23. Отклонение случайной величины от её математического ожидания.

Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х – М[Х].

Однако оказывается, что математическое ожидание отклонения случайной величины равно 0:

М[Х – М[Х]]=0.

 Действительно, М[Х – М[Х]]= М[Х] – M[М[Х]]= М[Х] – M[Х]=0.

Это объясняется тем, что одни отклонения положительны, а другие – отрицательны. И в результате их взаимного сложения значение отклонение будет равно 0. Поэтому отклонение случайной величины нельзя использовать для оценки ее рассеяния. Для этого чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, называемое дисперсией.

24. Дисперсия дискретной случайной величины, её свойства.

Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D[Х] = М[(Х – М[Х])²].                                       

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения , , …,  с вероятностями , , …,. Используя в выражении определение математического ожидания , получим следующую формулу для вычисления дисперсии:

D[Х] = =

++…+.              

Пример:  Найти дисперсию случайной величины, ряд распределения которой:

X	1	3	5
p	0,2	0,5	0,3

Ранее было подсчитано математическое ожидание этой случайной величины: М[X]=3,2. Теперь вычислим дисперсию. По определению D[X]=(1-3,2)²0,2 + (3-3,2)²0,5 + (5-3,2)²0,3 = (-2,2)²0,2 + (-0,2)²0,5 + 1,8²0,3 = 4,840,2 + 0,040,5 + 3,240,3=1,96.

Для нахождения дисперсии можно воспользоваться и формулой:

D[X]=1²0,2+3²0,5+5²0,3–3,2²=10,2+90,5+250,3–10,24=0,2+4,5+7,5–10,24 =1,96.

Свойства дисперсии случайной величины:

1.   Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[C]=0.

2.   Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D[CХ]=C²M[X].

3.    Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х+Y]=D[X]+D[Y].

4.   Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х–Y]=D[X]+D[Y].

25. Формула для вычисления дисперсии.

      Для вычисления дисперсии также можно пользоваться следующей формулой:

D[Х] = М[Х²] – (М[Х])²

Доказательство: Раскрыв квадрат разности, получим:

D[Х] = М[(Х – М[Х])²] = М[Х² – 2ХМ[Х]+ М[Х]²].

Учитывая, что М[Х] – это некоторое постоянное число, раскроем предыдущее равенство так: D[Х] = М[Х²]–M[2ХМ[Х]]+M[М[Х]²] = М[Х²]– 2(М[Х])² +(М[Х])²  = М[Х²] – (М[Х])².

Таким образом, D[Х] = М[Х²] – (М[Х])² = – (М[Х])²  = + + … + – (М[Х])².

26. Дисперсия числа появлений события в независимых событиях.

Рассмотрим случайную величину X – число появления события А в n независимых испытаниях и найдем ее дисперсию. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна. По прежнему будем обозначать ее через p, а вероятность не появления события А через q=1–p.

Дисперсия D[X] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и не появления события в одном испытании:

M[X]=npq.

27. Среднее квадратичное отклонение.

Легко заметить, что в отличие от математического ожидания, размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Для характеристики рассеивания более удобно использовать другую величину, размерность которой совпадает с размерностью величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение.

Средним квадратическим отклонением случайной величины X  называется квадратный корень из дисперсии:

σ(X)=.

Пример: Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, ряд распределения которой

X	1	3	5
p	0,2	0,5	0,3

Решение: Дисперсия этой случайной величины была вычислена ранее: D[X] =1, 96. Следовательно,  σ(X)== =1,4.