Механика_Термодинамика_290311

90

7. Молярные теплоемкости идеального газа в про-

цессах 1→2 и 1→3 равны С1 и С2 соответственно. Их разность С2 – С1 имеет наиболь-

шую величину … .

а) для одноатомного газа б) для двухатомного газа в) для трехатомного газа

г) для любого идеального газа разность С2 – С1 оди-

накова

Ответ: г)

11.ВТОРОЕ НАЧАЛО ТЕРМОДИНАМИКИ

11.1.Частные формулировки второго начала термодинамики

11.2.Энтропия и общая формулировка второго начала термодинамики

Второе начало термодинамики позволяет определить направление протекания процесса в изолированной системе.

11.1. Процесс перехода системы из состояния 1 в состояние 2 называют обратимым, если возвращение этой системы в исходное состояние через те же промежуточные состояния, что и в прямом процессе, но в обратной последовательности, можно осуществить без каких бы то ни было изменений в окружающих внешних телах. Всякий равновесный процесс является обратимым. Процесс перехода системы из состояния 1 в 2 называют необратимым, если обратный переход системы из 2 в 1 нельзя осуществить без изменений в окружающих телах. Все неравновесные (реальные) процессы необратимы. Рассмотрим примеры простейших необратимых процессов в изолированной систе-

91

ме. Это позволит получить частные формулировки второго начала термодинамики.

1. Рассмотрим теплоизолированный металлический стержень, исходная температура которого равна Т.

m , c, T

T1 T

T2 T

Предположим, что левая половина стержня самопроизвольно нагрелась до температуры T1 , а правая –

охладилась до температуры T2 . Опыт показывает, что хотя

первое начало термодинамики не запрещает этот процесс (необходимо лишь, чтобы выполнялось следующее соотношение между температурами Т1,Т2 и Т:

cmT c	m	T	c	m	T	и T T		2T ),
2		1	2		2	1	2

он невозможен.

Первая частная формулировка второго начала тер-

модинамики: невозможны такие процессы, единствен-

ным конечным результатом которых был бы переход теплоты от тела менее нагретого к телу более нагре-

тому (постулат Клаузиуса).

2. Пусть мы имеем сосуд с газом. Допустим, что все молекулы газа собрались в одной из половин сосуда. Можно показать, что первому началу термодинамики этот

процесс не противоречит, но в природе такие процессы не наблюдаются.

Вторая частная формулировка второго начала тер-

модинамики: самопроизвольное «сжатие» газа в изолированной системе невозможно.

3. Третья частная формулировка второго начала термодинамики: невозможно построить такую перио-

92

дически действующую тепловую машину, которая, получив извне некоторое количество теплоты при любой температуре, полностью превращала бы ее в механическую работу и при этом возвращалась бы точно в ис-

ходное состояние (постулат Кельвина).

Устройство, которое периодически полностью превращало бы в работу получаемую извне теплоту, называют вечным двигателем II рода.

Частная формулировка второго начала термодинамики, предложенная Оствальдом: вечный двигатель II ро-

да невозможен.

Математическую формулировку второго начала можно получить, анализируя работу идеального теплового двигателя, совершающего в процессе работы обратимый цикл. Циклом или круговым процессом называют замкнутый процесс, в ходе которого система возвращается в исходное состояние.

Пусть рабочее тело тепловой машины т.е. тело, периодически изменяющее свои параметры, обычно – пар или газ, за каждый цикл получает количество теплоты Q1

от нагревателя, имеющего температуру T1 , и отдает коли-

			чество теплоты Q2 хо-
	1 p1V1T1 Q1		лодильнику, имеющему
			температуру
	a	2p2V2T1	T2 ( T2 T1 ). Обратимый
			цикл, совершаемый теп-
	4	б	ловой машиной в	этих
	p4V4T2	3p V T	условиях, может состоять
		3 3 2	как из процессов, в ходе
	Q2		которых рабочее	тело
			обменивается теплотой
	Рис. 20	с нагревателем и холодильни-

ком, так и из процессов, не сопровождающихся теплооб-

93

меном с внешней средой, т.е. адиабатических процессов. Процесс, сопровождающийся обменом теплотой, может быть обратимым только в том случае, если это равновес-

ный изотермический процесс, протекающий при темпе-

ратуре нагревателя или холодильника. Итак, обратимый цикл, совершаемый рабочим телом, вступающим в теплообмен с двумя телами бесконечно большой теплоемкости, может состоять из двух изотерм (при температурах нагревателя и холодильника) и двух адиабат. Этот идеальный обратимый цикл называют циклом Карно (рис. 20).

