eltsov-prakt
.pdf4.4. Элементы теории поля |
141 |
По теореме Гаусса-Остроградского потоквекторного поля через поверх-
ность равен |
f, |
|
xzdydz xydxdz yzdxdy divf(x,y, z) dxdydz |
|
dS |
||||
G |
|
|
G |
G |
(x y z) dxdydz.
G
Переходя к цилиндрическим координатам, окончательно получаем
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
81 |
|
|
|
|
|
d |
|
d |
|
( cos sin ) z |
dz |
. |
|
|
||||||
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||
0 |
|
0 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
||||||||
|
4.46. Для функции u 3xy2 |
x2z z3 найти: |
|||||||||||||
|
а) |
координаты вектора grad u в точке M0(2,1, 3); |
|||||||||||||
|
б) |
|
u |
в точке M |
в направлении вектора |
|
(2,1, 2) . |
||||||||
|
|
a |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
4.47. Доказать, что поле f(x,y) 2xy3 2x, 3x2y2 1 T 2xy3 2x i |
||||||||||||||
3x2y2 1 j (P,Q)T |
потенциально и восстановить его потенциал. |
||||||||||||||
|
4.48. Доказать, |
что поле f(x,y) 3x2 y2, 2xy 3y2 T 3x2 y2 i |
2xy 3y2 j (P,Q)T потенциально и восстановить его потенциал.
4.49. Доказать, что поле f(x,y, z) y2z4 2xz, 2xyz4 3y2, 4xy2z3 x2 T
потенциально и восстановить его потенциал.
|
4.50. Вычислить циркуляцию поля f(x,y) (x y, 2x y)T (x y)i |
||
(2x y)j |
|
||
вдоль замкнутой кривой, состоящей из отрезка оси OY и дуги |
|||
|
|
|
|
x |
|
4 y2 |
и пробегаемой против часовой стрелки. |
4.51.Вычислить циркуляциюполя f(x,y,z) (x 3y)i (2x 2)j zk вдоль контура треугольника с вершинами в точках A(3,0,0), B(0, 1,0), C(0,0, 8), пробегаемого в порядке следования точек ABCA.
4.52.Найти циркуляцию поля f(x,y, z) x 2y, xy, ( 2x z) T
(x 2y)i xyj ( 2x z)k вдоль контура, образованного пересечением час-
ти сферы x2 y2 z2 16 , лежащей в множестве x 0, y 0, z 0, с координатными плоскостями, пробегаемого в порядке следования точек
( 4,0,0), (0, 4,0), (0,0,4), ( 4,0,0).
4.53.Найти поток векторного поля f(x,y, z) xyi (x y)j (y z)k
(xy, x y,y z)T через внешнюю сторону поверхности, ограниченной ко-
нусом z x2 y2 и плоскостью z 16.
4.54. Вычислить поток вектора f(x,y,z) x2 2yz2, 2xy x2z, xy z T
через внешнюю сторону пирамиды, образованной координатными плоскостями и плоскостью 2x 3y z 6 .
142
5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
5.1. Уравнения первого порядка
5.1.1. Общие сведения
Предварительно рекомендуется изучить подразд. 5.1 учебного посо-
бия [5].
Дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение вида
F x,y,y 0. |
(5.1) |
Уравнение (5.1) называется уравнением, разрешенным относительно |
|
производной, если его можно записать в виде |
|
y f(x,y) |
(5.2) |
или, что то же самое, в так называемой дифференциальной форме |
|
M(x,y) dx N(x,y) dy 0. |
(5.3) |
Функции f(x,y), M(x,y), N(x,y) предполагаются заданными на некотором множестве D плоскости R2.
Определение. Функция (x), заданная на отрезке или интервале (a,b), называется решением дифференциального уравнения в области D, если при подстановке (x) в уравнение она обращает его в тождество в этой области.
