Лабораторные работы по физике-во

Лабораторная работа 1.83. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА МАСС ТВЕРДОГО ТЕЛА

МЕТОДОМ КОЛЕБАНИЙ

А.П. Воробьев, В.Б. Студенов

Цель работы: ознакомиться с понятием центра масс твердого тела, научиться рассчитывать координаты центра масс, ознакомиться с методикой экспериментального определения координат твердого тела методом колебаний.

Задание: рассматривая заданное тело как физический маятник, измерить период его колебаний при различных положениях оси вращения и на основе полученных экспериментальных данных определить положение центра масс этого тела; рассчитать координаты центра масс заданного тела по известной формуле; сопоставить между собой полученные значения.

Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить понятие центра масс, центра инерции и центра тяжести твердого тела, а также понятие физического маятника, момента инерции твердого тела, теорему Штейнера; ознакомиться с расчетными формулами для определения координат центра масс твердого тела с помощью колебаний.

Библиографический список

1.Савельев И.В. Курс общей физики. - М.: Наука, Физматлит, 1998. т. 1, Гл. 3, § 27; Гл. 5, § 38, 39; Гл. 7, § 53, 54.

2.Иродов И.Е. Основные законы механики -М.: Высшая школа, 1997, §§ 3.4, 6.1.

Контрольные вопросы

1.Что называется центром масс, центром инерции и центром тяжести твердого тела?

2.Что такое физический маятник?

3.Что такое приведенная длина физического маятника и как она определяется?

4.Нарисовать примерную зависимость периода колебаний физического маятника от расстояния между осью вращения и

2

центром масс.

5.Как определяются координаты центра масс твердого тела, состоящего из дискретного числа материальных точек?

6.Как определяются координаты центра масс твердого тела, масса которого непрерывно распределена по объему тела?

7.Как определяются координаты центра масс твердого тела, состоящего из нескольких частей с известным расположением их центров?

Описание установки и метода измерений

При изучении движения твердого тела представляет интерес движение его особой точки, называемой центром масс. Эта точка замечательна тем, что поступательное движение твердого тела может быть описано как движение именно этой точки, в которой сосредоточена масса всего тела и к которой приложена равнодействующая всех внешних сил. А любое сложное движение твердого тела может быть представлено в виде поступательного движения его центра масс и вращательного движения тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс.

Положение центра масс твердого тела можно найти, если известны координаты всех частей тела относительно какой-либо системы отсчета. В векторной форме расчетная формула для определения координат центра масс в какой – либо неподвижной системе координат имеет вид:

	rrC =	1	∑ m jrrj ,	(1)
		m

где rj -радиус-вектор, определяющий положение каждой j-ой частицы тела с массой m j , m = ∑m j - масса тела.

Векторная формула (1) эквивалентна трем скалярным выражениям типа:

	xC =	1	∑ m j x j ,	(2)
		m
	где x j - координата хC каждой j-ой частицы тела с массой			m j .

Если масса тела распределена непрерывно по его объему, то в формуле (2) вместо сумм будут входить интегралы по объему

3

тела V. Пусть плотность тела равна ρ , тогда бесконечно малая частица тела с объемом dV = dxdydz и координатами x, y, z будет иметь массу dm = ρdxdydz и, следовательно, координата xc в формуле (2) будет определяться следующим образом:

xc = m1 V∫xρdxdydz

Аналогичные выражения будут иметь место и для других координат центра масс ( yC и zC ).

Практически при отыскивании центра масс твердого тела его разбивают на составные части, находят центры масс каждой из них, а затем, полагая массу каждой составной части сосредоточенной в ее центре масс, определяют центр масс всего тела пользуясь формулой, аналогичной (1):

	rrC =	1	∑ m jrrj ,	(3)
		m

где rj - радиус-вектор, определяющий координаты центра масс каждойсоставнойчастителасмассой m j , где m-полная масса тела.

Полезно иметь в виду, что у однородных тел с осевой симметрией их центр масс лежит на оси симметрии. Центр масс некоторых сплошных тел может находиться и вне самого тела, как, например, у кольца.

