Механика_Термодинамика_290311

20

смысл, поэтому в классической механике рассматривают силы только гравитационной и электромагнитной природы.

Опыт показывает, что одинаковое силовое воздействие, оказываемое на разные тела, приводит к тому, что они в общем случае будут двигаться с различными ускорениями. Способность тела приобретать определенное ускорение под действием силы называют инертностью. Ко-

личественной характеристикой инертности является величина, называемая массой.

Для характеристики движения тела вводят векторную величину, называемую импульсом:

p mV .

4.2. Первый закон Ньютона:

Существуют такие системы отсчета, называемые инерциальными, по отношению к которым свободная материальная точка покоится или движется равномерно и прямолинейно.

Свободной называют материальную точку, на которую либо силы не действуют, либо их векторная сумма равна нулю.

Всистемах отсчета, связанных с реальными телами, первый закон Ньютона выполняется все более точно по мере того, как расстояние между телом отсчета и материальной точкой увеличивается, и их взаимодействие ослабевает.

Первый закон Ньютона следует рассматривать как постулат, утверждающий принципиальную возможность существования инерциальных систем отсчета.

Второй закон Ньютона:

Винерциальных системах отсчета скорость изменения импульса материальной точки равна вектору силы, действующей на эту точку:

21

				d p
						F .				(4.1)
				d t
Если масса материальной точки не изменяется
(m = const), то, так как
			p mV , из (4.1) следует:
	d V
m		F или						F	ma .	(4.2)
	d t
Формулу (4.2) можно представить в виде:
					d	2
			m			r	F	,		(4.3)
					dt2

или в проекциях на координатные оси:

		d 2 x
m				Fx ;
		dt2
		d 2 y
m				Fy ;.	(4.4)
		dt2

d 2 z

m dt2 Fz .

Уравнение (4.3) и систему (4.4) называют динами-

ческими уравнениями движения материальной точки.

Из уравнения (4.2) следует, что причиной ускорения, с которым движется тело, является сила, действующая на это тело. Другими словами, в инерциальной системе отсчета сила, действующая на материальную точку, вызывает ускорение, прямо пропорциональное этой силе, обратно пропорциональное массе точки и направленное вдоль линии действия силы.

Если на материальную точку действует одновременно несколько сил, то второй закон Ньютона должен быть дополнен принципом суперпозиции: ускорение материальной точки при одновременном действии на нее нескольких сил равно векторной сумме ускорений, сообщен-

22
ных ей отдельными силами.

Пусть на точку массой m действуют силы F1 , F2 ,… F

. Ускорения, сообщенные материальной точке каждой из

этих сил в отдельности, равны:

F

F

F

a

1

,

a

2

2

, … ,

a

n

n

.

1

m

m

m

Результирующее ускорение:

или

a

a1 a2 ... a

1

a

F1 F2 ... F ,

то есть

m

ma

Fi

F .

i 1

Таким образом, совокупность нескольких сил, од-

новременно действующих на материальную точку, вызы-

вает тот же эффект, что и действие одной силы F , равной

геометрической сумме этих сил. Силу F называют резуль-

тирующей системы сил Fi .
Третий закон Ньютона:
В инерциальных системах						отсчета силы дей-
			ствия	двух	материальных точек
	F21	m2	друг на	друга		равны	по величине,
			направлены		в	противоположные
			стороны и		имеют		общую линию
F12			действия, т. е.
						F12 F21 (рис. 5).
m1			Третий закон отражает тот факт, что
Рис. 5		действие тел друг на друга всегда носит

характер взаимодействия.

Законы Ньютона составляют основу классической механики.

23

4.3. В соответствии с принципом относительности Галилея: никакими механическими опытами, проведен-

ными внутри данной инерциальной системы отсчета, нельзя установить покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно.

Из первого закона Ньютона следует, что если имеется некоторая инерциальная система отсчета, то и всякая другая система, движущаяся равномерно и прямолинейно относительно первой, будет также инерциальной.

Для сопоставления законов движения материальной точки в различных инерциальных системах отсчета используют преобразования Галилея.

Рассмотрим две инерциальные системы отсчета К и К´, движущиеся друг относительно друга с постоянной скоро-

стью vo	так, что оси х и х´ совпадают, а оси у,						у´ и z, z´
остаются параллельными друг другу (рис. 6).
y	y'			Начала		отсчета обеих
				систем		совпадают		в
		V		начальный			момент
		0		времени.			Найдем
		M		связь между			коорди-
O	O'		x,x'	натами		материальной
				точки в системах К и
	V0 t	x'		К´.	рис.	6 видно,		что
				Из
				x( t ) x'( t ) V0t
z	x
	z'				y( t ) y'( t )
					z( t ) z'( t ).