Решить дифференциальное уравнение означает описать всю совокупность его решений. Процесс нахождения решений дифференциального уравнения, как и любого другого уравнения, состоит в преобразовании его к такому виду, из которого это решение легко находится. При этом два уравнения F1 x,y,y 0 и F2 x,y,y 0 назовем эквивалентными в области D, если решения одного из них являются решениями другого. Идеальным было бы при нахождении решения осуществлять переход к эквивалентным уравнениям. Это не всегда удается. Поэтому в процессе преобразований мы должны следить, чтобы не терять решений и не приобретать новых.
Большинство методов решений дифференциальных уравнений заклю-
чается в сведении их к уравнению вида |
|
f1(x) dx f2(y) dy, |
(5.4) |
которое очень просто решается. Действительно, если y(x) есть решение этого уравнения, то в силу инвариантности формы первого дифференциала
можем записать f1(x)dx f2(y)dy . Равенство подразумевает, что мно-
жество всех первообразных в левой части равно множеству всех первообразных в правой части. Если 1(x) — какая-нибудь первообразная левой
5.1. Уравнения первого порядка |
143 |
части, а 2(y) — правой части, то последнее соотношение можно переписать ввиде равенства 1(x) 2(y) C, разрешая котороеотносительно y, получаем всю совокупность решений уравнения (5.4).
Множество решений дифференциального уравнения y f(x,y) есть некоторое семейство функций, зависящее от константы. Для уравнения первого порядка требования, при выполнении которых можно выделить конкретное решение этого уравнения, формулируются следующим образом.
Найти решения дифференциального уравнения y f(x,y), удовлетворяющие условиям
y x0 y0 . |
(5.5) |
Сформулированные условия называются условиями Коши, а задача о выделении решения, удовлетворяющего условиям Коши, — задачей Коши.
Условия разрешимости задачи Коши приведены в теореме существования и единственности [5]. Приведем эту теорему с легче проверяемыми,
но более жесткими, чем в [5] условиями на функцию f(x,y) .
Теорема (существования и единственности). Пусть в уравнении
(5.2) y f(x,y) функция f(x,y), заданная в области D на плоскости,
непрерывна по совокупности переменных x, y и имеет непрерывную производную по y. Тогда для любой точки x0,y0 D существуют интервал x0 , x0 и функция y (x) , заданная на этом интер-
вале так, что y (x) есть решение уравнения (5.2), удовлетворяю-
щее условию (5.5). Это решение единственно в том смысле, что если y (x) есть решение уравнения (5.2), определенное на интервале
( , ) , включающемв себя точку x0, и удовлетворяющееусловию (5.5),
то функции (x) и (x) совпадают там, где они обе определены.
Привыполнении этихусловий через точку x0,y0 D проходиттолько
одно решение уравнения (5.1). Если условия теоремы нарушаются в некоторой точке, то через нее может проходить больше чем одно решение (нарушается единственность) либо не проходить ни одного решения (нарушается существование).
Определение. Семейство y (x,C) решений дифференциально-
го уравнения (5.3) назовем его общим решением, если для любого на-
бора начальных данных x0,y0 D найдется константа C , на кото-
рой этот набор реализуется, то есть такая, что для решения y x,C
выполнены начальные условия y0 x0,C .
144 |
5. Дифференциальные уравнения |
5.1.2. Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y f1(x) f2 (y) |
|
|
(5.6) |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1(x)M2(y)dx N1(x)N2 (y)dy 0 |
(5.7) |
||||||||
называются уравнениями |
с разделяющимися переменными. |
|
|||||||
При f2(y) 0 для y [c,d], разделив обе части (5.6) на f2(y), полу- |
|||||||||
чаем уравнение вида (5.4) |
|
dy |
|
f (x)dx, решать которое мы умеем. |
|||||
|
|
f2 (y) |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аналогично для уравнения (5.7), если M2(y) 0, N1(x) 0 |
x [a,b], |
||||||||
y [c,d], получаем уравнение вида (5.4) |
N2(y) |
dy |
M1(x) |
dx . |
|||||
|
N1(x) |
||||||||
|
|
|
|
|
M2(y) |
|
|
||
Заметим, что если f2 y0 0 |
или M2 y0 0, N1 x0 0, то мы долж- |
||||||||
ны проверить, являются ли функции y y0, x x0 |
решениями исходного |
дифференциального уравнения, чтобы не потерять их в процессе нахождения решения.