Для того чтобы сформулировать второе начало термодинамики в общем виде, необходимо ввести новую функцию состояния, которая называется энтропией.

11.2. Из анализа цикла Карно следует, что для обратимых процессов, примером которых являются равновес-

ные процессы,	Qобр	0 , т.е.	Qобр	dS ,
	Т		Т

где S является функцией состояния, которую называют энтропией; Qобр – элементарное количество теплоты, пере-

данное системе в обратимом процессе.

Изменение энтропии вычисляют по формуле

2	Q
S	обр	.
1	T

Вычислим S для некоторых процессов.

1. Изменение состояния идеального газа

(p1V1T1→p2V2T2).

Так как Qобр dU A,будем иметь:

2

dU A

2

m

dT

2

pdV

m

T

m

V

S

2

2

CV

CV ln

R ln

.

T

M

T

T

M

T

M

V

1

1

1

1

1

При обратимом адиабатическом процессе δQобр = 0

94

и S = const, поэтому такой процесс называют изоэнтропийным.

2. Изменение энтропии при нагревании или охлаждении твердых или жидких тел:

V 0 , A 0 , Q dU cmdT

2 Qобр		2	dT		T
S		cm		2		.
				cm ln
	T		T		T
1		1		1

3. Изменение энтропии при изменении агрегатного состояния вещества

T const , Qобр dm ,

	2	Qобр		m
	S				.
	1	T		T

Как видно из рассмотренных примеров, энтропия неизолированной системы может, как увеличиваться, так и уменьшаться.

Однако энтропия изолированной системы ведет себя всегда однозначно: она не может уменьшаться, т.е. либо увеличивается, либо не изменяется. Это постулат, который называют вторым началом термодинамики:

Sизол. 0 . сист.

При этом энтропия отдельных частей системы может и увеличиваться и уменьшаться, но полная энтропия системы не убывает.

Максимально возможное значение энтропия изолированной системы достигает в состоянии теплового равновесия. Поскольку все естественные, самопроизвольные процессы необратимы, энтропия при этих процессах в изолированных системах всегда возрастает. Таким образом, второе начало термодинамики указывает направление протекания естественных процессов: естественные процессы в изолированных (или только адиабатно изолированных) си-

96

4. На рисунке представлен прямой цикл тепловой машины в координатах (T, S), где T – термодинамическая температура, S – энтропия.

Укажите участки, на которых тепло поступает в рабочее тело машины от нагревателей, и участки, где тепло отдается холодильнику.

а) 12, 23 – поступает; 31 – отдается; б) 12 – поступает; 23, 31 – отдается; в) 23 – поступает; 31 – отдается; г) 12 – поступает; 23 – отдается

Ответ: в) 5. На рисунке представлен прямой цикл тепловой

машины в координатах (T, S), где T – термодинамическая температура, S – энтропия. Укажите участки, на которых тепло поступает в рабочее тело машины от нагревателей, и участки, где тепло отдается холодильнику.

а) 23 – поступает; 41 – отдается б) 12 – поступает; 34, 41 – отдается в) 12, 23 – поступает; 34, 41 – отдается г) 12, 41 – поступает; 34 – отдается

Ответ: а) 6. На рисунке представлен прямой цикл тепловой

машины в координатах (T, S), где T –

термодинамическая температура, S – энтропия. Укажите участки, на которых тепло поступает в рабочее тело машины от нагревателей, и участки, где тепло отдается холодильнику.

