29. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины, её свойства.

Случайную величину Х называют непрерывной (непрерывно распределенной) величиной, если существует такая неотрицательная функция p(t), определенная на всей числовой оси, что для всех х функция распределения случайной величины F(x) равна:

.                                                 

При этом функция p(t) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Если такой функции p(t) не существует, то Х не является непрерывно распределенной случайной величиной.

Таким образом, зная плотность распределения, по формуле можно легко найти функцию распределения F(x). И, наоборот, по известной функции распределения можно восстановить плотность распределения:

.

Значит, наряду с функцией распределения, плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины задает ее закон распределения.

Свойства плотности распределения вероятностей

 непрерывной случайной величины:

1.    Плотность распределения – неотрицательная функция:

p(t)0.

Геометрически это означает, что график плотности распределения расположен либо выше оси Ох, либо на этой оси.

2.    =1.

Учитывая, что F(+)=1, получаем: =1. Т.е. площадь между графиком плотности распределения вероятностей и осью абсцисс равна единице.

 Эти два свойства являются характеристическими для плотности распределения вероятностей. Доказывается и обратное утверждение:

Любая неотрицательная функция p(t), для которой =1, является плотностью распределения вероятностей некоторой непрерывно распределенной случайной величины.

 

Общий вид графика функции плотности распределения вероятностей непрерывной случайной величины приведен на рисунке:

30. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал.

Зная плотность распределения, можно вычислить вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в заданный интервал.

 Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значения, принадлежащие интервалу (a, b), равна определенному интервалу от плотности распределения, взятому в пределах от а до b:

P(а£Х<b)=.

Действительно, P(а£Х<b)=F(b) – F(a)= –= по одному из свойств определенного интеграла. 

Из вышеприведенного утверждения можно сделать вывод, что вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет одно определенное значение, равна нулю. Отсюда,

P(a£Х<b)=P(a<Х<b)=P(a<Х£b)=P(a£Х£b)=F(b) – F(a).

 

Геометрически вероятность попадания значений непрерывной случайной величины в интервал (a, b) может быть рассмотрена как площадь фигуры, ограниченной осью Ох, графиком плотности распределения p(t) и прямыми х=a и х=b.

      

31. Нахождение функции распределения по известной плотности распределения.

Зная плотность распределения F(X), можно найти функцию распределения F(X) по формуле

.

Действительно, F(X) = P(X < X) = P(-∞ < X < X).

Следовательно,

.

Или

.

Таким образом, Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения. Разумеется, по известной функции распределения можно найти плотность распределения, а именно:

F(X) = F'(X).

Пример: Найти функцию распределения по данной плотности распределения:

Решение: Воспользуемся формулой 

Если X ≤ A, то F(X) = 0, следовательно, F(X) = 0. Если A < x ≤ b, то F(x) = 1/(b-a),

Следовательно,

.

Если X > B, то

.

Итак, искомая функция распределения

32. Вероятностный смысл распределения.

Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу , приближенно равна (с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно ) произведению плотности распределения вероятности в точке на длину интервала : .

33. Закон равномерного распределения вероятностей.

Случайная величина Х называется равномерно распределенной на отрезке [a, b], если ее плотность распределения вероятностей имеет вид:

.

График плотности распределения вероятностей равномерно распределенной случайной величины представлен на рисунке.

34. Числовые характеристики непрерывных случайных величин.

Пусть непрерывная случайная величина Х задана функцией распределения f(x). Допустим, что все возможные значения случайной величины принадлежат отрезку [a,b].

Математическим ожиданием непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат отрезку [a,b], называется определенный интеграл

Если возможные значения случайной величины рассматриваются на всей числовой оси, то математическое ожидание находится по формуле: При этом, конечно, предполагается, что несобственный интеграл сходится.

Дисперсией непрерывной случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения.

По аналогии с дисперсией дискретной случайной величины, для практического вычисления дисперсии используется формула:

Средним квадратичным отклонением называется квадратный корень из дисперсии.

Модой М₀ дискретной случайной величины называется ее наиболее вероятное значение. Для непрерывной случайной величины мода – такое значение случайной величины, при которой плотность распределения имеет максимум.

Если многоугольник распределения для дискретной случайной величины или кривая распределения для непрерывной случайной величины имеет два или несколько максимумов, то такое распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Если распределение имеет минимум, но не имеет максимума, то оно называется антимодальным.

Медианой M_D случайной величины Х называется такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения случайной величины.

Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам.

Отметим, что если распределение одномодальное, то мода и медиана совпадают с математическим ожиданием.

Начальным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины Х^k.

Начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию.

Центральным моментом порядка k случайной величины Х называется математическое ожидание величины

Центральный момент первого порядка всегда равен нулю, а центральный момент второго порядка равен дисперсии. Центральный момент третьего порядка характеризует асимметрию распределения.

Отношение центрального момента третьего порядка к среднему квадратическому отклонению в третьей степени называется коэффициентом асимметрии.

Для характеристики островершинности и плосковершинности распределения

Абсолютный центральный момент первого порядка называется средним арифметическим отклонением