Лабораторные работы по физике-во

2

Описание аппаратуры и метода измерений

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной оси OO′(рис. 1). Разобьем его на элементарные массы mк(масса тела m = ∑ mк ), которые можно считать ма-

к

териальными точками. Расстояние каждой из них от оси вращения обозначим буквой Rк. Моментом инерции Iк материальной точки mкотносительно данной оси называется произведение ее

массы на квадрат расстояния от оси вращения:

I	к	=	m R2.	(1)
			к к

Рис. 1

Величина I, равная сумме Iк произведений элементарных масс на квадраты их расстояний от некоторой оси, называется моментом инерции тела относительно данной оси:

I = ∑Iк = ∑ mкRк2.	(2)
к к

Суммирование производится по всем элементарным массам mк, на которые можно разбить тело. Из определения I видно,

что момент инерции есть величина аддитивная. Это означает, что момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Элементарная масса mк равна произведению плотности тела

ρк в данной точке на соответствующий элементарный объем Vк:

mк = ρк Vк.

Следовательно, момент инерции можно представить в виде:

3

I = ∑ρкRк2 Vк.	(3)
к

Если плотность тела постоянна, ее можно вынести за знак суммы:

	I = ρ∑Rк2	Vк.	(4)
	к
Соотношения (2), (3), (4) являются приближенными, причем,
тем более точными, чем меньше элементарные объемы			Vк и соот-
ветствующие им элементарные массы		mк . Следовательно, задача
нахождения моментов инерции сводится к интегрированию:
I = ∫R2dm = ∫ρR2dV.			(5)
V	V

Интегралы в (5) берутся по всему объему тела. Величины ρ и R в этих интегралах являются функциями точки, т.е., например, в декартовых координат x, y и z.

Таким образом, нахождение моментов инерции тел сложной формы по формулам (5) является непростой задачей. В таких случаях большую роль приобретают экспериментальные методы определения этой величины.

Схема установки, используемой в настоящей работе для определения момента инерции I1 маховика 1, показана на рис. 2. Тело 1 массы М может вращаться вокруг неподвижной оси O, проходящей через его центр масс.

Рис.2

4

r Действующие на тело 1 сила тяжести Mg и сила реакции оси

N вращательного момента относительно оси O не создают, и тело находится в состоянии безразличного равновесия. Закрепим на расстоянии R от оси вращения небольшое тело 2 массы m. Тогда у системы тел 1 и 2 появится устойчивое положение равновесия (ϕ = 0, см. рис. 1), при выходе из которого система будет совершать колебания под действием момента силы тяжести mg . Найдем частоту

этих колебаний.

Пусть система отклонилась на небольшой угол ϕ от положения равновесия. Уравнение движения системы тел 1 и 2 относительно оси O в этом случае запишется в виде:

−mgR sinϕ = (I1	+ I2 )ϕ,	(6)
	&&

где I1 и I2 - моменты инерции, соответственно, тел 1 и 2 относительно оси O. Размеры тела 2 на порядок меньше расстояния R, поэтому его можно считать материальной точкой и вычислять его момент инерции I2 по формуле (1):

I2 = mR2.

Знак (-) в уравнении (6) перед вращательным моментом появился потому, что вектор момента направлен противоположно

вектору ϕr 1. Если угол ϕ достаточно мал, то справедливо приближенное равенство

sinϕ ≈ ϕ.

Тогда уравнение (6) перепишется в виде:

&&	mgR			ϕ = 0
	I	+ I
ϕ +			2
	1
или
&&		2			(7)
ϕ +ω ϕ = 0,

где введено обозначение

1 При малых углах отклонения можно рассматривать ϕ как вектор, связанный с направлением поворота правилом «правого винта».

5

ω2 =		mgR			.	(8)
	I
			+ I	2
	1

Мы получили уравнение гармонических колебаний (7), решением которого будет функция:

ϕ = Acos(ω t +α),

где А – амплитуда колебаний (зависит от начальных условий), ω - частота колебаний, α – начальная фаза колебаний.

