7. Распределения Пуассона, Эрланга и временные зависимости показателей надёжности для законов распределения наработки на отказ, характерных для участка приработки и участка постепенных износовых отказов

   1. Распределение Пуассона

Распределение Пуассона, которым описывают поведение дискретных случайных величин, применимо для оценки надёжности ремонтируемых изделий с простейшим потоком отказов, называемым стационарным пуассоновским потоком. Простейшие потоки это потоки, обладающие свойствами ординарности, стационарности и отсутствия последствия. Ординарность потока означает, что вероятность появления двух и более событий в один и тот же момент равна нулю. Стационарность потока означает, что вероятность попадания любых событий в промежуток от времени t до времени t + ∆t не зависит от t, а зависит только от длины участка ∆t. Отсутствие последствия заключается в том, что для двух отрезков времени ∆t₁ и ∆t₂ число событий, попадающих в один из них, не зависит от числа событий, попадающих в другой.

Случайная величина t распределена по закону Пуассо­на, если вероятность того, что она примет определенное значение К на отрезке[0 .. t] выражается формулой [3]:

Ρ_К(К,t)= (а^К / К!) ехр(-а), (3.58)

где а - параметр закона Пуассона (математическое ожидание случайной величи­ны t).

Дисперсия случайной величины t, распределенной по закону Пуас­сона, равна ее математическому ожиданию:

D_t = a. (3.59)

Вид распределения Пуассона при различных значениях а показан на рисунке 3.4, а. Интервалы времени между отказами в пуассоновском потоке отказов взаимозависимы и распределены по экспоненциаль­ному закону. Среднее число отказов в интервале [0 .. t] для пуассоновского потока

а = λ  t. (3.60)

Параметр пуассоновского потока отказов

ω(t) = λ, (3.61)

то есть совпадает с интенсивностью отказов экспоненциального распределения.

Если время безотказной работы изделия подчиняется экспонен­циальному закону, то поток отказов восстанавливаемого РЭС яв­ляется пуассоновским и вероятность появленияКот­казов на отрезке[0 .. t] определяется формулой Пуассона:

Q(К,t) = [(λ  t)^К /К!] ехр(-λ  t). (3.62)

Если время безотказной работы каждого элемента велико и подчиня­ется экспоненциальному законураспределения, то поток отказов системы, как суммаNпростейших потоков, также является простейшим и имеет суммарную интенсивность

(3.63)

При этом должно выполняться условие, что доля каждого элемента в фор­мировании общего потока отказов мала [3].

2. Нормальное распределение времени безотказной работы при постепенных отказах и учёт влияния этих отказов при расчёте надёжности

Рас­пределение времени безотказной работы до появления постепенного (износового) отказа (на третьем участкерисунка 3.2) в большинстве практических ситуаций, когда все отказы однородны по качеству и имеют малый разброс по времени возникновения, близко к нормальному, то есть хорошо описывает­ся законом Гаусса (рисунок 3.4, б). При отрицательных значениях величины наработки до отказаtплотность распределения наработки до отказаf(t) равна нулю

f (t) = 0, t≤ 0; (3.64)

В этом случае количественные показатели надёжности имеет смысл рассматривать только при усеченном гауссовском распределении, когда плотность распределения наработки до отказа равна [1]

(3.65)

где σ² и Т₀ – соответственно дисперсия и среднее значение (математическое ожидание) случайной величины t, ас - постоянная усеченного нормального распределения, равная

(3.66)

которая находится из условия нормировки

- табулированные значения интеграла вероятности (нормированной функции Лапласа). ТаблицаР_Д(t)= 2Ф(t)(таблица 7.6) приведена в разделе 7;

(3.67)

Нормированная функция Лапласа является нечётной

Ф(-t)= -Ф(t). (3.68)

Вероятность безотказной работы системы определяется по формуле

(3.69)

Интенсивность отказов λ(t), с учётом выражений (3.10), (3.65) и (3.69), определяют по формуле

(3.70)

Среднюю наработку до отказа определяют по формуле [1]

Т_{1стат ус} = Т₀ + σf₁(Т₀ /σ), (3.71)

где f₁(Т₀ /σ) имеет тот же физический смысл, что иf(t) [см. формулу (3.65)].