В однородном поле силы тяжести, когда направление векторов силы тяжести, действующих на отдельные части тела, можно считать параллельным между собой, центр масс твердого тела совпадает с его центром тяжести.

Центр тяжести твердого тела определяется как точка, через которую проходит равнодействующая сил тяжести составных частей тела, причем при любой ориентации тела в пространстве положение этой точки остается неизменным. В частности, если закрепить твердое тело вцентретяжести, тоонобудетнаходитьсявравновесии.

Экспериментально центр тяжести твердого тела можно найти, подвешивая тело в разных точках и определяя точку пересечения вертикальных линий, проходящих через точки подвеса. В данной работе предлагается метод определения центра масс

4

твердого тела, основанный на особенностях колебательного движения физического маятника.

Рис. 1

Физический маятник, схематически изображенный на рис. 1, представляет собой твердое тело с распределенной по объему массой, совершающей колебания малой амплитуды в поле тяжести относительно горизонтальной оси (точка О), расположенной выше центра масс тела (точка С).

Как известно, период колебаний TФ физического маятника определяется по формуле:

T	= 2π lпр	(4)
Ф	g

где lпр = maJ - так называемая приведенная длина физического

маятника. В этом выражении J - момент инерции твердого тела относительно оси вращения, m- масса тела, а - расстояние между осью вращения и центром масс тела (см. рис. 1), g - ускорение свободного падения.

По теореме Штейнера момент инерции J можно представить в виде

J = J0 + ma2

где J0 - момент инерции тела относительно оси, параллельной за-

5

данной оси вращения и проходящей через центр масс тела. Тогда приведенная длина физического маятника lпр представляется в

	виде:	J0
	l =			+ a .			(5)
		ma
	пр
	При фиксированном значении lпр выражение (5) является
	квадратным уравнением относительно расстояния а:
	a2 −l		a +		J0	= 0
		пр			m
	и определяет два значения а1		и а2 , причем по свойству корней
	квадратного уравнения:
	а1 + а2=lпр.						(6)
	Выражение (6) показывает, что один и тот же период коле-

баний Тф физического маятника может быть достигнут при двух разных расположениях оси вращения.

Пусть хC - координата центра масс твердого тела, отсчитываемая от верхней точки тела вдоль вертикальной оси, х — координата оси вращения относительно той же точки. Согласно рис. 1, координата и расстояние а между осью вращения и центром масс тела связаны соотношением х+а = хC .

Упомянутым выше двум значениям а1 и а2 будут отвечать два значения х1 и х2 , удовлетворяющие соотношениям:

x1 + a1 = xC , x2 + a2 = xC (7)

Складывая оба соотношения (7) и заменяя сумму а1 + а2 с помощью (6) для координаты хC получим выражение:

x	=	1	(x + x	2	+ l	пр	)	(8)
C	2		1
При наличии экспериментально полученной зависимости Тф
=Тф(х) для какого-либо фиксированного значения Тф								можно ука-
зать два значения x1 и x2	и рассчитать координату хC, согласно
(4) и (8), по формуле:

x	=	1 (x + x		2	) +	gTф	2	(9)
C		2	1			8π 2
В данной работе в качестве твердого тела, центр масс кото-

рого подлежит определению, используется тело с осевой симмет-

6

рией в виде стержня с закрепленным на нем небольшим грузом в виде полого цилиндра. Стержень опирается с помощью скользящей по нему муфты на призмы кронштейна, укрепленного в стене. Масса муфты пренебрежительно мала по сравнению с массами стержня и груза.

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с установкой и предлагаемой методикой определения центра масс твердого тела.

2.По согласованию с преподавателем определить положение груза на стержне и закрепить его.

3.Записать значения массы стержня М и груза m, а также значения длины стержня L и координаты l центра масс груза относительно верхнего конца стержня в перечень параметров установки.

4.Закрепить скользящую муфту на некотором расстоянии х от верхней точки стержня. Измерить линейкой это расстояние и занести его в таблицу измерений.

5.Твердое тело вместе с закрепленной на нем муфтой установить на призмы кронштейна.

6.Отклонить твердое тело (физический маятник) от вертикали на небольшой угол (не более 5 -6°) и отпустить. Измерить время t десяти (N =10) колебаний и занести данные в таблицу измерений. Повторить опыт не менее трех раз.