Рис. 6 Преобразования Галилея

В классической механике предполагается, что темп течения времени не зависит от скорости движения, т.е. t = t´. Тогда после дифференцирования получаем:

				24
V	x	V ' V
				x	0
	V y Vy'				(4.5)
	V			V ' .
			z	z

Формулы (4.5) выражают теорему сложения ско-

ростей в классической механике.

Дифференцируя (4.5) и учитывая, что для инерци-

				.
альных систем отсчета V0 const		, получим: a	a

4.4. Неинерциальной системой отсчета называют систему, движущуюся ускоренно относительно инерциальной.

При построении теории движения в неинерциальных системах в принципе можно было бы принять, что ускорения тел вызываются не только силами взаимодействия, но и другими факторами (характером движения системы отсчета). Однако исторически был выбран другой путь – эти другие факторы были признаны силами, которые находятся с ускорениями в таких же отношениях, как и силы взаимодействия. Эти силы особой природы были названы силами инерции. Формулируя основной закон динамики в случае неинерциальных систем, наряду с си-

лами взаимодействия учитывают силы инерции. Силы инерции берут такими, чтобы обеспечить в неинерциальной системе отсчета те ускорения, которые фактически имеются, но силами взаимодействия объясняются лишь частично.

Движение неинерциальной системы отсчёта К´ относительно инерциальной системы отсчёта К можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного со

скоростью v0 точки О′ и вращательного вокруг этой точки

с угловой скоростью .

Основное уравнение динамики движения матери-

25

альной точки в неинерциальной системе отсчета запи-

сывают тогда в виде:

,

ma F

mao

mak

где a – ускорение материальной точки в неинерциальной

dv

o

d

системе

отсчета, a

,r

,r – пере-

o

dt

dt

носное ускорение;

–

кориолисово ускоре-

a

2 ,v

k

ние. r

и v – соответственно радиус-вектор и скорость

материальной точки в системе отсчета К´.

Это уравнение можно привести к виду, аналогично-

му по форме второму закону Ньютона:

ma F Fo Fk ,

dv

o

d

где

F

ma

m

m

,r

m ,r

назы-

o

o

dt

dt

вают

переносной

силой

инерции,

а

Fk

,

v

–

кориолисовой

силой

инер-

mak 2m

ции. Последний член в выражении для переносной силы

инерции						называют центробежной
	F	m ,r
	цб

силой инерции.

Введение сил инерции позволяет в неинерциальных системах отсчета сохранить форму основного уравнения динамики.

ТЕСТЫ К РАЗДЕЛУ 4

1. Импульс тела p изменился

под действием короткого удара и ско-

рость тела стала равной V2 , как показа-

но на рисунке. В каком направлении могла действовать сила?

28

нимался по участку дуги. Куда может быть направлена результирующая всех сил, действующих на автомобиль в этот момент времени?

а) 1 б) 2 в) 3 г) 4 д) 5

Ответ: б)

5. СИСТЕМА МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

5.1.Уравнение движения системы материальных точек

5.2.Центр масс механической системы. Уравнение движения центра масс

5.3.Момент силы и момент импульса

5.4.Уравнение моментов

5.5.Момент инерции

5.6.Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела

5.1. Пусть механическая система состоит из n материальных точек, каждая из которых может взаимодействовать с любой другой. Кроме того, на материальные точки системы могут действовать внешние силы. Описать движение такой системы – это значит указать закон движения для каждой материальной точки, то есть составить и решить систему уравнений типа:

	d V	i		e
m	k	F	F		,
	d t
k		k	k

	– результирующая всех внутренних сил, действу-
где F i
k
		– результирую-
ющих на k-ую материальную точку; F e
	k

щая всех внешних сил, действующих на k-ую материальную точку.

29

В результате получаем систему из n дифференциальных уравнений, которую сложно решить. В связи с этим для описания движения системы пользуются законами, позволяющими судить о движении системы в целом, хотя при этом теряется информация о движении отдельных точек.

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, для каждой из которых справедливо уравнение вида:

					i			e
	d p
		k		F			F		.
	dt				k			k
В результате суммирования по всем материальным
точкам получим:								e
	n						n
		d p
			k		Fk				.	(5.1)
		d t
k 1						k 1

В (5.1) учтено, что в соответствии с третьим законом Нью-

n
тона Fk i 0 . Операции дифференцирования и сумми-
k 1

рования можно поменять местами, поэтому левую часть

уравнения (5.1) переписываем в виде
		n				d	n
			d p	k					d p
							pk			,
			d t						d t
	n	k 1				d t k 1
		– называют импульсом механической си-
где p pk

k 1

стемы. Он представляет собой векторную сумму импульсов всех материальных точек системы.

Правую часть уравнения (5.1) обозначим:

Fk e	R ,

где R – векторная сумма всех внешних сил, действующих на систему. Таким образом, получен окончательный вид

уравнения движения системы материальных точек