Лабораторные работы по физике-во

2

11.Получите формулы для расчета абсолютной и относительной погрешности измерений средней длины свободного пробега и эффективного диаметра молекул.

Описание аппаратуры и метода измерений

Молекулы газа, находясь в состоянии хаотического теплового движения, постоянно сталкиваются друг с другом. Процесс столкновения не следует представлять себе как соударение твердых шаров. Под столкновением молекул в кинетической теории газов понимают процесс электромагнитного взаимодействия молекул, характеризующийся их взаимной потенциальной энергией, в результате которого молекулы изменяют направление движения.

Минимальное расстояние d, на которое сближаются при столкновении центры молекул, называется эффективным диаметром молекулы. Эффективный диаметр молекулы зависит от ее кинетической энергии и, следовательно, от температуры газа. Так, с повышениемтемпературы эффективный диаметрмолекулыd уменьшается.

Между столкновениями молекулы газа движутся прямолинейно и равномерно, проходя в среднем расстояние λ, называемое средней длиной свободного пробега. Значение λ зависит только от давления и температуры газа и является характеристикой всех молекул.

Согласно кинетической теории газов средняя длина свободного пробега определяется выражением:

	λ =	1	,	(1)
		2πd 2n

где d- эффективный диаметр молекулы, а n- число молекул в единице объема.

Наряду с хаотическим тепловым движением молекулы могут участвовать в направленном или упорядоченном движении. Если в газе существует пространственная неоднородность плотности, температуры или скорости движения отдельных областей газа, на тепловое движение молекул накладывается направленное движение, стремящееся выровнять эти неоднородности. Так возникают явления переноса: диффузия - направленный перенос массы (выравнивание концентраций), вязкость или внутреннее трение (перенос ко-

3

личества движения), теплопроводность(выравнивание температур). Любое из этих явлений может быть использовано для определения средней длины свободного пробега молекул λ. В данной работе значение λ рассчитывается по результатам измерений ко-

эффициента вязкости газа (коэффициента внутреннего трения). Рассмотрим медленное течение газа по цилиндрической трубке радиуса r0 под действием постоянной внешней разности давлений

p . Опыт показывает, что в этом случае газ течет по трубке от-

дельными слоями, скользящими друг относительно друга с разными независящими от времени скоростями. Такое течение называют ламинарным. Постоянство и различие скоростей связано с действием между слоями сил внутреннего трения, которые при установившемся течении газа уравновешиваются силами внешнего давления.

Опытным путем установлено, что модуль силы внутреннего трения F, приложенной к площадке S (см. рис. 1), лежащей на границе между слоями, определяется выражением

	F =ηS	du	,	(2)
		dx

где η - коэффициент пропорциональности, получивший название коэффициента вязкости, dudx - производная, характеризующая бы-

строту изменения в данном месте скорости течения в направлении х, перпендикулярном к площадке S.

Чтобы лучше понять происхождение сил внутреннего трения, рассмотрим два соприкасающихся слоя газа (рис. 1) и рассчитаем силу внутреннего трения, действующую между ними.

Пусть u1 - скорость течения газа в первом слое, а u2 - скорость течения газа во втором слое, причем u1 > u2 . Из-за хаотического те-

плового движения молекулы первого слоя попадают во второй слой и в результате столкновений с более медленными молекулами этого слоя увеличивают его импульс. Аналогично молекулы второго слоя, попадая в первый слой, уменьшают импульс направленного движения этого слоя.

4

Рис. 1

Таким образом, слои ведут себя так, как если бы к первому слою, скорость которого больше, была приложена тормозящая его движение сила, а ко второму слою, скорость которого меньше, приложена такая же по величине сила, ускоряющая его движение. Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на слой, равна приращению импульса слоя в единицу времени:

F = Kt ,

где K - приращение импульса слоя за время t .

Если N- число молекул, проходящих через площадку S за время t , а m- масса одной молекулы, то приращение импульса второго слоя за это время:

K = N (mu1 − mu2 ) .