7.Повторить опыт по п.п. 4 - 6 еще 10 - 15 раз при различных значениях х, равномерно смещая муфту от верхнего края стержня к нижнему.

Обработка результатов измерения

1. Результаты измерений должны быть оформлены в виде таблицы:

							Таблица 1
x	t	t	2	t	3	tср	T
	1						Ф
…	…	…		…		…	…

7

2. Вычислить средние значения tср времени десяти колебаний и средние значения периодов колебаний Tф = tср N , резуль-

таты занести в таблицу измерений.

3. Для одного из значений х вычислить случайную погрешность по формуле:

	tсл =αп, р	(	t j )2	.
		n(n −1)

Для n =3 и р = 0,7 коэффициент αп,р =1,4. Вычисленную случайную погрешность нужно сравнить с приборной погрешностью измерения времени tпр и выбрать большую из них.

4. Рассчитать погрешность измерения периода колебаний по формуле Tф = t N .

5.Построить график зависимости Тф =ТФ (х), максимально растянув пределы измененных значений Тф по оси ординат.

6.С помощью построенного графика для нескольких (3 - 5)

значений периода ТФj.найти соответствующие значения x1 j и x2 j и рассчитать значения xCj по формуле (9):

x =	1	(x	+ x	2 j	) +	gTФ2j	,
	2
Cj		1 j				π2
					8

После чего определить среднее значение xС изм как среднее арифметическое значение xCj .

7. Для одного из значений периода Tф оценить погрешность определения xC изм по формуле:

		gTФ2j		g	2	T	2	π
xC изм =	x +			g +		Ф	+ π			,
		8π2			T
						Ф
где x - приборная погрешность измерения длины x.
8. Записать результат в виде: xC изм						= xС ср ±		xC изм.

9. Рассчитать координату центра масс заданного тела по формуле (2), рассматривая массу груза как точечную, при этом

	xc	=	ML + 2ml	,
			2(M + m)

8

где L - длина стержня, M - масса стержня, l - координата центра масс груза тела массой m.

10.Определить погрешность расчетного положения центра масс по формуле:

l − L 2 xC рас = x + M + m

где m - точность задания масс M и m, а ность определения расстояния х.

11.Записать результат в виде

m,

x - приборная погреш-

xC рас = xC ± xC рас .

12.Сравнить значения координаты xc , полученные по экс-

периментальным данным и по расчетной формуле. 13.По результатам работы написать заключение.

Лабораторная работа 1.84 ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРЕДНЕЙ ДЛИНЫ СВОБОДНОГО ПРОБЕГА И ЭФФЕКТИВНОГО ДИАМЕТРА МОЛЕКУЛ

ВОЗДУХА

А.А. Задерновский, В.Б. Студенов, Ю.И. Туснов

Цель работы: изучение закономерностей хаотического теплового и упорядоченного движения молекул и определение на основе измерений вязкости воздуха средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул.

Задание: измерить объем воздуха, протекающего через капилляр, и по полученным данным рассчитать среднюю длину свободного пробега и эффективный диаметр молекул воздуха.

Подготовка к выполнению лабораторной работы: изучить основные понятия и закономерности физической кинетики газов, ознакомиться с описанием экспериментальной установки.

Библиографический список

1. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1- Изд. Лань, 2006, § 128, 129, 132.

Контрольные вопросы

1.Что такое явления переноса? Перечислите их.

2.Что следует понимать под термином "столкновение молекул"?

3.Что такое средняя длина свободного пробега молекул?

4.Каков механизм возникновения силы внутреннего трения? От чего она зависит?

5.Чему равен поток импульса, передаваемый от одного слоя газа к другому?

6.При неизменной температуре давление газа возросло в 1,5 раза. Какприэтомизменилась средняядлина свободногопробега?

7.Как связаны друг с другом коэффициент вязкости и средняя длина свободного пробега молекул?

8.Как зависит коэффициент вязкости от температуры?

9.Получите (выведите) формулу Пуазейля.

10.Опишите процедуру измерений в данной работе.