Непосредственно нормальный закон распределения для расчета показателей безотказности может применяться только в случае, если

Т₀ >>σ. (3.72)

В этом случае постоянная си средняя наработка до отказаТ_1статравны

,Т_1стат = Т₀. (3.73)

Безусловная вероятность отказа изделия на временном интер­вале от t₁доt₂в этом случае равна [4]

(3.74)

Если условие (3.72) не выполняется, то нормальная плотность распределения (3.65) не является односторонней, т.е. она отлична от нуля и при t< 0. ПриТ_1стат>>σэтот недостаток практически не сказывается, так как в этом случае частью кривой распределения приt< 0 можно пренебречь. Однако если условие (3.72) не выполняется, то использование нормального распределения может привести к заметным погрешностям. Поэтому на практике используют усеченное нормальное распределение (рисунок 3.4, в). Для этого отсекают часть кривой распределения приt< 0 и вводят с нормирующий множительс, рассчитываемый по формуле (3.66) чтобы сохранить условия нормирования плотности вероятности [4].

Пример 3.1 [1].

Известно, что исследуемая неремонти­руемая РЭС имеет нормальное распределение наработки до отказа с парамет­рами Т₀ = 520 ч и σ = 150 ч. Требуется определить вероятность безотказной рабо­ты РЭС при наработке t = 400 ч и ее интенсивность отказов.

Решение. Из (3.69) следует, что

Значения функций ЛапласаФ(t)=0,5Р_Д(t)находим из таблицы 7.6, приведенной в разделе 7: Φ(0,5657) = 0,2157 и Ф(2,4513) = 0,4929. Знак плюс в числителе P(t) появился потому, что функция Ф(t)нечетная, т.е. Ф(-0,5657) = -0,2157. Из (3.70) следует, что

Рассмотрим в общих чертах учёт влияния постепенных отказов при расчёте надёжности для нормального распределения времени безотказной работы [7].

Пусть случайное изменение значения выходного параметра Ув партии изделий происходит, например, в сторону его уменьшения во времени τ (рисунок 3.4). Полная вероятность безотказной работыP_П(τ) (по внезапным и постепенным отказам) в момент времениτопределяется по формуле

(3.75)

где P(τ) - вероятность безотказной работы системы по внезапным отказам, рассмотренная в разделе 3.2.2; N- число учитываемых выходных параметров системы, изменение которых во времени может привести к её отказу;P_постi(τ) - вероятность безотказной работы системы по постепенным отказам,связанным с выходомi-го выходного параметра за пределы допустимых значений и возникающим из-за деградационных процессов старения и износа. Так как выход параметра изделия за границыαилиβполя считается параметрическим отказом, то вероятностьP_постi(τ) называютпараметрической надёжностью.

Распределение времени пересечения границы поля допуска реализациями случайных функций, представляющих изменения выходных параметров конкретных изделий во времени - кривая У(τ), характеризует параметрическую надёжность данного типа изделия. Параметрическая надёжность определяется плотностью распределенияУ(τ) и представляет собой вероятность того, что время непрерывной работыτ_Р изделия будет больше заданного времениτ_ЗАДпри условии, что выходной параметр останется в пределах поля допуска:

P_{пост i}(τ) = вер(τ_Р >τ_ЗАД ) приβ ≥У_i ≥α. (3.76)

Распределение f(У)выходных параметров изделийУв партии в поле допуска характеризует динамическую точность изделий в рассматриваемый момент временяτ. Поддинамической точностьюD_Упонимают вероятность нахождения параметраУизделия в пределах допуска в момент времениτ

D_У(τ) = вер(β≥ У_i ≥α,τ). (3.77)

Если распределение выходного параметра Уподчиняется усеченному нормальному закону распределения, то динамическая точность определяется выражением:

(3.78)

где У_СР (τ) - среднее значение выходного параметра распределения в момент времениτ;σ_У(τ)- среднеквадратичное отклонение выходного параметра Ув момент времениτ;С_Н- нормирующий множитель, определяемый по аналогии с формулой (3.73) выражением:

С_Н = Ф[У_СР(τ)] /σ_У(τ). (3.79)

Значения У_СР(τ) иσ_У(τ) определяются путем расчета допусков для партии изделий с учетом старения.

На рисунке 3.5видно, что в моменты времениτ₂ иτ₃ имеются отказавшие изделий (заштрихованные площади распределений в соответствующих сеченияхτ₂ иτ₃ случайного процесса). Расчет параметрической надёжности ведется через динамическую точность [7]. Так как и этот расчет, и учёт в нём процессов деградации сложно осуществлять, то обычно ограничиваются расчетом надёжности изделий по внезапным отказам. Если же параметрическую надёжность учитывать всё же необходимо, то её запас можно оценить по результатам граничных испытаний, описанных в разделе 6.7.