Механика_Термодинамика_290311

50

те всех сил, действующих на частицу: dA dK . Элементарную работу можно представить как сум-

му элементарных работ консервативных и сторонних сил: dA dAk dAc .

При этом работа консервативных сил	dAk dU .
Таким образом, dU dAc dK или
dAc dE .	(6.6)

Соотношение (6.6) выражает закон изменения полной механической энергии материальной точки: изменение полной механической энергии материальной точки равно работе сторонних сил. Из выражения (6.6) следует закон сохранения полной механической энергии материальной точки:

Если на материальную точку не действуют сторонние силы, то полная механическая её энергия сохраняется с течением времени.

6.8. Пространство и время обладают рядом свойств симметрии. Это утверждение имеет статус эмпирического обобщения, т. е. основано на результатах большого числа наблюдений и опытов.

Пространство однородно. Это означает, что все точки пространства эквивалентны, ни одна из них не выделена среди других. Перенос экспериментальной установки из одной точки пространства в другую сам по себе не отражается на результатах какого бы то ни было эксперимента. Однородность пространства, в частности, означает, что у Вселенной нет центра, так же как и окраин.

Пространство изотропно. Изотропность означает инвариантность относительно изменения направления: свойства пространства во всех направлениях одинаковы.

Отсюда вытекает, например, что Вселенная не может иметь форму цилиндра, как полагали некоторые из

51

древнегреческих мыслителей, поскольку тогда существовало бы выделенное направление, параллельное оси цилиндра.

Время однородно. Все моменты времени равноправны. Благодаря этой симметрии эксперимент, выполненный сегодня, и этот же эксперимент, повторенный сто лет спустя, дадут одинаковые результаты.

Согласно теореме Нётер, каждая симметрия влечет за собой сохранение определенной физической величины. Поскольку все мировые процессы – физические, химические и биологические – разворачиваются в пространстве и во времени, то законы сохранения, вытекающие из про- странственно-временных симметрий, имеют всеобщий характер.

Важнейший закон сохранения, который, как установлено в физике, вытекает из однородности времени, это

– закон сохранения энергии: энергия в силу однородности времени в изолированной системе не изменяется, что бы в системе ни происходило.

Из однородности пространства вытекает закон сохранения импульса: импульс системы, на которую не действуют другие тела, не изменяется при протекании любых процессов в этой системе.

Изотропность пространства приводит к закону сохранения момента импульса: момент импульса системы, на которую не действуют другие тела, не изменяется при протекании любых процессов в этой системе.

52

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 6

1. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на гра-

фике U(x). На участке AF сила тяжести совершила работу … .

а) в 1,2 раза больше, чем на участке AE б) в 5 раз больше, чем на участке AC в) в 1,6 раза больше, чем на участке AC г) в 1,4 раза больше, чем на участке AD

2. Зависимость перемещения тела массой 4 кг от времени представлена на рисунке. Кинетическая энергия тела в момент времени t = 3 c равна … .

а) 15 Дж	б) 20 Дж в) 40 Дж
г) 25 Дж	д) 50 Дж

	Ответ: б)
S ,м
20
15
10
5
0	1 2 3 4 t,с
	Ответ: д)

3. Тело массой m = 10 кг начинает движение со скоростью v0 = 2 м/с по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии этого тела от координаты х изображена на графике U(x). Кинетическая энергия тела в точке В

больше, чем в точке А … .

а) в 2 раза б) в 1,8 раза в) в 3 раза г) в 2,1 раз

Ответ: в)

53

4. Небольшая шайба начинает движение без начальной скорости по гладкой ледяной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии шайбы от координаты х изображена на графике U(x). Скорость шайбы в точке С больше, чем в точке В …

.

а) в 2 раза б) в 2 раз в) в 7 2 раза г) в 4 раза

Ответ: б)

5. Тело массой m = 10 кг начинает движение со скоростью v0 = 4 м/с по гладкой ледя-

ной горке из точки А. Сопротивление воздуха пренебрежимо мало. Зависимость потенциальной энергии этого тела от координаты х изображена на графике U(x). В точке В тело, ударившись, прилипает к стене. В результате абсо-

лютно неупругого удара в точке В выделилось … теплоты.