а) 12, 34, 56 – поступает; 78, 910 – отдается; б) 23, 45, 67 – поступает; 89, 101 – отдается;

в) 12, 23, 34, 45, 56, 67 – поступает; 78, 89, 910, 101 – отдает-

ся;

97

г) 78, 89, 910, 101 – поступает; 12, 23, 34, 45, 56, 67 – отдается

Ответ: б) 7. Один моль идеального газа находится в состоя-

нии А, когда все молекулы собрались в левой верхней четверти теплоизолированного сосуда. Как изменится энтропия этого

газа, когда газ перейдет в состояние В, когда все молекулы разлетятся по всему сосуду?

а) энтропия возрастет	б) энтропия уменьшится
в) энтропия не изменится	г) нет правильного ответа
	Ответ: а)

8. В большом теплоизолированном сосуде находится один моль идеального газа и маленький сосуд с отверстием (состояние А). Как изменится энтропия газа, если в результате маловероятного процесса все молекулы соберутся в маленьком сосуде

(состояние В)?
а) энтропия возрастет	б) энтропия уменьшится
в) энтропия не изменится	г) нет правильного ответа
	Ответ: б)

12.ОСНОВЫ МОЛЕКУЛЯРНОЙ ФИЗИКИ

12.1.Средняя энергия молекулы. Внутренняя энергия идеального газа

12.2.Давление идеального газа с точки зрения молекулярно-кинетической теории

Системы с большим числом хаотически движущихся частиц подчиняются статистическим законам. Рассмотрим с этой точки зрения идеальный газ.

12.1. С помощью функции распределения газовых молекул по значениям скорости, которое будет рассмотре-

98

но ниже, можно вычислить среднее значение квадрата скорости молекул, а с его помощью и среднюю энергию поступательного движения газовых молекул:

K	mV 2		m	V 2		3	kT .
	2					2
		2

Откуда следует, что:

1.Температура есть мера средней энергии хаотического движения;

2.Средняя энергия хаотического (теплового) движения молекул ~kT.

Заметим, что

V 2 V 2	V 2	V 2	и V 2	V 2	V 2
x	y	z	x	y	z

из-за хаотичности теплового движения, поэтому

mV 2		mVy2		mV 2		1
x				z			kT .
2				2		2
	2

Полученный результат является частным случаем более общей теоремы о равномерном распределении энер-

гии по степеням свободы: на каждую степень свободы

молекулы приходится в среднем одинаковая кинетиче-

ская энергия теплового движения, равная 12 kT .

Согласно теореме о равномерном распределении энергии по степеням свободы полная энергия теплового движения молекулы:

E 2i kT .

Вычислим внутреннюю энергию идеального газа:

U	m	N A E	m	R	i	T ,
	M		M
				2

где NA – число Авогадро (число молекул в моле газа),

99

С

dU

i

R .

V

dT

2

Из приведённого выражения видно,

что теплоем-

СV

кость

не должна

зависеть от

7

2 R

температуры. Однако опыт по-

5

2 R

казывает, что это не так. При-

мерная зависимость СV двух-

3 2 R

H2

атомного газа от

температуры

представлена на рисунке 21.

Рис. 21

T

Из графика следует, что

не все степени свободы прояв-

ляются одновременно. При низких температурах исчезают (вымораживаются) вращательные степени свободы, при высоких температурах появляется колебательная степень свободы.

Этот экспериментальный результат может быть объяснен только с позиций квантовой теории.

m V

.

	12.2. Молекулярно-кинетическая			теория позволяет
			получить уравнение		состояния
			идеального газа. Полагаем,			что
	p
			молекулы идеального		газа при
			ударах друг с другом и со стен-
		m V	ками сосуда	ведут	себя	как
			упругие шары (рис. 22). При
		x
			ударе молекулы идеального газа
			о стенку, она передает стенке
			импульс p 2mV cos 2mVx

Рис. 22 Задачу расчета давления можно упростить, предпо-

ложив, что молекулы движутся только вдоль координатных осей. Будем считать, что в направлении каждой из осей в среднем движется 1/6 часть всех молекул (с учетом