17. Случайные величины.

Переменная величина называется случайной, если в результате опыта она может принимать действительные значения с определёнными вероятностями.

Случайная величина  Х  называется  дискретной, если существует такая неотрицательная функция:

 

которая ставит в соответствие значению  х_i  переменной  Х  вероятность  р_i  , с которой она принимает это значение.

Дискретные случайные величины  X  и  Y  называются независимыми, если события  Х = х_i   и  Y = y_j  при произвольных  i  и  j  являются независимыми.

Случайная величина  Х  называется  непрерывной, если для любых   a <  b  существует такая неотрицательная функция  f ( x ), что

Функция   f ( x ) называется плотностью распределения непрерывной случайной величины.

Вероятность того, что случайная величина  Х  принимает значение меньшее  х , называется функцией распределения случайной величины Х  и обозначается  F ( x ) :

 

F(x) = P (X <x).

18. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Приняты следующие виды (способы задания) законов распределения случайной величины:

• ряд распределения;

• многоугольник распределения;

• функция распределения;

• плотность распределения.

19. Ряд и многоугольник распределения.

Рядом распределения называется таблица, в котором перечислены все возможные значения дискретной случайной величины и соответствующие им вероятности:

Приняв во внимание, что в одном испытании случайная величина принимает одно и только одно возможное значение, заключаем, что события Х=Х₁, Х=Х₂ ,… , Х=Х_n образуют полную группу; следовательно, сумма вероятностей этих событий, т. е. сумма вероятностей второй строки таблицы, равна единице:

p₁₊ p_{2+ … +} p_n=1.

Если множество возможных значений X бесконечно (счетно),

то ряд р₁ + р₂+... сходится и его сумма равна единице.

Пример: В денежной лотерее из 100 билетов разыгрываются два выигрыша по 100 руб., пять выигрышей по 50 руб. и пятнадцать выигрышей по 20 руб. Найти закон распределения случайной величины X возможного выигрыша на один билет.

 Решение: Составим возможные значения X: 

  х₁=100, х₂=50,х₃=20, x₄= 0. Их вероятности соответственно равны: 

  p₁=2/100=0,02;  p₂=5/100=0,05;

  p₃=15/100=0,15;  p₄=100-(2+5+15)/100=0,78;

  Закон распределения будет иметь вид 

X	0	20	50	100
P	0,78	0,15	0,05	0,02

 

 Контроль: 0,02+0,05+0,15+0,78=1

Для наглядности закон распределения дискретной случайной величины можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки (x_i;p_i), затем соединяют их отрезками прямых.

Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

20. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Величины, в сжатой форме, характеризующие основные особенности распределения случайных величин называются её числовыми характеристиками.

Числовые характеристики используются, когда достаточно иметь конечное число. К числовым характеристикам относятся:

• математическое ожидание;

• дисперсия;

• среднее квадратичное отклонение.

21. Математическое ожидание дискретной случайной величины, его свойства.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения , , …,  с вероятностями , , …,.

Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины и обозначается М[X].

M[X] = ++…+=                         (6.3)

Пример: Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, ряд распределения которой:

X	1	3	5
p	0,2	0,5	0,3

Решение: М[X]=10,2+30,5+50,3=0,2+1,5+1,5=3,2

Вероятностный смысл этой числовой характеристики таков: математическое ожидание случайной величины приближенно равно среднему значению случайной величины.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина приняла  раз значение ,  раз значение , …,  раз значение , причем ++…+ =n. Тогда среднее арифметическое  всех значений, принятых случайной величиной Х, вычисляется по формуле: =.

Или =. Заметим, что  - относительная частота значения ,  - относительная частота значения , …,  - относительная частота значения . Если число испытаний n достаточно велико, то относительная частота приближенно равна вероятности появления события: , , …, . Тогда ++…+. Значит,

 M[X]. Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Равенство будет тем точнее, чем больше число испытаний. Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений.

Свойства математического ожидания случайной величины:

1.                Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:

М[C]=C.

2.                Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М[CХ]=CM[X].

3.                Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М[Х+Y]=M[X]+M[Y].

4.              Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

М[ХY]=M[X]M[Y].

(Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения принимает другая величина.)

22. Математическое ожидание числа появлений события в независимых испытаниях.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна р.

Теорема. Математическое ожидание М (X) числа появлений события А в п независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:

М (X) = пр.

Доказательство. Будем рассматривать в качестве случайной величины X число наступления события А в n-независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появлений события А в этих испытаниях складывается из

чисел появлений события в отдельных испытаниях. Поэтому если Х₁ — число появлений события в первом испытании, Х₁ — во втором, ..., Х_n — в n-м, то общее число появлений события X = X₁ + Х₂ + ... + Х_n.

По третьему свойству математического ожидания,

М (X) = М (X₁ + М (Х₂) +...+М (Х_n). (*)

Каждое из слагаемых правой части равенства есть математическое ожидание числа появлений события в одном испытании: М (Х₁) — в первом, М (Х₂) — во втором и т. д. Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события, то М (Х₁) = М (X₂) = M (Х_n)=р.

Подставляя в правую часть равенства (*) вместо каждого слагаемого р, получим

М (X) = np.