а) 140 Дж б) 160 Дж в) 20 Дж г) 150 Дж

Ответ: а)

6. Тело массой 2 кг поднято над Землей. Его потенциальная энергия 400 Дж. Если на поверхности Земли потенциальная энергия тела равна нулю и силами сопротивления воздуха можно пренебречь, скорость тела на половине высоты составит … .

а) 14 м/с б) 10 м/с в) 20 м/с г) 40 м/с

Ответ: а)

54

7. В потенциальном поле сила F пропорциональна градиенту потенциальной энергии U. Если график зависимости потенциальной энергии U от координаты x имеет вид, показанный на рисунке, то зависимость проекции силы Fx на ось x будет … .

Fx				Fx			Fx
0						0
		x		0				x
						x в)
а)				б)

U

x

Fx
г) 0	x

Ответ: в)

8. Два маленьких массивных шарика закреплены на невесомом длинном стержне на рас-

стоянии r1 друг от друга. Стержень может вращаться без трения в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей посередине меж-

ду шариками. Стержень раскрутили из состояния покоя до угловой скорости ω, при этом была совершена работа A1. Шарики раздвинули симметрично на расстояние r2 = 2r1 и раскрутили до той же угловой скорости. Какая работа при этом была совершена?

а) A2 = A1/4 б) A2 = 2A1 в) A2 = A1/2 г) A2 = 4A1

Ответ: г) 9. Два маленьких массивных шарика закреплены на

концах невесомого стержне длины d. Стержень может вращаться в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси, проходящей через середину стержня. Стержень раскрутили до угловой скорости ω1. Под

действием трения стержень остановился, при этом выделилось тепло Q1. Какое тепло выделится при остановке

55

стержня, раскрученного до угловой скорости ω2 = 2ω1?

а) Q2 = Q1/2 б) Q2 = 2Q1 в) Q2 = 4Q1 г) Q2 = Q1/4

Ответ: в) 10. Для того чтобы раскрутить диск массы m1 и ра-

диуса R1 вокруг своей оси до угловой скорости ω1, необходимо совершить работу А. До какой угловой скорости удастся раскрутить диск массы m2 = m1/2 и радиуса R2 = 2R1, совершив при этом такую же работу? Трением пренебречь.

1) 2 2 1 2) ω2 = 2ω1

3) ω2 = ω1/2 4) 2 1 2

Ответ: 4) 11. Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, вкатываются без проскальзывания

на горку. Если начальные скорости тел одинаковы, то … . а) выше поднимется полый цилиндр б) выше поднимется сплошной цилиндр

в) оба тела поднимутся на одну и ту же высоту г) нет правильного ответа

Ответ: а) 12. В начальный момент времени t = 0 цилиндр с мас-

сой m = 0,1 кг и с радиусом R = 0,5 м не
вращался, а поступательно скользил по	m	R
горизонтальной поверхности с кинети-			V
ческой энергией 800 Дж. Под действи-	t 0
ем силы трения он начал катиться без
проскальзывания с кинетической энер-

гией поступательного движения 200 Дж. Сила трения совершила работу … .

а) 300 Дж б) 600 Дж в) 500 Дж г) 400 Дж

Ответ: в) 13. Цилиндр с массой m = 0,3 кг и с радиусом R = 0,5 м без начальной скорости и без проскальзывания

56

скатывается с высоты h = 1 м. Ускорение свободного падения g = 10 м/с2. В нижней точке кинетическая энергия его поступательного движения равна … .

а) 1 Дж б) 1,5 Дж в) 2 Дж г) 3 Дж

Ответ: в) 14. Цилиндр с массой m = 0,2 кг и с радиусом

R = 0,5 м катится без проскальзывания, имея начальную угловую скорость ω = 2 рад/с. Его потенциальная энергия после подъема на максималь-

ную возможную высоту (см. рисунок) возрастет на … .