Из-за хаотичности теплового движения в направлении, перпендикулярном площадке S, движется 1/3 всех молекул газа. Причем половина из них движется в одну сторону, половина - в другую. Поэтому число молекул, проходящих через площадку S за время t в одном направлении, определяется выражением:

N = 16 n v S t ,

где n- число молекул в единице объема, а v - средняя скорость теплового (хаотического) движения молекулы. Отсюда:

K =	1 n v Sm(u −u		2	) t .
	6	1

В реальном потоке газа скорость при переходе через границу раздела двух слоев изменяется не скачком, а непрерывно. С учетом

5

этого, разность скоростей (u1 −u2 ) следует заменить разностью скоростей (u1′ −u2′), которыми обладали молекулы при последнем

столкновении перед переходом в другой слой, то есть на расстоянии, равном средней длине свободного пробега λ. Тогда:

u1′ −u2′ = −2λ dudx .

С учетом этого для приращения импульса K получим:

K = −	1 mn v λ du S t .
	3	dx

Следовательно, сила внутреннего трения F, действующая между слоями на площадке S, определяется как:

F =	K	=	1 mn v	λ du S .	(3)
	t		3	dx

Сравнивая (3) с эмпирической формулой (2) для силы внутреннего трения, получим следующие выражения для коэффициента вязкости:

η =	1	v	λmn =	1	v λρ,	(4)
	3			3

здесь ρ = mn - плотность газа.

Формула (4) может быть использована для определения средней длины свободного пробега λ, если известен коэффициент вязкости η.

Для нахождения коэффициента вязкости рассчитаем объем газа Q, протекающего через трубку в единицу времени. Можно показать, что в случае ламинарного течения скорость слоев газа u изменяется с расстоянием r от оси трубки по параболическому закону:

		r	2
u (r )= u0 1	−				,
		r	2
	0

где u0 -скорость газа на оси трубки, причем

u		=	p	r2	,	(5)
	0		4ηL 0

6

здесь p - разность давлений на концах трубки радиусом r0 и

длиной L.

Разобьем сечение трубки на концентрические кольца шириной dr . Через кольцо радиуса r за одну секунду пройдет объем газа, равный произведению площади кольца dS = 2πr dr на скорость u(r ) течения газа через кольцо, то есть

										2
dQ =u(r )dS = 2πru0 1−									r		dr .
									2
									r
										0
Тогда объем газа, протекающий через все сечения трубки,
определяется как:
r0				2				1
Q = ∫2πru0	1		−	r	dr		=			πu0r02 .
				2				2
0				r0
Подставив сюда выражение (5) для u0 , получим формулу
Пуазейля:		πr4			p
Q =						.		(6)
			0
			8ηL

Соотношение (6) используется для определения вязкости жидкостей и газов, если пропускать газ (жидкость) через капилляр известного радиуса, измеряя при этом перепад давлений p и

поток газа Q = Vt (здесь V - объем газа, протекающей через ка-

пилляр за время t), можно найти коэффициент вязкости η:

η =	πr4	p	.	(7)
	0
	8QL

Для идеального газа, находящегося в состоянии термодинамического равновесия, средняя скорость теплового (хаотического) движения v и плотность ρ определяется выражениями:

	ρ =	Mp0	,	v =	8RT .	(8)
		RT
					πM

Здесь М - молярная масса газа, R = 8,31 (Дж/моль К) - универсальная газовая постоянная, Т - абсолютная температура газа, ρ0 - давление газа.

7

С учетом (7), (8) из (4) для средней длины свободного пробега λ получим:

λ =	3π3/ 2		r4	p		RT
			0				.	(9)
	16 2		QLp0			M

Выражение (9) используется в данной лабораторной работе для определения длины свободного пробега молекул воздуха.

Схема экспериментальной установки для измерения скорости течения газа через капиллярную трубку изображена на рис. 2.

