3.7. Резюме по теме.

Зависимость между большинством экономических переменных не является строго функциональной из-за воздействия случайных незначительных факторов, и каждому значению одной переменной соответствует множество возможных значений другой переменной. Поэтому исследователи рассматривают зависимость между значениями одной переменной и условным математическим ожиданием другой. Такая зависимость называется корреляционной или регрессионной. Зависимость условного математического ожидания СВ Y от X называется модельным уравнением регрессии. Эта регрессия строится по генеральной совокупности. Но обычно исследователи имеют дело лишь с конечной выборкой ограниченного объема, поэтому вместо модельного уравнения регрессии используют выборочное уравнение регрессии, характеризующее зависимость выборочного условного среднего  от х. Параметры спецификации выборочной регрессии являются оценками соответственных параметров спецификации модельной регрессии. В общем случае не известны ни точный вид функции, ни значения параметров спецификации.

3.8. Вопросы для повторения

1.          Что такое условное математическое ожидание?

2.          Какая зависимость называется корреляционной или регрессионной?

3.          Что такое объясняющая переменная?

4.          Что такое объясняемая переменная?

5.          Какое уравнение называется модельным уравнением регрессии?

6.          Какое уравнение называется выборочным уравнением регрессии?

7.          Какая модель наблюдения соответствует модельному уравнению регрессии?

8.          Какая модель наблюдения соответствует выборочному уравнению регрессии?

9.          Что такое величины _i?

10.       Что такое невязки, остатки?

11.       Задачи регрессионного анализа?

12.       Что такое парная линейная регрессия?

13.       Что такое принцип наименьших квадратов?

14.       Что такое метод наименьших квадратов (МНК)?

15.       Применение МНК для вычисления коэффициентов парной линейной регрессии?

16.       Нормальные уравнения для вычисления коэффициентов парной линейной регрессии?

17.       Что такое гомоскедастичность остатков?

18.       Что такое гетероскедастичность остатков?

19.       Для чего используется статистика Дарбина-Уотсона?

4. Анализ временных рядов

Цели и задачи изучения темы:

Формирование представления о временных рядах, о методах анализа и прогнозирования временных рядов, о методах сглаживания временных рядов, о стационарных временных рядах.

4.1. Общие понятия

В отличие от анализа случайных выборок, анализ временных рядов основывается на предположении, что последовательные значения в файле данных наблюдаются через равные промежутки времени (тогда как в других методах привязка наблюдений во времени может быть не важна и не интересна).

Существует две основных цели анализа временных рядов: определение природы ряда и прогнозирование (предсказание будущих значений временного ряда по настоящим и прошлым значениям). Обе эти задачи требуют, чтобы модель ряда была идентифицирована и, более или менее, формально описана. Как только модель определена, можно с ее помощью интерпретировать рассматриваемые данные, экстраполировать ряд на основе найденной модели, т.е. предсказать его будущие значения.

Пусть . Рассмотрим временной ряд X(t). Анализ временных рядов предполагает, что данные содержат систематическую составляющую (обычно включающую несколько компонент) и случайный шум (ошибку), который затрудняет обнаружение регулярных компонент. Большинство методов исследования временных рядов включает различные способы фильтрации шума, позволяющие увидеть регулярную составляющую более отчетливо. Обычно в поведении временного ряда выявляют две основные тенденции – тренд и периодические колебания.

При этом под трендом понимают зависимость от времени линейного, квадратичного или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания (например, экспоненциального сглаживания), либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов. Другими словами, тренд – это очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.

Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда, причем отклонения от тренда часто обнаруживают правильность. Часто это связано с естественной или назначенной периодичностью, например, сезонной или недельной, месячной или квартальной (например, в соответствии с графиками выплаты зарплаты и уплаты налогов). Иногда наличие периодичности и тем более ее причины неясны, и задача эконометрики – выяснить, действительно ли имеется периодичность.

Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд X(t) рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем). Основными характеристиками являются:

Математическое ожидание X(t), т.е.

a(t)=MX(t)

Дисперсия X(t), т.е.

σ²=DX(t)

и автокорреляционная функция временного ряда

,

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда X(t) и X(s).

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. В стационарных моделях совместные функции распределения F(t₁, t₂, …, t_k) для любого числа моментов времени k, а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем. В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.