а) 0,1 Дж б) 0,15 Дж в) 0,2 Дж г) 0,3 Дж

Ответ: б)

7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ

7.1.Гармонический осциллятор

7.2.Сложение гармонических колебаний

7.3.Физический и математический маятники

7.4.Энергия гармонического осциллятора

7.1. Процессы, полностью или частично повторяющиеся во времени, называют колебаниями.

Простейшим типом колебаний являются гармонические колебания, то есть колебания с постоянной амплитудой, совершающиеся по закону синуса или косинуса:

x Acos t 0 или x A sin t 0 .

Система, совершающая гармонические колебания, называется гармоническим осциллятором.

Гармоническим осциллятором является материальная точка массы "m", совершающая прямолинейные колебания под действием силы, изменяющейся по закону

F k r (упругая или квазиупругая сила).

Рассмотрим движение материальной точки массой

57

m вдоль оси х под действием силы F = –kx, где k – коэффициент квазиупругой силы. Динамический закон движения системы запишем в виде:

ma = –kx,

d 2 x

где a dt2 . В теории колебаний вторую производную обычно обозначают как x , поэтому имеем:

	x		k	x 0 .	(7.1)
			m

Решение полученного динамического уравнения гармонических колебаний (7.1) будем искать в виде:

x Acos o t 0 .

После дифференцирования и подстановки в (7.1) получим:

o2 mk .

Динамическое уравнение гармонических колебаний имеет вид:

x o2 x 0 .

7.2. Рассмотрим сначала сложение гармонических колебаний, совершающихся в одном направлении. Пусть, например, требуется сложить два колебания с одинаковой частотой:

x1 A1 cos ot 1

и x2 A2 cos ot 2 .

Результатом такого сложения будет также гармоническое колебание частоты ωо, амплитуду и начальную фазу которого требуется определить.

Всякое колебание может быть представлено вектором, модуль которого равен амплитуде, угол наклона к оси x в начальный момент времени равен начальной фазе (в

58

произвольный момент времени – фазе ( ot ) ). Произ-

водя сложение колебаний векторным способом (рис. 11), из теоремы косинусов получим:

A A12 A22

A

A2

2		A 1

	1
0	x

2 A1 A2 cos 2 1 ,

tg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2

.

Таким образом, оказались найденными все параметры результирующего колебания.

Рис. 11 Если частоты слагаемых колебаний не одинаковы,

то результирующее колебание не будет гармоническим. Рассмотрим сложение взаимно перпендикулярных

гармонических колебаний:

x Acos t

y B cos t

где φ – сдвиг фаз.

Найдем траекторию результирующего гармонического колебания в некоторых частных случаях (рис. 12):

а) φ = kπ, где k = 0, 1, 2, …

x Acos t

,

y B cos t

В этом случае материальная прямым, изображенным на рисунке.

б)	k	, где k = 1, 3, 5 …
2		x Acos t
			.
		y B sin t

xy BA .

точка колеблется по

Траекторией результирующего колебания в этом

59

случае будет эллипс, симметричный относительно коорди-

натных осей:	x2		y2		1 .
	2		B	2
	A								Можно		показать,
y	B
								,...	что если сдвиг фаз есть
						0,2			величина	произвольная,
					A x				то траекторией результи-
A									рующего	колебания бу-
									дет эллипс, оси которого
B			,3 ,...						наклонены к координат-
									ным осям.

Рис. 12 Таким образом, при сложении двух взаимно пер-

пендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты в общем случае получается так называемое эллиптически поляризованное колебание.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с частотами p 0 и q 0 , где p и q – целые числа:

x A1 cos( p 0t 01 ) ; y A2 cos( q 0t 02 )

траектории результирующего колебания представляют собой кривые, называемые фигурами Лиссажу. На рисунке 13 представлены примеры фигур Лиссажу.

Y A2

Y A2

A1

A1

X

A1

A1

X

A2

A2

; q

2

; q

3

2

p

1

2

p

2

Рис. 13 7.3. Рассмотрим примеры гармонических осцилля-

торов.