Механика_Термодинамика_290311

111

Больцман доказал, что в случае постоянных внешний силовых полей в термодинамической системе возможно равновесное состояния, и что распределение молекул по скоростям в такой системе по-прежнему будет распределением Максвелла. Все отличие заключается в том, что концентрация молекул в такой системе будет зависеть от координат:

n n x, y,z .

Зависимость концентрации молекул от координат называют распределением Больцмана.

В качестве примера найдем распределение концентрации молекул в изотермической атмосфере.

Так как давление убывает с высотой, то dp gdh

. Учитывая, что

			m		pM				,
имеем		V				RT
	Mg					dp				Mg
dp		pdh ,									dh ,
	RT					p				RT

ln p MghRT const .

При h = 0, p = p0, тогда const = ln p0. После подстановки получаем:

p p	exp			Mgh	.
0				RT

Полученная формула называется барометриче-

ской.

Заменяя p = nkT и M/R = m/k, имеем:

n h n	exp			mgh	.
0				RT

Последняя формула выражает распределение концентрации молекул по высоте в однородной изотермиче-

112

ской атмосфере и представляет собой частный случай распределения Больцмана, которое в общем виде формулиру-

ется так: если система, состоящая из совокупности

одинаковых частиц, участвующих в тепловом хаотическом движении, находится в постоянном во времени внешнем силовом поле, то в равновесном состоянии концентрация частиц распределена по экспоненциальному закону:

U

n x, y ,z n0e RT ,

где n0 – концентрация молекул в точке (x0,y0,z0), для которой U = 0, U – потенциальная энергия одной молекулы в точке с координатами (x,y,z).

Формула Больцмана используется в широком круге явлений, например, с ее помощью можно найти зависимость тока в полупроводниковом диоде от приложенного напряжения; вычислить намагниченность вещества, электрическую проницаемость, радиус экранировки в плазме и т. д.

15. ПРОЦЕССЫ ПЕРЕНОСА

Одной из важнейших характеристик теплового хаотического движения является средняя длина свободного пробега газовых молекул. Средней длиной свободного пробега называют среднее расстояние, которое мо-

лекула проходит между двумя следующими друг за другом соударениями.

Чтобы найти , допустим, что молекулы газа можно рассматривать как шары, имеющие диаметр d и движущиеся со средней скоростью <V>. Эффективный диаметр молекул d – это минимальное расстояние, на которое сближаются при столкновении центры двух молекул. С ростом кинетической энергии молекул, а, следовательно, и

113

температуры, d уменьшается. За время dt частица пройдет средний путь <V>·dt и столкнется со всеми молекулами, центры которых находятся в пределах цилиндра объёмом πd2<V>dt. Число столкновений, испытываемое молекулой за время dt, будет, таким образом, равно числу молекул в объеме πd2<V>dt. Точный расчет с учетом относительного движения всех молекул газа дает поправочный множитель,

равный 2 . Тогда число столкновений в единицу времени

		2	d 2n V dt			d 2n V	,
					2
			dt

где n – концентрация молекул. Длина свободного пробега равна отношению среднего пути, проходимого молекулой за единицу времени (численно равного <V>) к числу испытываемых за это время столкновений:

		V		1
				2 d 2n

Для молекул, взаимодействующих друг с другом по любому закону (не обязательно как упругие шары)

1 n ,

где d 2 – эффективное поперечное сечение столкновения.

Таким образом, согласно полученным формулам, длина свободного пробега молекул обратно пропорциональна концентрации и, следовательно, давлению.

Явления переноса возникают вследствие градиента какой-либо физической величины при наличии теплового движения молекул. Например, если имеется градиент концентрации, возникает диффузия, градиент импульса – вязкость, градиент температуры – теплопроводность. Все явления переноса – необратимые процессы. Именно развитие этих процессов, как правило, приводит к возрастанию энтропии в изолированных системах. Методы классической термодинамики к изучению таких процессов не при-

114

менимы. Их изучением занимается термодинамика необратимых процессов. Однако элементарная теория процессов переноса может быть построена на основе молекулярнокинетической теории. В дальнейшем будем полагать, что отклонение системы от состояния теплового равновесия в каждой точке пространства мало. То есть, понятие температуры сохраняется, но не для всей системы, а для каждой точки (это так называемое локальное равновесие). Таким образом, все основные параметры системы остаются в силе, но указываются для каждой точки, то есть являются функциями координат.

Рассмотрим вязкость (внутреннее трение). Пусть при ламинарном движении скорость течения газа меняется от слоя к слою. При этом на границе между двумя смежными слоями возникает сила внутреннего трения, которая, как показывает эксперимент, равна

	F	du		S ,
		dZ

Закон Ньютона

где η – коэффициент внутреннего трения (коэффициент

динамической вязкости), du – градиент скорости течения dZ

газа, показывающий, как сильно изменяется скорость упорядоченного движения его молекул в направлении, перпендикулярном скорости. Теоретически показано, что

12 mn V 13 V ,

где ρ = mn – плотность газа, m – масса молекулы.

Так как плотность ρ газа пропорциональна давлению p, а <λ> обратно пропорциональна p, то η не зависит от давления газа. При повышении температуры <V> и <λ> увеличиваются, что приводит к росту вязкости η.