Итак, при малых колебаниях угловое отклонение системы тел 1 и 2 изменяется со временем по гармоническому закону. Измерив на опыте период колебаний T (T = 2πω) системы тел 1 и 2

и зная константы m, g, R, можно найти неизвестный момент инерции I1. Действительно, из формулы (8) получаем

I =	mgRT 2	−mR2.	(9)
1	4π2

Можно убедиться в том, что, рассматривая систему тел 1 и 2 как физический маятник, подвешенный на расстоянии OO1 = (mmR+ M ) от

его центрамасс O1 (см. рис. 2), мыполучим формулу (8) для частоты колебаний и, соответственно, формулу (9) для вычисления момента инерцииI1 тела1.

Порядок выполнения работы

1.Укрепить небольшой магнит на ободе маховика и измерить расстояние от центра масс маховика до центра масс магнита.

2.Измерить не менее пяти раз время t 3÷5 полных колебаний маховика с магнитом. Результаты измерений занести в таблицу.

3.Повторить измерения п.п. 1, 2, изменив условия эксперимента (например, закрепив тот же магнит на другом расстоянии от оси, либо использовав магнит другой массы).

6

Таблица 1

Масса			t, c				tср, с	Тср, с	Icp,	2
									кг м
магнита, г
	1	2		3	4	5
m1=
m2=

Обработка результатов измерений

1.Найти средний период колебаний маховика с магнитом по формуле

Tср. = tсрn. ,

где n – число колебаний.

2.Вычислить среднее значение момента инерции I1ср. маховика по формуле (9). При расчетах ускорение свободного падения g

принять равным g=(9,81±0,05)м/c2.

3.Рассчитать относительную погрешность E измерения момента инерции по формуле:

I

m

g

π

2 T

mR2

R

E =

1

=

+

+

+

+ 1

−

.

m

g

π

T

I

R

I

1

1

Учитывая, что mR2I1 <<1, можно воспользоваться приближенной формулой:

E = mm + gg + ππ + 2 T T + RR . 4. Найти абсолютную погрешность измерения

	I1 = I1 E
и записать числовой результат в виде:
I = (I		± I )кг м2 .
1	1ср.	1

5.Сравнить значения моментов инерции маховика, полученные в опытах с магнитами разных масс (либо с магнитами, закрепленными на разных расстояниях от оси), и убедиться в том, что в пределах ошибок измерений они совпадают друг с другом.

Лабораторная работа 1.48. ИЗУЧЕНИЕ ФИЗИЧЕСКОГО МАЯТНИКА И

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ

А.П. Воробьев, А.В. Маковкин

Цель работы: изучить закономерности движения физического маятника.

Задание: измерить период колебаний физического маятника в зависимости от положения его центра инерции относительно точки подвеса и на основе полученных данных определить ускорение свободного падения.

Подготовка к выполнению работы: изучить понятие физи-

ческого маятника, вывод формулы для периода его колебаний, изучить понятие момента инерции и теорему Штейнера, ознакомиться с описанием установки и метода измерений.

Библиографический список

1.Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, 1982, т.1, §§ 46, 49, 50, 53, 54.

Контрольные вопросы

1.Что называют гармоническим колебанием? Что называют амплитудой, периодом, частотой, фазой колебаний?

2.Что называют математическим маятником?

3.Что называют физическим маятником?

4.Что такое приведенная длина физического маятника?

5.Получите формулу для приведенной длины физического маятника, используемого в работе. Чему равна минимальная приведенная длина этого маятника?

6.Нарисуйте примерный график зависимости периода колеба-

ний физического маятника Тф от a. При каком a этот период минимален?

7.Сформулируйте теорему Штейнера.

8.Как связаны ускорение свободного падения g , масса M и радиус R Земли?

