Механика_Термодинамика_290311

30

	d p
		R ,	(5.2)
	d t

то есть скорость изменения импульса механической си-

стемы равна векторной сумме внешних сил, действующих на материальные точки, составляющие систему.

Векторному уравнению (5.2) соответствуют три скалярных:

dpx

dtdpy

dtdpz

dt

Rx ;

Ry ;

Rz .

Если на систему не действуют внешние силы, то такую механическую систему называют замкнутой.

Для нее: P сonst .

Закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы не изменяется при любых процессах, проте-

кающих внутри неё. Если система не замкнута, но сумма внешних сил, действующих на неё, равна нулю, то импульс системы с течением времени изменяться не будет. Если Ri = 0 (где Ri – проекция внешних сил на i -ую коор-

динатную ось), то хотя P const , но Pi = const (где Pi – проекция импульса системы на i -ую координатную ось).

5.2. Центром масс или центром инерции механической системы называют геометрическую точку, ра- диус-вектор которой определяется следующим выражением:

31

		n
		mk rk
		k 1
r				,	(5.3)
		n
c

mk

k 1

n

где mk M – масса всей системы.

k 1

После дифференцирования зависимости (5.3) по

времени получаем:
	n

M Vc mkVk или M Vc P .

k 1

После повторного дифференцирования (с учетом уравнения движения системы материальных точек) имеем:

M dVс R .

(5.4)

dt

Это уравнение называют уравнением движения центра масс механической системы. Согласно этому уравнению центр масс механической системы движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе всей системы, под действием векторной суммы внешних сил, действующих на систему.

5.3. Моментом силы относительно некоторого центра О называют векторное произведение радиусвектора точки приложения силы на вектор этой силы:

							.
				M r ,F
	Учитывая, что r x i				y j z k ,
F Fx i		Fy j Fz k , получаем:

			32
		i	j	k
		x	y	z	.
	M
		Fx	Fy	Fz

Моментом силы M z относительно оси вращения

z называют проекцию на эту ось полного момента сил, действующих на тело, определенного относительно произвольной точки О данной оси.

Моментом импульса материальной точки относительно центра О называют векторное произведение радиус-вектора точки на вектор ее импульса:

r , p .

По аналогии с выражением для момента сил можно показать, что

			i	j	k
			x	y	z	.
			px	py	pz

Момент импульса системы материальных точек равен векторной сумме моментов импульса всех точек системы:

L li .

Моментом импульса тела Lz относительно оси

вращения z называют проекцию на эту ось полного момента импульса тела, определенного относительно произвольной точки О данной оси.

5.4. Для каждой точки системы материальных точек можно записать:

		i	e
d p
k	F		F	,
d t	k		k

		33
	– результирующая всех внутренних сил, действу-
где F i
k
		– результирующая внешних сил,
ющих на k-ую точку; F e
	k

действующих на эту точку.

После векторного умножения радиус-вектора k-ой материальной точки на скорость изменения её импульса получаем:

i

e

d p

k

r ,

r ,F

r ,F

k

d t

k

k

k

k

i

e

d p

или

r ,

k

M

k

M

k

.

k

d t

Докажем, что левая часть полученного уравнения представляет собой производную от момента импульса по времени:

d lk

d t

d t rk

					d p	k			d r
, p	k			r ,						k
				k	d t					d t

				d p
	, pk		rk ,	k	.
				d t

Таким образом, для некоторой материальной точки системы получаем:

d lk i e . d t M k M k

После суммирования полученного всем точкам системы будем иметь:

		n	e
	d L
		M k		,
	d t
		k 1

выражения по

(5.5)

При суммировании учтено, что в соответствии с третьим

n
законом Ньютона M ki		0 .

k 1

Уравнение (5.5) называют уравнением моментов для системы материальных точек: производная по вре-

мени от момента импульса механической системы относи-

34

тельно некоторой точки О равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на систему и определённых относительно той же точки.

Если система замкнута e , то для нее мо- M k 0

мент импульса сохраняется L const . Это закон со-

хранения момента импульса.

Рассмотрим особые случаи, когда момент импульса сохраняется для незамкнутых систем.

Если относительно некоторой точки О выбранной системы отсчета, суммарный момент внешних сил равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то момент импульса системы относительно точки О сохраняется за это время.

Если система не замкнута, но проекция момента внешних сил на некоторую ось равна нулю, то проекция момента импульса на эту ось сохраняется во времени.