|
|
|
Уравнение y f(ax by c) |
сводится к уравнению с разделяющими- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ся переменными либо заменой z ax by c, |
либо заменой z ax by. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5.1. Решить уравнение y e2x 3y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Имеем y e2xe3y, откуда |
|
|
e 3ydy e2xdx или, интегрируя обе части, |
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
e |
3y |
|
1 |
e |
2x |
C и, наконец, |
|
|
|
|
1 |
|
|
3 |
|
2x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
ln |
|
|
e |
|
C . |
||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
5.2. Решить уравнение xydx x2 9 dy 0 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В предположении, что y x2 9 0 , |
получаем |
dy |
|
x dx |
или, интег- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 9 |
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
рируя, ln |
|
y |
|
|
ln |
|
x2 9 |
|
ln |
|
C |
|
, |
отсюда y C |
x2 9 . Решение y 0 полу- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
чается при C 0, а решения x = 9 не содержатся в нем. Таким образом,
решение уравнения y Cx2 9, x 9.
5.3. Решить уравнение e3x 10 dy ye3xdx.
В предположении, что y 0, получаем |
dy |
|
e3x dx |
|
|
|
или, интегрируя, |
||
y |
|
|||
|
|
e3x 10 |
ln y 13 ln e3x 10 ln C , отсюда y C 3e3x 10 . Решение y 0 получа-
ется при C 0.
5.1. Уравнения первого порядка |
145 |
5.4. Решить уравнение y (9x 4y 5)2.
Делаем замену z 9x 4y 5. Тогда z 9 4y и, подставляя в исход-
ноеуравнение, получаем z 4z2 9 или, разделяя переменные, |
dz |
dx . |
2 |
||
|
4z 9 |
Интегрируя последнее, имеем arctg 2z 6x C или z 3 tg (6x C). Делая
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
||
обратную замену, |
получаем 9x 4y 5 |
3 |
tg (6x C) или, разрешая отно- |
||||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
сительно y, y |
1 |
|
|
3 |
tg (6x C) 9x |
5 |
|
||
|
|
|
|
. |
|||||
4 |
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения
5.5. x3 y2 1 dx 1 x4 dy |
0 . 5.6. x2 2 y x tg y . |
|||||
5.7. (x 5)dy (y 1)xdx 0. |
5.8. (x 3)ydy (y 2)dx 0. |
|||||
5.9. x3 9 sin yy x2 cos y . |
5.10. x2 1 y2 dx y 2 x3 dy. |
|||||
5.11. e2x 5 y2dy 1 y3 e2xdx 0 . |
5.12. y |
2y 5 |
. |
|||
|
||||||
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
5.13. x3y y2 0. |
5.14. (3 ln y)yxdx x2 2 dy 0 . |
|||||
|
|
|
|
y 1 x6 . |
||
5.15. y tg x y 2. |
5.16. 3x2 |
|
9 y2 |
5.17.3y 2 2x 3y 4 . 5.18. 3y 5 (5x 3y 7)3 .
5.1.3.Однородные уравнения
Функция F x1, x2,...,xn называется однородной степени k, если для нее выполнено соотношение F tx1,tx2,...,txn tkF x1, x2,...,xn .
Дифференциальноеуравнение y f(x,y) называется однородным,
если f(x,y) — однородная функция нулевой степени, то есть f(tx,ty) f(x,y).
В этом случае дифференциальное уравнение удаётся записать в виде
y |
|
y |
. |
x
Отметим, что уравнение M(x,y)dx N(x,y)dy 0 является однородным тогда и только тогда, когда функции M(x,y) и N(x,y) однородные функции одной и той же степени.
