2.3. Понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности)

В основе математической статистики лежат понятия генеральной совокупности и выборки (выборочной совокупности).

Под генеральной совокупностью мы подразумеваем все возможные наблюдения интересующего нас показателя, все исходы случайного испытания или всю совокупность реализаций случайной величины X. Пример генеральной совокупности - данные о доходах всех жителей какой-либо страны, о результатах голосования населения по какому-либо вопросу и т.д. Однако в большинстве случаев мы имеем дело только с частью возможных наблюдений, взятых из генеральной совокупности, и называем это множество (точнее подмножество) значений выборкой. Таким образом, выборка - это множество наблюдений, составляющих лишь часть генеральной совокупности. Выборка объема п - это результат наблюдения случайной величины в вероятностном эксперименте, который повторяется п раз в одних и тех же условиях (которые могут контролироваться), а следовательно, и при неизменном распределении случайной величины X. Процесс, который приводит к получению выборочных данных, называют выборочным исследованием.

Мы обычно говорим о генеральной совокупности, когда используем определенные теоретические модели, но на практике в нашем распоряжении имеются лишь выборочные данные, и поэтому мы можем строить оценки теоретических характеристик, основываясь лишь на данных выборочных наблюдений. Целью математической статистики является получение выводов о параметрах, виде распределения и других свойствах случайных величин (генеральной совокупности) по конечной совокупности наблюдений - выборке.

Выборку называют репрезентативной (представительной), если она достаточно полно представляет изучаемые признаки и параметры генеральной совокупности.

2.4. Оценки параметров генеральной совокупности. Несмещённость и состоятельность оценок

Изучение всей генеральной совокупности во многих случаях либо невозможно, либо нецелесообразно в виду больших материальных затрат, уничтожения или порчи исследуемых объектов. Например, анализ среднего дохода населения Белгорода формально предполагает наличие достоверной информации о каждом жителе города в конкретный момент времени. Получение такой информации просто невозможно. Проверка качества обуви связана с воздействием на нее различных экстремальных факторов: растяжения, сжатия, влажности, температуры, солнечных лучей, химического воздействия, что приводит к потере товарного вида исследуемой обуви. Поэтому на практике вся генеральная совокупность практически никогда не анализируется. Для осуществления выводов о генеральной совокупности чаще всего используется выборка ограниченного объема. В силу этого задача математической статистики состоит в исследовании свойств выборки и обобщения этих свойств на генеральную совокупность. Полученный при этом вывод называется статистическим.

Информация о генеральной совокупности, полученная на основании выборочного наблюдения, обычно обладает некоторой погрешностью, так как она основывается на изучении только части элементов выборки. Так, вряд ли средний доход и разброс в доходах, полученные по выборке объема n=1000, будут в точности такие же, что и аналогичные показатели, рассчитанные на основании данных обо всех жителях города. Это определяет две проблемы, составляющие содержание математической теории выборки:

           Как организовать выборочное наблюдение, чтобы полученная информация достаточно полно отражала пропорции генеральной совокупности (проблема репрезентативности выборки);

           Как использовать результаты выборки для суждения по ним с наибольшей надежностью о свойствах и параметрах генеральной совокупности (проблема оценки).