Действительно, в проекции на ось вращения z уравнение (5.5) записывают в виде:

dLdtz M z( e ) ,

n

где M z( e ) M z( ke ) . k 1

Из этого уравнения следует, что если полный момент внешних сил, приложенных к системе относительно

оси вращения M z( e ) , равен нулю, то

dLz d I z 0 и Lz Izi i const .

i

Следовательно, если при M z( e ) 0 меняются мо-

35

менты инерции I zi составляющих системы, то меняются и

их угловые скорости, но так, что сумма их произведений остается постоянной.

В качестве примера применения закона сохранения момента импульса рассмотрим движение материальной точки в поле центральных сил.

Центральным полем называют область пространства, в которой на движущуюся частицу в каждой точке этого пространства действуют силы, направленные вдоль прямых, проходящих через одну точку, называемую центром поля.

Поскольку направление действующей на частицу в центральном поле силы проходит через центр поля, то плечо силы относительно центра равно нулю, поэтому и момент силы относительно центра поля тоже равен нулю. Из этого следует, что момент импульса частицы, движущейся в центральном поле, относительно центра поля остается постоянным как по величине ( L mrv sin ), так и по направлению.

5.5. Момент импульса тела Lz относительно оси

вращения равен произведению момента инерции тела I на угловую скорость вращения тела:

Lz I .

Момент инерции тела является мерой инертности тела при его вращательном движении.

Основные свойства момента инерции:

–момент инерции тела зависит от положения оси вращения;

–момент инерции зависит от ориентации оси вращения;

–момент инерции (при неизменном положении и ориентации оси вращения) зависит от конфигурации тела;

36

–момент инерции – величина положительная;

–момент инерции – величина аддитивная, т.е. если тело состоит из нескольких частей, то момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей этого тела относительно той же оси.

Момент инерции может быть рассчитан по форму-

ле:

I r2dm r2dV ,

где dm и dV – масса и объем элемента тела, находящегося на расстоянии r от оси вращения, ρ – плотность тела в данной точке.

Моменты инерции тел простой геометрической формы:

		Момент инерции диска массой
		m относительно оси, перпендикуляр-
		ной к плоскости диска и проходящей
		R	mR2
	C	через его центр масс, равен I
			.
			2

R

C

C

l

Момент инерции кольца массой m относительно оси, перпендикулярной к плоскости кольца и проходящей через его центр масс, равен

I mR2 .

Момент инерции тонкого стержня массой m относительно оси, перпендикулярной к оси стержня и проходящей через его центр масс,

равен I 1 mR2 .

12

37

Момент инерции шара массой m относительно оси, проходящей через его центр масс, равен

R	I 2 mR2 .
	5

C

Вычисление момента инерции твердого тела относительно произвольной оси в некоторых случаях можно

упростить, воспользовавшись теоремой Штейнера: мо-

мент инерции тела относительно произвольной оси равен моменту инерции тела относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между осями:

IIc md 2 .

5.6.Если твердое тело вращается вокруг неподвижной оси z, то Iz при движении не изменяется, следователь-

	но, уравнение			dLz	M z	или	d Iz	M z можно записать в
				dt			d t
	виде I z	d	M z		или	I z M z . Полученное выражение
		d t

представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Из этого уравне-

ния следует, что причиной возникновения углового ускорения является момент силы относительно оси вращения.

г) I1 > I2 > I3

38

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 5

1. Система состоит из трех шаров с массами m1 = 1

кг, m2 = 2 кг, m3 = 3 кг, которые дви-
жутся так, как показано на рисунке. Y			V
Если скорости шаров равны V1	= 3		1
			m1
м/с, V2 = 2 м/с, V3 = 1 м/с, то величина			m2
скорости центра, масс этой системы (в			m3 V2	X
м/с) равна ... .			V3
а) 2/3 б) 4 в) 5/3	г) 10

Ответ: а)

2. Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону L = at2. Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело.

а)	б)	в)	г)
			Ответ: в)

3. Из жести вырезали три одинаковые детали в виде эллипса. Две детали разрезали: одну – пополам вдоль оси симметрии, а вторую – на четыре одинаковые части. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси ОО' (см. рис.). Выберите правильное соотношение меж-

ду моментами инерции этих деталей относительно оси ОО'.

а) I1 < I2 = I3 б) I1 < I2 < I3 в) I1 = I2 < I3

Ответ: в)