146 |
5. Дифференциальные уравнения |
Однородноедифференциальное уравнение сводится куравнению с разделяющимися переменными заменой y xu или, что то же
самое, u y , где u — новая искомая функция. x
Тогда y u u x, или, что то же самое, dy udx xdu. Подставляя y и y в исходное уравнение, получаем уравнение с разделяющимися переменными.
a |
x b y c |
|
|||
Уравнения вида y f |
1 |
1 |
1 |
приводятся к однородным пере- |
|
a |
x b y c |
||||
|
|
||||
2 |
2 |
2 |
носом начала координат в точку пересечения прямых a1x b1y c1 0,
a x b |
y c |
2 |
0, если определитель |
a1 |
b1 |
отличен от нуля. Если этот |
|
2 |
2 |
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
определитель равен нулю, то замена a1x b1y z превращаетисходноеуравнение в уравнение с разделяющимися переменными.
5.19. Решить уравнение y 4y 3x . Функция 4y 3x — однородная y y
нулевой степени, так как 4ty 3tx 4y 3x . Поэтому данное уравнение ty y
однородное. Делаем замену y xu . Тогда y u u x и, |
подставляя y и y |
|||||||||||||||||||||
в уравнение, |
получаем u u x |
|
4ux 3x |
|
4u 3 |
, или, |
что то же самое, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ux |
|
|
|
|
u |
|
||||||
u x |
4u 3 |
u |
u2 4u 3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
u |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Разделяя переменные, имеем |
u2 |
udu |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||
4u 3 x . |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интегрируя, получаем |
|
|
|
udu |
|
|
|
dx |
. Вычислим вначале интег- |
|||||||||||||
u |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4u 3 |
|
x |
|
рал в левой части. Корни знаменателя подынтегральной функции 1 и 3, поэтому она может быть разложена на простейшие дроби следующим обра-
зом: |
u |
|
A |
|
B |
|
|
|
Au A Bu 3B |
|
(A B) u A 3B |
. При- |
u2 4u 3 |
u 3 |
u |
|
|
(u 3)(u 1) |
|
||||||
|
|
|
1 |
|
|
u2 4u 3 |
равнивая коэффициенты при одинаковых степенях u, получаем систему
A B 1,
уравнений для нахождения A и B. Решая эту систему, име-
A 3B 0
ем B |
1 |
, |
A |
3 |
. Таким образом, |
|
|
|
udu |
|
3 2 |
du |
1 2 |
du |
|
u |
2 |
4u 3 |
u 3 |
|
|||||||||||
|
|
||||||||||||||
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
u 1 |
5.1. Уравнения первого порядка |
147 |
|
3 |
ln |
|
u 3 |
|
|
1 |
ln |
|
u 1 |
|
. Поэтому |
1 |
|
ln |
|
u 1 |
|
|
|
3 |
ln |
|
u 3 |
|
ln |
|
x |
|
ln C , отку- |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
u 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
да |
|
|
|
|
|
|
|
Cx или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Cx. |
При делении на x мы ничего |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
u 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
не потеряли, так как x 0 |
не является решением исходного уравнения. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При делении на u2 4u 3 |
(u 1)(u 3) |
мы могли потерять решения, |
соответствующие значениям u 1 и u 3. Случай u 1 дает решение y x, содержащееся в найденном решении при C 0, а случай u 3 дает решение y 3x, в найденном решении не содержащееся.
5.20. Решить уравнение y2 xy dx x2dy 0.
Это однородное уравнение, так как y2 xy и x2 — однородные функции второй степени. Делаем замену y xu, dy udx xdu. Подставляя
в уравнение, имеем x2u2 x2u dx x2 udx xdu 0 .
Раскрывая скобки, приводя подобныеи сокращаяна x2, получаемуравнение с разделяющимися переменными u2dx xdu 0.
Разделяя переменные, получаем |
du |
|
dx |
. Интегрируя последнее |
||||
u2 |
|
|||||||
|
|
|
|
x |
||||
соотношение, имеем |
1 |
ln x C . Делая обратную замену u |
y |
, получаем |
||||
|
u |
|
|
|
|
|
x |
x ln x C . При сокращении на x2 мы потеряли решение x 0, которое y
в найденное решение не входит. Кроме того, мы могли потерять решения при делении на u2. Это дает решение y 0, также не входящее в найденное.
5.21. Решить уравнение 2x y 3 dx x y 6 dy 0.
