2. Критерий согласия χ2 Пирсона

Критерий χ²Пирсона не требует графического построения закона распределения. Достаточно задаться ви­дом функцииF(t), а входящие в нее числовые параметры определя­ются по данным эксперимента. Пусть произошло n отказов и имеется ряд наработокТ₁₁,Т₁₂,Т₁₃, ...,Т_1nустройства. Требуется проверить гипотезу о том, что статистическое распределение наработки устрой­ства согласуется с каким-либо известным законом (нормальным, экспоненциальным и т.д.). Разбиваем ось времениt (0, ∞) наkинтерваловΔt([(0,t₁), (t₁,t₂), ..., (t_κ-2,t_κ-1),( t_κ-1, ∞)]. Рассчи­тываем теоретическую вероятностьР_ίпопадания вί-й интервал при одном опыте с помощью статистически определённых параметров предполагаемого распределения. Подсчитываем числоn_ίстатнаработок, попавших вί-й интер­вал. Затем вычисляется вероятность [4]:

(7.36)

где Δr- мера расхождения; χ² - функция плотности распределения, вычисляе­мая из выражения

. (7.37)

Здесь k = l- число интерва­лов статистического ряда.

(7.38)

где r =к- 1 - число степеней свободы распределения.

По таблице 7.11можно для каждого значенияχ²и числа степеней свободыrнайти вероятность.

Если вероятность ≤ 0,1, то выбранное теоретическое распределение следует считать неудач­ным. В противном случае считают, что взятое теоретическое распределение согласуется с экспе­риментальным и может быть принято.

Схема применения критерия χ²в оценке согласованности теорети­ческого и статистического распределений сводится к следующему:

• определяется χ²по формуле (7.37);

• находится число степеней свободы r = к- 1;

• по r- числу степеней свободы распределения иχ²с помощьютаблицы 7.11определяется вероят­ность;

• если ≤ 0,1, гипотеза отбрасывается как неправдоподобная, при> 0,1 гипотезу можно признать не противоречащей опытным данным.

Таблица 7.21 - Квантили распределения χ2 для числа степеней свободы r и выбранной вероятности

r	Вероятность
	0,990	0,95	0,8	0,3	0,2	0,1	0,05
3	0,115	0,352	1,00	3,67	4,64	6,25	7 81
4 5 6 7 8 9	0,297	0,711	1,65	4,88	5,99	7 78	9,49
5	0,554	1,15	2,34	6,06	7,29	9,24	11,1
6	0,872	1,64	3,07	7,23	8,56	10,6	12,6
7	1,24	2,17	3,82	8,38	9,80	12,0	14,1
8	1,65	2,73	4,59	9,52	11,0	13,4	15,5
9	2,09	3,33	5,38	10,7	12,2	14,7	16,9
10	2,56	3,94	6,18	11,8	13,4	16,0	18,3
12	3,57	5,23	7,81	14,0	15,8	18,5	21,0
15 12	5,23	7,26	10,3	17,3	19,3	22,3	25,0
20	8,26	10,9	14,6	22,8	25,0	28,4	31,4
40 40	22,2	26,5	32,3	44,2	47,3	51,8	55,8
80	53,5	60,4	69,2	86,1	90,4	96,6	101,9
100	70,1	77,9	87,9	106,9	111,7	118,5	124,3

Пример 7.3[4].

По данным об отказах изделия во время эксплуатации получен вариационный ряд времени отказов t_iв часах: 1; 1,5; 2; 2,5; 4; 4,5; 5; 7; 8,5; 9; 9,5; 10; 10,5; 11; 14; 16; 17; 18; 18,5; 19; 20; 21; 24; 28; 32; 34; 35; 38; 39; 43; 44,5; 45; 48; 49; 50; 52; 53; 60; 65; 70; 71; 74; 82; 92; 93; 96; 99; 102; 103; 104; 108; 112; 116; 117; 120; 121; 122; 123; 126; 138; 145; 150; 154; 159; 165; 169; 177; 189; 205; 243; 249; 255; 267; 289; 292; 306; 331; 337; 366; 386. Необходимо проверить согласие данных эксплуатации с гипотезой об экспоненциальном распределении, используя критерийχ²Пирсона.

Решение:

1. Используя вариационный ряд времени отказов, построим статистический ряд с интервалом Δt_i= 50 ч: (таблица 7.12, первая и вторая строки).

2. Находим по исходным данным задачи с помощью формулы (3.22) статистическую оценку средней наработки до отказа Т_1стат

ч.

Таблица 7.22 - Исходные данные и промежуточные вычисления к примеру

N^0стр.	Δtί , ч	0 - 50	50 - 100	100 - 150	150 - 200	200 - 250	250 - 300	300 -350	350 -∞
1
2	nίстат	35	12	15	6	3	4	3	2
3	Рί	0,4	0,23	0,15	0,09	0,05	0,03	0,02	0,03
4	nРί	32	18,4	12	7,2	4	2,4	1,6	2,4
5	(nίстат - nРί)^2	9	42,5	9	1,44	1,0	2,56	1,96	0,16
6	(nίстат - nРί)^2 / nРί	0,28	2,31	0,75	0,2	0,25	1,06	1,25	0,07

3. Строим (рисунок 7.5) теоретическую интегральную функцию распределения времени безотказной работы (зависимость вероятности отказаF(t) от времениt), используя формулу

F(t) = 1 - ехр(-t/Т_1стат) = 1- ехр(-t/ 100).

4. По формуле (7.37) рассчитываем

. (7.37)

При этом величина частости Р_ίберется равной приращению теоретической интегральной функции распределенияF(t) вi-ом интервале (см.рисунок 7.5). Последовательность расчёта отражена в строках 2…6таблицы 7.12. В конечном счете, имеем

χ²= 0,28 + 2,31 + 0,75 + 0,2 + 0,25 + 1,06 + 1,25 + 0,07 = 6,17.

По таблице 7.11приχ²= 6,17 иr = к – 1 = 8 – 1 = 7 находим вероятностьР() ≈ 0,5. Так какР() > 0,1, то гипотезу об экспоненциальном распределении времени безотказной работы можно признать не противоречащей опытным данным.