- •1. Эконометрическая модель и проблемы эконометрического моделирования
- •1.1. Общие понятия
- •1.2. Экономическая модель
- •1.3. Эконометрическая модель
- •1.4. Элементы эконометрической модели и их свойства
- •1.5. Задачи эконометрики
- •1.6. Эконометрика и её место в ряду математических и экономических дисциплин
- •1.7. Резюме по теме.
- •1.8. Вопросы для повторения
- •2. Элементы теории вероятностей и математической статистики
- •2.1. Дискретные, непрерывные случайные величины
- •2.2. Зависимые случайные величины
- •2.3. Понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности)
- •2.4. Оценки параметров генеральной совокупности. Несмещённость и состоятельность оценок
- •2.5. Резюме по теме
- •2.6. Вопросы для повторения
- •3. Модели и методы регрессионного анализа
- •3.1. Основные понятия регрессионного анализа
- •3.2. Линейная парная регрессия
- •3.2.1. Определения
- •3.2.2. Принцип, метод наименьших квадратов
- •3.2.3. Свойства оценок параметров парной линейной регрессии
- •3.2.4. Анализ статистической значимости коэффициентов линейной регрессии
- •3.3. Нелинейная регрессия
- •3.4. Характеристики парной регрессии
- •3.5. Множественная регрессия
- •3.6. Гомо- и гетероскедастичность остатков
- •Методы определения гетероскедастичности
- •Тест ранговой корреляции Спирмена
- •3.7. Резюме по теме.
- •3.8. Вопросы для повторения
- •4. Анализ временных рядов
- •4.1. Общие понятия
- •4.2. Понятие временного ряда
- •4.3. Основные понятия и модели анализа временных рядов
- •4.4. Трендовые модели генерации значений временного ряда.
- •4.5. Фильтрация и сглаживание временного ряда
- •4.5.1. Медианная фильтрация (сглаживание)
- •Проверка гипотезы о наличии тренда во временном ряде
- •4.6. Методы сглаживания временного ряда
- •4.6.1. Общие понятия
- •4.6.2. Аналитические методы
- •4.6.3. Метод скользящего среднего
- •4.6.4. Метод экспоненциально взвешенного скользящего среднего (метод Брауна)
- •4.7. Стационарные временные ряды
- •4.7.1. Основные понятия
- •4.7.2. Корреляционная функция
- •4.7.3. Использование автокорреляции для выявления структуры временного ряда
- •4.8. Модели авторегрессии стационарных временных рядов и их идентификация
- •4.8.1. Основные понятия
- •4.8.2. Модель авторегрессии 1-го порядка
- •4.8.3. Модель авторегрессии второго порядка
- •4.8.4. Оценивание параметров моделей авторегрессии. Метод инструментальных переменных.
- •4.9. Моделирование сезонных и циклических колебаний
- •4.9.1. Расчет сезонной компоненты и построение модели временного ряда
- •4.9.2. Использование сезонных фиктивных компонент при моделировании сезонных колебаний
- •4.10. Специфика изучения взаимосвязей по временным рядам. Исключение сезонных колебаний. Исключение тенденции.
- •4.10.1. Метод отклонений от тренда
- •4.10.2. Метод последовательных разностей
- •4.11. Резюме по теме.
- •4.12. Вопросы для повторения
- •5. Системы одновременных уравнений
- •5.1. Модель спроса и предложения
- •5.2. Структурная и приведённая форма системы
- •5.3. Идентифицируемость систем одновременных уравнений
- •5.4. Резюме по теме.
- •5.5. Вопросы для повторения
- •Задачник
- •Примеры решения типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Варианты задач
- •Нелинейные модели регрессии и их линеаризация
- •Решение типовых задач
- •Задачи для самостоятельного решения.
- •Варианты задач
- •Решение типовых задач.
- •Постановка задачи
- •Варианты для самостоятельного решения.
3.4. Характеристики парной регрессии
Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент корреляции rxy для линейной регрессии
и индекс корреляции ху для нелинейной регрессии.
.
Средний коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов в среднем изменится результат у от своей средней величины при изменении фактора х на 1% от своего среднего значения:
.
Показатели дисперсии
;
где
общая дисперсия результативного признака;
сумма квадратов отклонений от линии регрессии, обусловленная регрессией, «объяснённая» или «факторная» дисперсия;
остаточная сумма квадратов отклонений.
Доля дисперсии, объясняемая моделью регрессии, в общей дисперсии результативного признака y характеризует коэффициент детерминации R2:
.
Коэффициент детерминации это квадрат коэффициента или индекса корреляции.
F-тест оценивание качества уравнения регрессии состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из отношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:
,
где
n объём выборочной совокупности,
m число параметров при переменной х.
Fтабл это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости . Уровень значимости это вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно принимается равным 0,05 или 0,01.
Если Fтабл < Fфакт , то Н0 гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признаётся их статистическая значимость и надёжность. Если Fтабл > Fфакт , то Н0 не отклоняется и признаётся статистическая незначимость, ненадёжность модели регрессии.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза Н0 о случайной природе показателей, то есть незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t-критерия Стьюдента проводится сопоставлением их значений с величиной случайной ошибки:
Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:
;
,
.
Сравнивая фактическое и критическое(табличное) значения t-статистики tтабл и tфакт принимаем или отвергаем гипотезу Н0.
Если tтабл < tфакт, то Н0 отклоняется, т.е. a, b, rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт , то Н0 не отклоняется и признаётся случайная природа формирования a, b, r.
Для расчёта доверительных интервалов определяются предельные ошибки каждого показателя:
a = tтаблma, b = tтаблmb.
Доверительные интервалы
a tтаблma < a < a + tтаблma, b tтаблmb < b < b + tтаблmb.
3.5. Множественная регрессия
Множественная регрессия уравнение связи с несколькими независимыми переменными:
y = f(x1, x2,..., xp).
Для построения модели множественной регрессии используются следующие функции:
- линейная y = a + b1x1 + b2x2 + ... + bpxp + ;
- степенная y = ax1b1x2b2 ...xpbp;
- экспоненциальная y = exp(a + b1x1 + b2x2 + ... + bpxp + );
- гипербола .
Последние три функции легко линеаризуются модификацией переменных.
Для оценки параметров линейной регрессии также используется метод наименьших квадратов.
Расчётные формулы для этих параметров
,
где определитель системы нормальных уравнений
a, b1, b2,..., bp частные определители, которые получаются заменой соответствующего столбца определителя системы на столбец правых частей
Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии рассчитываются по формуле
.
Для линейной модели регрессии тесноту совместного влияния факторов на результат оценивает коэффициент множественной корреляции
,
r определитель матрицы парных коэффициентов корреляции, r11 определитель матрицы межфакторной корреляции
Коэффициент множественной детерминации рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции
R2 = R2yx1x2...xp
Значимость уравнения множественной регрессии в целом оценивается с помощью F-критерия Фишера:
.