)/σ), где – функция Лапласа.

1. Ф(-∞)=0

2. Ф(+∞)=1

3. Ф(-х)=1-Ф(х)

P(mx-l<x<mx+l)=Ф(l/σ)-Ф(-l/σ)=2Ф(l/σ)-1

38. Вычисление вероятности заданного отклонения.

Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной вели­чины Х по абсолютной величине меньше заданного положительного числа d, т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства |x —а|<d.

Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством

Тогда получим:

Приняв во внимание равенство:

(функция Лапласа—нечетная), окончательно имеем

 Вероятность заданного отклонения равна

На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и а = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (-d,d),больше у той величины, которая имеет меньшее значение d. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра s .

Пример. Случайная величина Х распределена нормально. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение Х соответственно равны 20 и 10. Найти вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше трех.

Решение: Воспользуемся формулой

  

 По условию ,

тогда