Точка пересечения прямых 2x y 3 0, x y 6 0 имеет коорди-
наты x 3, y 3. Поэтому делаем замену x1 x 3, y1 y 3 или, вы-
ражая старые координаты через новые, x x1 3, y y1 3. Тогда dx dx1,
dy dy1, 2x y 3 2x1 y1, x y 6 x1 y1 .
В новых координатах уравнение переписывается в виде однородно-
го уравнения 2x1 y1 dx1 x1 y1 dy1 0. Делаем замену y1 x1u, dy1 udx1 x1du . Подставляя в уравнение, имеем 2x1 ux1 dx1 x1 ux1
udx1 x1du 0. Раскрывая скобки и приводя подобные, получаем урав-
нение с разделяющимися переменными x1 u2 2 dx1 x12 u 1 du 0 .
Разделяя переменные, получаем (u 1)du dx1 . Интегрируя последнее x1
148 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Дифференциальные уравнения |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
u |
2 |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
соотношение, имеем |
ln |
|
x1 |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
ln |
C |
. |
Делая |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||
обратную |
|
|
замену u |
1 |
, |
получаем ln |
x |
|
|
|
ln |
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
arctg |
y1 |
|
|
ln |
|
C |
|
. И наконец, возвращаясь к переменным x, y, |
имеем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ln (y 3)2 2(x 3)2 |
|
|
y 3 |
|
|
|
C . Так как x 3 решением ис- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 arctg |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(x 3) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ходного уравнения не является, то при делении на x1 мы ничего не потеряли.
Задачи для самостоятельного решения
5.22. y2 x2y 2xyy . 5.23. (2x y)dx (x y)dy 0.
|
|
|
y |
y |
||
5.24. |
|
3x y cos |
|
dx x cos |
|
dy 0. |
|
|
|||||
|
|
|
x |
x |
5.26. xy y (2x y) ln(2x y) ln x .
5.25. 2y y2 3x2 . x2
5.27. xy y 2x ctg y . x
5.28. y2 3xy dx x2dy. 5.29. 2y2 x2y 2xyy 0.
5.30. 2x 3y 2 dx x y 6 dy 0. 5.31. 2x y 1 y 4x 2y 3.
5.32.3x y 3 2x y 1 y .
5.1.4.Линейные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли
Уравнение первого порядка вида
a1(x)y a0 (x)y b(x) |
(5.8) |
называется линейнымдифференциальным уравнением. Если b(x) 0, то уравнение (5.8) называется линейным однородным, в противном случае — линейным неоднородным.
В общем виде линейное уравнение решено в [5].
Решениелинейного неоднородного дифференциального уравнения (5.8)
находят методом Лагранжа или, что то же самое, методом вариации произвольнойпостоянной.
5.1. Уравнения первого порядка |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
149 |
||||||||||||||||||||||||||
|
Алгоритм этого метода следующий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1) |
ищем вначале общее решение соответствующего однородного урав- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
нения a1(x)y a0 (x)y 0; оно записывается в виде y(x) Cy1(x); |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2) ищем решение исходного уравнения (5.8) в виде y(x) C(x)y1(x); |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подставляя y и y (x) C (x)y1(x) C(x)y1(x) в исходное уравнение, |
полу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чаем равенство для нахождения C (x), |
а следовательно, и C(x). |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Дифференциальное уравнение |
|
y a (x)y b(x)yn, |
n 0, n 1, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется уравнением Бернулли. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Заменой |
|
1 |
|
z уравнение Бернулли превращается в линейное урав- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
нение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
5.33. Решить уравнение y 3y e2x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y 3y 0. Решая |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
его, получаем |
dy |
3dx, |
ln |
|
y |
|
3x ln |
|
C |
|
, |
y Ce3x. Ищем теперь решение |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
исходного уравнения в виде y C(x)e3x. |
Подставляя y и y C (x)e3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3C(x)e3x |
в исходное уравнение, имеем C (x) e x, откуда C(x) e x C1, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
и y(x) C1e3x e2x — общее решение исходного уравнения. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.34. Решить задачу Коши y 3x2y |
6x2, y(0) 3. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Рассмотрим соответствующее однородное уравнение y 3x2y 0. Ре- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
шая его, |
получаем |
|
|
|
|
3x dx , ln |
y |
|
|
|
x |
|
ln |
C |
, y Ce |
|
. Ищем теперь |
||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y C(x)ex3 |
. Подставляя y и |
|||||||||||
решение исходного уравнения в виде |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C |
( |
) |
x3 |
3 2 |
( |
) |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
x3 |
||||||||
y |
|
x e |
|
|
x |
C |
x e |
|
|
|
в исходное уравнение, имеем C (x) 6x |
|
, от- |
куда C(x) 2e x3 C1 и y(x) 2 C1ex3 — общее решениеисходного урав-
нения. Подставляя начальные данные, получаем y(0) 2 C1e0 3 и, следовательно, C1 5. Поэтому искомое решение задачи Коши имеет вид
y(x) 2 5ex3 .