9.Почему измеряемое ускорение g зависит от широты места и

2

от высоты над уровнем моря?

10.Расскажите порядок выполнения работы.

11.Почему отклонения маятника от положения равновесия в данной работе не должны превышать 5-7˚? Что изменится, если они будут порядка 50-60˚?

Описание аппаратуры и метода измерений

На рис. 1 схематически изображен физический маятник, совершающий малые колебания в гравитационном поле Земли относительно оси, проходящей через точку подвеса О. Как известно, период колебаний физического маятника Тф определяется по формуле

	Тф = 2π	I	,	(1)
		mga

где I - момент инерции маятника относительно оси подвеса; m - масса маятника; a - расстояние между осью вращения и центром инерции C маятника; g - ускорение свободного падения.

Рис. 1

Сравнивая этот период с периодом малых колебаний математического маятника

Тм= 2π gl ,

можно заключить, что математический маятник с длиной

	3
	l =lпр=	I	(2)
		ma

будет иметь такой же период колебаний, как и данный физический маятник. Величину lпр называют приведенной длиной физического маятника.

По теореме Штейнера момент инерции I может быть представлен в виде

I=I0+ma2,

(3)

где I0 –момент инерции относительно оси, параллельной оси вращения и проходящей через центр инерции физического маятника.

	С учетом (3) для lпр получим
	lпр =	I0		+ a ,	(4)
		ma

Из (1), (2) и (4) следует, что период колебаний физического маятника зависит от a, причем при некотором a имеет минимальное значение.

Решая квадратное уравнение (4) относительно a , получим:

a =	lnp	±	lnp	2	−	I	0	,	(5)
1,2	2		4			m

т.е. одна и та же приведенная длина lпр a , следовательно, и период колебаний Тф могут быть получены при двух разных положениях оси подвеса. При этом

a + a	2	= l	np	,	a a	2	=	I0	,	(6)
1					1			m

Физическим маятником в данной работе служит отрезок стальной трубы длиной L около метра, который в пределах точности измерений его длины можно считать тонким однородным стержнем с моментом инерции I0=(1/12)mL2 .Труба опирается с помощью скользящей по ней муфты, масса которой значительно меньше массы трубы, на призмы кронштейна, укрепленного в стене. Маятник может совершать колебания относительно оси O, проходящей через ребра опорных призм. Трение в оси мало и позволяет без заметного затухания наблюдать более ста колебаний. При наличии экспериментально полученной зависимости Тф от а можно для каждого значения Тф найти такие а1 и а2 , что

4

Тф(а1)=Тф(а2), и в соответствии с (1), (2), (6) рассчитать ускорение свободного падения по следующей формуле:

g = 4π2T −2	(a + a )	(7)
ф	1 2

Порядок выполнения работы

1.Знакомятся с установкой и описанием работы. Получают у лаборанта необходимые принадлежности.

2.Измеряют линейкой длину трубы L. Записывают данные в отчет.

3.Закрепляют муфту в некотором положении у края трубы. Измеряют линейкой расстояние a между серединой трубы и линией опоры муфты ( осью О). Результаты заносят в таблицу.

4.Устанавливают маятник так, чтобы вырезы разместились симметрично на призмах кронштейна.

5.Отклоняют стержень от вертикали не более, чем на 5-7˚ и отпускают. Измеряют время t для N=10 - 20 полных колебаний маятника и заносят данные в таблицу. Повторяют опыт не менее 3-х раз.

6.Повторяют опыт в пп. 3 - 5 еще 8 - 10 раз, равномерно смещая муфту к центру тяжести маятника. При этом а достаточно изменять в пределах от 15 до 45 см.

Обработка результатов измерений

Результаты измерений должны быть оформлены в виде таблицы:

				tср	Таблица 1
a		№	T		Тф
1		2	3	4	5
	1		t1
	2		t2
а1	3		t3	tср1	Тф1
	.		.
	.		.