Механика_Термодинамика_290311

100

направления). Будем считать, что скорости всех молекул одинаковы и равны V (рис. 23).

Число молекул, которые двигались в положительном направлении оси х со скоростью Vx V и за время t прошли через площадку S, равно

N =

1

nSVt ,

6

где n – концентрация молекул, то есть

Рис. 23

их число в единице объёма.

1

Если принять, что S 1м2

и t 1с , то

N

nV .

1

6

Тогда давление p p N 2mV

nV . После усреднения

6

будем иметь:

p

1

n m V 2

2

n

mV 2

2

n

3

kT n kT .

2

2

3

3

3

Из этого выражения можно получить уравнение

Менделеева-Клапейрона:

p nkT

N

kT

m

N A

kT

m

RT

и

M

V

V

M V

pV Mm R T .

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 12

1. Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре Т зависит от их структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле. Средняя кинетическая энергия молекул гелия (Не) равна

… .

101

а)	3	kT	б)	5	kT	в)	1	kT	г)	7	kT
2			2			2			2		Ответ: а)

2. Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре T зависит от их структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле. При условии, что имеют место все виды движения, средняя энергия молекул азота (N2) равна … .

а)	7	kT	б)	1	kT	в)	5	kT	г)	3	kT
2			2			2			2		Ответ: а)

3. Средняя кинетическая энергия молекул газа при температуре T зависит от их структуры, что связано с возможностью различных видов движения атомов в молекуле. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движение, средняя энергия молекул метана (CH4) равна … .

	а) 3kT б)	5	kT	в)	3	kT		г)	7	kT
					2
	2						2			Ответ: а)
	4. Средняя кинетическая энергия молекулы идеаль-
	ного газа при температуре T равна				E		i	kT . Здесь i = nп
							2

+ nвр + 2nк, где nп, nвр и nк – числа степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы соответственно. При условии, что имеют место все виды движений, для водорода (H2) число i равно … .

а) 7 б) 2 в) 5 г) 8

Ответ: а)

102

5. Средняя кинетическая энергия молекулы идеаль-

	ного газа при температуре T равна E	i	kT . Здесь i = nп
		2

+ nвр + 2nк, где nп, nвр и nк – числа степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы соответственно. При условии, что имеют место только поступательное и вращательное движение, для водяного пара (H2O) число i равно … .

а) 6 б) 3 в) 5 г) 8

Ответ: а) 6. Средняя кинетическая энергия молекулы идеаль-

	ного газа при температуре равна E	i	kT . Здесь i = nп
		2

+ nвр + 2nк, где nп, nвр и nк – числа степеней свободы поступательного, вращательного и колебательного движений молекулы соответственно. Для углекислого газа (CO2) с учетом того, что молекула CO2 – линейная, и имеют место все виды движения число i равно … .

а) 2 б) 3 в) 5 г) правильный ответ отсутствует

Ответ: г)

13. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ МОЛЕКУЛ ГАЗА ПО СКОРОСТЯМ

Многие свойства газа зависят от распределения молекул по значениям энергии, т.е. они определяются их энергетическим спектром. Энергетический спектр, в свою очередь, зависит от распределения молекул газа по скоростям.

При получении функций распределения молекул газа по скоростям используют следующие исходные положения:

1. Идеальный газ находится в равновесном состоя-

103

нии. Это позволяет не учитывать столкновения молекул, т.к. они не изменяют распределения молекул по скоростям. Причина этого заключается в том, что соударения не нарушают хаотического характера движения молекул.

2.Все направления движения молекул газа равновероятны, поэтому распределение молекул по направлениям движения равномерно.

3.Т.к. c V , где V – средняя скорость тепло-

вого движения молекул, верхний предел скорости можно взять равным бесконечности и считать, что абсолютная величина скорости принимает непрерывный ряд значений от нуля и до бесконечности, а проекции скорости изменяются от –∞ до +∞.

Исходя из этих допущений Максвелл получил следующее выражение для функции распределения по проекции скорости молекул газа:

							mV 2
			f V		m
						e 2kT .
					2 kT
				Эта		формула			справедлива
	f (V	)	при	проектировании					скорости на
			любое направление. Функция ƒ(V )

симметрична (рис. 24), т.к. из-за хаотичности движения число молекул, V движущихся в противоположных направлениях оказывается одним и

тем же.

Рис. 24 Для функции распределения по модулю скорости

было получено другое выражение:

	m		3
			2
F(V ) 4				e
	2 kT

mV 2

2kT V 2 .

104

Эта функция определяет вероятность того, что скорость молекулы находится в единичном интервале скоростей, включающем заданную скорость. Конкретный вид функции распределения зависит от рода газа (от массы молекулы) и от температуры Т.

Поскольку множитель вида e V 2 при возрастании V убывает быстрее, чем растет множитель V2, функция, начинаясь в нуле (из-за V2), достигает максимума

и затем асимптотически стремится к нулю. По этой же причине F(V) асимметрична (рис. 25).

Площадь, охватываемая кривой F(V), равна 1.