Основной частью экспериментальной установки является металлический цилиндр Ц с подвижным поршнем П. Цилиндр сверху закрыт пробкой Пр с капилляром Кп. В пробке имеются еще два отверстия, через которые объем цилиндра под поршнем соединяется или с атмосферой (с помощью крана Кр1), или с водяным манометром (с помощью крана Кр2). В рабочем состоянии кран Кр1 закрыт, кран Кр2 - открыт, поршень П - в верхнем положении.

Рис.2

Когда на подставку Пс, жестко связанную с поршнем, помещают груз Р, поршень приходит в движение. Перемещение поршня

8

отсчитывается по вертикальной шкале Ш с указателем С. Опускающийся вниз под действием груза поршень, засасывая через капилляр воздух в цилиндр, играет роль своеобразного насоса, создающего пониженное давление воздуха в цилиндре. В результате этого на внешнем и внутреннем концах капилляра возникает перепад давлений ρ, который может быть измерен с помощью водя-

ного манометра. При установившемся течении газа через капилляр перепад давлений ρ остается неизменным и равным

p = ρ0 gl ,

(10)

где ρ0 =103 кг/м3 - плотность воды; g = 9,8 м/с2 - ускорение сво-

бодного падения; l - разность уровней воды в манометре.

При этом согласно формуле (6) объем воздуха Q, засасываемого за единицу времени через капилляр, также постоянен. Если S0

-площадь поперечного сечения цилиндра Ц,			h - разность уровней
установившегося перемещения поршня за время t, то
Q =	S0 h	.	(11)
	t

Тогда с учетом (10), (11) и (9) средняя длина свободного пробега λ может быть определена по формуле:

λ =

3π3/ 2

ρ

g

RT

r4

lt

,

(12)

0

0

p0

M

16 2

S0 L

h

где Т-температура воздуха, p0 - атмосферное давление, М = 0,029 кг/моль – молярная масса воздуха.

Эффективный диаметр молекул вычисляется из выражения (1):

		d =			1			.
				p0	2πλn
	Отсюда, если учесть, что n =				, где k=1,38 10−23				Дж/град – по-
				kT
	стоянная Больцмана, получим:
	d =	kT				.			(13)
		2π p			λ
		0
	В условиях практикума T ≈ 300						К, p =1,01 105 Па, следова-
							0

9

тельно, из выражений (12) и (13) находим:

	λ =	21,3		r4			lt	(м),	(14)
				0
				S0 L			h
	d =		9,6 10−14				(м).		(15)
				λ

Напомним, что в этих формулах r0 - радиус капилляра, L- длина капилляра, S0 -площадь поперечного сечения цилиндра, за-

сасывающего воздух, l- разность уровней воды в манометре, h- установившееся перемещение поршня за время t.

Порядок выполнения работы

1.Ознакомиться с установкой и описанием работы. Получить у лаборанта необходимые принадлежности.

2.Открыть кран Кр1 (см. рис.2). Установить поршень П в крайнее верхнее положение. Закрыть кран Кр1 и открыть кран Кр2, соединяющий капилляр с водяным U-образным манометром.

3.Установить на подставку Пс груз Р

4.При начавшемся перемещении вниз подставки с грузом наблюдать за показаниями манометра. Когда разность уровней l жидкости в манометре перестанет изменяться:

a.Измерить разность уровней l воды в манометре;

b.По шкале Ш определить начальное положение h1 под-

ставки с грузом и включить секундомер;

c. Когдапоршеньпереместитьсянарасстояние h около10 см, остановить секундомер, отметить конечное положение груза h2 .

5.Записать в таблицу разность уровней l воды в манометре, перемещение поршня h = h2 −h1 и время движения поршня t.

6.Измерения повторить 5 раз, руководствуясь п.п. 2, 3, 4.

Обработка результатов измерений

1.Рассчитать среднюю длину свободного пробега λ по формуле

(14).

2.Рассчитатьэффективныйдиаметрмолекулпоформуле (15).

10

3.Определить погрешности измерения величин λ и d.

4.Записать результаты в виде:

λ= λср ± λ

d = dср ± d