Если слои газа имеют разную температуру, то в газе возникает перенос теплоты от более нагретого слоя к ме-

115

нее нагретому, т.е. имеет место явление теплопроводности. Предположим, что температура газа изменяется только в направлении оси Z. Экспериментально установлено, что в этом случае теплопроводность газа определяется формулой:

dQ dTdZ S dt ,

Закон Фурье

где dQ – количество теплоты, переносимое за время dt через площадку S, расположенную перпендикулярно оси Z;

dT – градиент температуры газа; – коэффициент про- dZ

порциональности, называемый теплопроводностью. Он зависит от свойств газа и условий, при которых находится газ. Для теплопроводности получено следующее выражение:

1

3 V cV ,

где сV – удельная теплоемкость при постоянном объеме. Теплопроводность χ не зависит от давления газа по

той же причине, по которой не зависит от давления η. Кроме того, ее зависимость от температуры такая же, как и у η, то есть χ возрастает с температурой несколько быст-

рее, чем T (за счет небольшого роста, связанного с уменьшением поперечного сечения при росте температуры).

Когда в смеси газов концентрация какого-либо газа распределена неравномерно, то возникает перенос молекул этого газа из мест с большей концентрацией в места с меньшей концентрацией. Это явление называется диффузией. Если в сосуде находится только один газ, плотность которого в занимаемом им объеме неодинакова, то происходит диффузия молекул газа в среде того же самого газа, то есть самодиффузия. Предположим, что плотность газа

116

изменяется только в направлении оси Z. Экспериментально установлено, что в этом случае диффузия газа определяется формулой

dm D ddZ Sdt ,

Закон Фика

где знак «–» указывает, что диффузия происходит в направлении убывания плотности; dm – масса газа, переносимого за время dt через площадку S, расположенную

перпендикулярно оси Z; d – градиент плотности газа; D dZ

– коэффициент диффузии. Он зависит не только от природы диффундирующего газа и условий, при которых он находится, но и от природы среды и условий, при которых находится эта среда. Показано, что коэффициент самодиффузии газа равен

D 31 V .

При постоянной температуре, но изменяющемся давлении газа средняя скорость <V> теплового движения молекул остается постоянной, а средняя длина свободного пробега <λ> изменяется обратно пропорционально давлению p. Поэтому при постоянной температуре коэффициент самодиффузии обратно пропорционален давлению p. С ростом температуры коэффициент самодиффузии увеличивается.

Коэффициенты вязкости, теплопроводности и диффузии зависят от средней длины свободного пробега молекул газа, поэтому из опытов по диффузии, теплопроводности и вязкости газа можно вычислить <λ> и затем определить эффективный диаметр молекул.

117

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 15

1. Концентрация молекул газа одинакова во всех точках, а температура газа возрастает в положительном направлении оси Y. Происходит перенос теплоты … .

а) в положительном направлении оси Y

б) в отрицательном направлении оси X

в) в положительном направлении оси Z

г) в отрицательном направлении оси Y

Ответ: г)

2. Перенос импульса направленного движения газа происходит в положительном направлении оси X. Скорость потока газа направлена в положительном направлении оси Y. Градиент величины этой скорости направлен …

а) в положительном направлении оси X

б) в отрицательном направлении оси X

в) в положительном направлении оси Y

г) в отрицательном направлении оси Y

Ответ: б)

3. Происходит перенос импульса направленного движения газа. При этом величина скорости потока газа возрастает в направлении … .

а) совпадающем с направлением потока газа б) противоположным направлению потока газа

в) совпадающем с направлением переноса импульса г) противоположном направлению переноса им-

пульса

Ответ: г)

4. В потоке газа, направленном вдоль вектора

			скорость			газа растет в направлении
n	ex ey ,
				и		– единичные вектора декартовой
n ex ey , где ex					ey

118

системы координат. Перенос импульса направленного движения этого газа происходит вдоль вектора … .

		а) ex ey		б) ex ey		в) ex ey		г) ex ey
								Ответ: а)
		5. В	потоке	газа,	направленном			вдоль	вектора
n	ex	ey , скорость газа растет в направлении n ex ey ,
			– единичные вектора декартовой системы ко-
где ex		и ey

ординат. Перенос импульса направленного движения этого

газа происходит вдоль вектора … .
								г)
а) ex	ey	б) ex ey		в) ex ey					ex ey
									Ответ: в)
6. Перенос импульса направленного движения газа
происходит в направлении вектора									Скорость
					n	ex ey .

потока газа направлена вдоль вектора n ex ey , где ex и

ey – единичные вектора декартовой системы координат.

Градиент величины этой скорости направлен вдоль вектора … .

		а) ex ey			б) ex ey			в) ex ey		г) ex ey
										Ответ: в)
	7. Концентрация молекул газа одинакова во всех
точках,		а	температура				газа	возрастает в		направлении
							– единичные вектора декартовой
n	ex ey		, где ex ,		ey ,	ez

системы координат. Происходит процесс переноса тепла в

направлении … .
			а) ez	б) ez		в) ex ey		г) ex ey
	8.							Ответ: г)
		В	потоке	газа,		направленном		вдоль	вектора
			, скорость			газа растет		в направлении
n	ex ey
					– единичные вектора декартовой
n ex ey			, где ex	и ey

119

системы координат. Перенос импульса направленного движения этого газа происходит вдоль вектора … .

а) ex ey		б) ex ey		в) ex ey		г) ex ey

Ответ: б) 9. Концентрация молекул газа одинакова во всех точках. В газе происходит перенос тепла в направлении

					– единичные вектора декартовой
n	ex ey , где ex			и ey

системы координат. Температура этого газа возрастает в

направлении … .
а) ex ey			б) ex ey		в) ex		ey	г) ex ey
								Ответ: б)
10. Величина концентрации молекул газа возрастает
							– единичные век-
в направлении n ex ey , где ex ,					ey ,	ez

тора декартовой системы координат. Это приводит к появлению переноса массы в направлении … .

					г)
а) ex ey		б) ex ey		в) ez		ez

Ответ: б)