Рис. 25 Скорость, отвечающая максимальному значению

функции распределения, будет, очевидно, наиболее вероятной. Продифференцировав выражение для функции распределения, предложенной Максвеллом, по V и приравняв полученное выражение нулю, будем иметь:

dF(V )		m		3
				2
	4				e
dV
		2 kT

	mV 2			mV 2
						0 .
	2kT V		2
				kT

Удовлетворяющие этому уравнению значения V = 0 и V = ∞ соответствуют минимуму F(V). Значение V, обращающее в нуль выражение, стоящее в скобках, представляет собой искомое значение наиболее вероятной скорости

VН.В.:

V		2kT	.
H .B.		m

Умножив числитель и знаменатель на число Авогадро, получим

105

VН .В. 2RT . M

Подставив выражение для наиболее вероятной скорости в выражение для функции распределения по модулю скорости, найдем максимальное значение F(V):

F(V	)	4		m		m	.
H .B.		e		2 kT		T

Таким образом, при увеличении температуры (или уменьшении массы молекулы) максимум кривой F(V) сме-

F(V)	T2	T1			щается	вправо
					и становится
	T1
			T2		ниже,	причем
					площадь,		охва-
	Рис. 26			V	тываемая		кри-
					вой,	остается

неизменной и равной единице (рис. 26). Кроме наиболее вероятной скорости представляют интерес средняя и средняя квадратичная скорости молекул.

Среднюю скорость максвелловского распределения найдем, пользуясь формулой для среднего значения из теории вероятности:

																			3							mV 2
																m			2				3
	V					V F(V ) dV 4																V		e		2kT dV
															2 kT
					0														0
	4					m	3					1
																	2kT						8kT							8RT
								2						2																	.
					2kT							m	2				m						m							M
									2
												2kT

Найдем средний квадрат скорости:

106

																					3																		mV 2
		2						2															m						2						4
	V						V		F(V ) dV 4																								V			e			2kT dV
																					2 kT
					0																									0
					4				m	3				3		2kT									2kT									3			3kT
											2																							2						.
									2kT					2		m																							m
																						4 m
							V															3kT										3RT					.
														V 2
							CP.KB.																m											M

Так как функция F(V) не симметрична, то VН.В. ≠ <V> ≠ VСР.КВ.. Между ними существует следующее соотношение:

VН.В.:<V>:VСР.КВ. = 1:1,128:1,225.

Скорости движения молекул весьма велики. Так, наиболее вероятная скорость молекул О2 при 0°С равна

377 м/с.

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 13

1. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по скоростям (распределение

Максвелла), где (V ) NdVdN – доля молекул, скорости которых заключены в интервале скоростей от V до V + dV в расчете на единицу этого интервала. Для этой

функции верным утверждением является … .

а) с ростом температуры максимум кривой смещается вправо

б) с ростом температуры величина максимума рас-

тет

в) с ростом температуры площадь по кривой растет

107

г) нет правильного ответа

Ответ: а)

2. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла), где

м (V ) NdVdN – доля молекул, скорости которых заключены в интервал скоростей от V до V+dV в расчете на единицу этого интервала. При уменьшении темпера-

туры газа максимальное значение ƒм max этого графика … .

а) стремится к бесконечности	б) увеличивается
в) не изменяется	г) уменьшается

Ответ: б) 3. На рисунке представлен график функции распре-

деления молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла). Площадь заштрихованной на графике полоски равна … .

а) числу молекул газа со скоростями от V до V + dV в единице объема

б) вероятности того, что молекулы имеют скорости от V до V + dV

в) числу молекул газа в единице объема со скоростями, меньшими V0

г) вероятности того, что молекулы имеют скорости, меньшие чем V0

Ответ: б)

108

4. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла), где м (V ) NdVdN – доля моле-

кул, скорости которых заключены в интервал скоростей от V до V + dV в расчете на единицу этого интервала. Величина скорости Vm, соответствующая максимуму этого графика зависит только от … .

а) концентрации молекул газа и его температуры б) числа степеней молекул газа и его температуры в) массы молекул газа и его температуры г) температуры газа

Ответ: в) 5. На рисунке представлен график функции распределения молекул идеального газа по величинам скоростей

(распределение Максвелла), где м (V ) NdVdN – доля мо-

лекул, скорости которых заключены

винтервал скоростей от V до V + dV

врасчете на единицу этого интервала. При нагревании газа величина

скорости Vm, соответствующая максимуму этого графика, увеличилась в два раза. Величина средней скорости молекул газа при этом … .

а) увеличилась в 2 раза	б) увеличилась в 3 раза
в) увеличилась в 8/π раз	г) уменьшилась в 8/π раз
	Ответ: а)

109

6. На рисунке представлен график распределения молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла). Заштрихованная на рисунке площадь равна … .

а) вероятности того, что молекулы имеют скорость V0

б) числу молекул газа в единице объема со скоростями, меньшими V0

в) вероятности того, что молекулы имеют скорости, меньшие чем V0

г) нет правильного ответа

Ответ: в) 7. На рисунке представлен график распределения

молекул идеального газа по величинам скоростей (распределение Максвелла).

Величина интеграла м(V )dV			равна … .
	а) ∞	0
		б) 1 в) 0	г)
				8kT m	Ответ: б)
8. На рисунке представлен график функции распре-
деления молекул идеального газа
по величинам скоростей (распре-
деление	Максвелла),		где

м (V ) NdVdN – доля молекул, скорости которых заключены в интервал скоростей от V до V + dV

в расчете на единицу этого интервала. Буквами Vi отмечены величины средней, средней квадратичной и наиболее вероятной скоростей молекул газа. Средним значением величины скорости молекулы газа будет ….