11. Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Пусть производится  независимых испытаний, в каждом из которых событие  может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события  в каждом испытании одна и та же, а именно равн. Следовательно, вероятность ненаступления события  в каждом испытании также постоянна и равна . Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при испытаниях событие  осуществится ровно  раз и, следовательно, не осуществится  раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие  повторилось ровно  раз в определенной последовательности. Например, если речь идет о появлении события три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: . Запись  означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т. е. наступило противоположное событие ; соответственный смысл имеют и другие записи. Искомую вероятность обозначим . Например, символ означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза. Поставленную задачу можно решить с помощью, так называемой формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли. Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в  испытаниях событие  наступит,  раз и не наступит  раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из  элементов по  элементов, т. е.. Так как эти сложные события несовместны, то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий. Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в n испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число. Формула Бернулли: Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна 0.

или

 .

Вероятность того, что  испытаниях событие наступит:

а) менее  раз - равна 

б) более  раз - равна 

в) не менее  раз - равна 

г) не более  раз - равна 

д) не менее  раз и не более  раз - равна

е) хотя бы один раз - равна 

Пример. Вероятность того, что расход электроэнергии в продолжение одних суток не превысит установленной нормы, равна р=0,75. Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы. Решение. Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75. Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна  Искомая вероятность по формуле Бернулли равна

12. Локальная теорема Лапласа.

Локальная теорема Лапласа: Если вероятность  появления события  в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность  того, что событие  появится в  испытаниях ровно  раз (безразлично в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше ).

где 

Свойства функции Гаусса :

1. Функция  четная, т.е. 

2. При  

Пример: Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2. Решение: По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8. Воспользуемся формулой Лапласа:

Вычислим определяемое данными задачи значение х:

По таблице приложения 1 находим 

Искомая вероятность

13. Распределение Пуассона.

Теорема: Если вероятность  наступления события  в каждом испытании постоянна и мала, а число независимых испытаний  достаточно велико, то вероятность наступления события  ровно  раз приближенно равна

,

где .

Доказательство: Пусть даны вероятность наступления события  в одном испытании  и число независимых испытаний . Обозначим . Откуда . Подставим это выражение в формулу Бернулли:

При достаточно большом n, и сравнительно небольшом m, все скобки, за исключением предпоследней, можно принять равными единице, т.е.

Учитывая то, что  достаточно велико, правую часть этого выражения можно рассмотреть при , т.е. найти предел

Тогда получим

Пример. На предприятии изготовлено и отправлено заказчику 100000 бутылок пива. Вероятность того, что бутылка может оказаться битой, равна 0,0001. Найти вероятность того, что в отправленной партии будет ровно три и ровно пять битых бутылок.

Решение. Дано: n = 100000, p = 0,0001, m = 3 (m = 5).

Находим .

Воспользуемся формулой Пуассона