5.35. Решить уравнение xdy 2ydx 3x5dx.
Это линейное относительно y и y уравнение, так как его можно пере-
писать в виде xy 2y 3x5. Решая соответствующее последнему однород-
ное уравнение |
xy 2y 0, |
получаем последовательно x |
dy |
2y, |
||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
dy |
|
2dx |
, ln |
|
y |
|
2ln |
|
x |
|
ln |
|
C |
|
|
и, наконец, y Cx2. Ищем теперь реше- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в виде y C(x)x2. Подставляя в него |
||||
|
|
|
xy 2y 3x5 |
|||||||||||||||||
ние уравнения |
150 |
5. Дифференциальные уравнения |
y и y C (x)x2 2C(x)x, имеем C (x) 3x2, откуда C(x) x3 C1 . Подставляя полученное выражение C(x) в y(x), получаем общее решение
y(x) x3 C1 x2 x5 C1x2 уравнения xy 2y 3x5. При переходе от ис-
ходного уравнения к уравнению xy 2y 3x5 мы потеряли решение x 0,
которое в найденное не входит.
5.36. Решить уравнение 4y3 x dy ydx.
Вспоминая, что переменные x и y вдифференциальномуравнениирав-
ноправны, и переписывая его в виде 4y3 x yx или, что то же самое,
в форме yx x 4y3, видим, что данное уравнение является линейным относительно x и x . Рассмотрим соответствующее однородное уравнение
yx x 0. Решая его, получаем dx |
dy |
, |
ln |
|
x |
|
ln |
|
y |
|
ln |
|
C |
|
, x Cy. Ищем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
||||||||||||||||
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
теперь решение уравнения yx x 4y3 |
в виде x C(y)y. Подставляя x |
и x C (y)y C(y) в него, имеем C (y) 4y, откуда C(y) 2y2 C1, и x(y)2y3 C1y — общее решение уравнения yx x 4y3. При преобразовании
исходного уравнения к виду yx x 4y3 |
мы потеряли решение y 0, ко- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
торое в найденное не входит. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5.37. Найти общее решение уравнения y 2xy 2e 2 |
|
|
|
|
y . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Это уравнение Бернулли при |
n |
1 |
. Разделив обе части уравнения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||
на y , получаем |
2x |
y 2e 2 |
. Делаемзамену z y . Тогда z |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|||||||
и поэтому уравнение переписывается в виде 2z 2xz 2e 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Решая это линейное уравнение методом вариации произвольной |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
постоянной, получаем z(x) x C1 e |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
откуда |
|
x C e |
|
x |
|
или, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
, |
y |
2 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
e |
|
|
При делении на |
|
|
y мы потеряли |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
что то же самое, y |
x |
C |
|
2 |
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
решение y 0, которое в полученное решение не входит.
5.38. Найти общее решение уравнения 3yy 4xyy 2x3.
Это уравнение получено из уравнения Бернулли 3y 4xy 2x3y 12
при n |
1 |
. Делаем замену z y3 2 . Тогда |
z |
3 |
|
|
|
|
yy , и поэтому уравне- |
||||||||
2 |
|
|
2 |
|
|
|
||
ние переписывается в виде |
z 2xz x3. Это линейное уравнение. Решаем |
вначале соответствующее однородное уравнение. Имеем z 2xz 0,