eltsov-prakt

Раздел 1

181

				2																																																1
															cos 3											x C .																																	sin (5 ln x) C .
1.78.																																											1.79.
						3																																																	5
	1					sin 2ex																			5 C .																																							2									1																								1														5
1.80.																																													1.84.																							e2x								3				C .									1.85.																										C .
																																																																																																						cos
		2																																																														3																																	30															x6
																				1																							2																																																																2
1.86. 5 cos																									C .																											arcsin																					2x									C .											1.88. e							x											e			3x			C .
																															1.87.
																																																																																																											3
																		5x																									6																														3
		1													sin5 7x C .																																			2																													C .
1.89.																																					1.90.																			1 tg 3x
	35
																																																	3
																																																																																			1			ln					1 e 16x
1.91.		1													arccos													5 cos x													C .												1.92. x																																															C .
				5																											2																																																		8
1.93.				1														ln 7 5 sin2 x C .																																		1.94.																												1					7		2		5 arcctg x C .
						10																																																																					5 ln 7
				5																																																						1																							1 2
1.95.															(cos x)4 5 C .																												1.96.																					1 2e2x																											C .
						4																																																				2
				2																7							3 2										2												7			3 2																																								(x 1) 99
1.97.																	x						9																						x														C .																				1.98.																											C .
		189																																				189																																																							99
	2																																																																																3 2
1.99.															3 sin2 x 4 C .																												1.100.																					1				e2x												5											C .
	3
																																																																3
1.101.				7									ln2									2x			2							C .												1.102. ln x2																																5 C .
					6
																				2ln
1.103.				1									ln												2		x					3											1					arctg																		2 ln x																C .
					4
																																													6																			3
																				x				3																												x2																																									1
1.104.				1									ln										4														3				arctg																		C .																					1.105.																															C .
					4																																2																																																							27 1 x									3						9
																																																				3
1.106. ln(5 cos x) C .																																											1.107.																	1						cos3														2x C .													1.108.																					1				C .
																																																										6																																															4 x2 5 2
				3																		16																																										1																							3 2
1.109.													x5													ln3 x C .																				1.110.																													3 x2																		C .
					5																		3																																														3
							arcctg4 x																																																																																																		4												5 4
1.111.																												C .													1.112. ln																								5 2																	x		C .									1.113.																		tg x							C .
																				4																																																																																					5
																							2																																																																	arctg2x
1.114.																																					C .												1.115. arctg x																																																C .
																				4								3x3																																																																	2
				3 3
1.116.					1																2				C .												1.128.																2																									arcsin 5x																4																			C .
													cos																																																	1 5x																																				1 5x
				4																		x2																														5																																									5

182

Ответы

1.129. 245 x4 x4 8 65 26425 x4 x4 8 115 C .

1.130. 1 (2x 3) ln2 (2x 3) (2x 3) ln (2x 3) 2x C . 2

1.131. x ln x2 9 2x 6arctg x C . 3

			1							2											1																				x							1							2
1.132.								x			2x															arctg5x																									ln	25x						1 C .
			2																	50																				10								5
1.133.					x 3							cos5x															sin 5x							C . 1.134.																						4
																																																				x							ln	3x 4			x C .
										5																	25
																																																								3
1.135. x ln 7x2													4 2x
																															4					arctg									7x						C .
																															7														2
1.136. x arctg 4x																				1				ln 16x2											1 C .
																				8
													1																					1																			2
1.137. (2x											3)				tg 2x x																						ln			cos2x											x			C .
													2																					2
1.138. x3										5x ln									x									1	x3		5x C .
																												3
1.139. xarcctg7x																					1					ln 49x2 1 C .
																					14
1.140.		3x							e4x				1				e4x C .																	1.141.											1			x4 1 ex									4		C .
			4										16																																4
			1						e3x
1.142.	34											3 cos5x 5 sin 5x																											C .
1.143.			1				e7x					7 sin 3x 3 cos 3x																											C .									1.144.							1			x2			1	e3x2 5		C .
	58
																																																							6						3
1.145.										2	x				1																				x						1				ln 4x							2	1 C .
	2x																			arctg 2x
															2																										4

1.146. 12 x2 9 ln2 (x 3) 21 x2 6x 27 ln(x 3) 14 x2 18x C .

1.152.	1		x			9		ln			2x 3					C .			1.153.	2		x				23			ln					3x 1				C .
2				5		2													3					9
						2																		1			4											3x
1.154. x					ln 16x									25 C . 1.155.											x									arctg			4				C .
				4																				9						27
1.156.	2		x				11		ln				3x 4					C .	1.157.		3		x					29			ln					4x 3					C .
3						9													4								16

Раздел 1

183

1.166.			1												x									1				sin10x C .																											1.167.																			1		cos 6x																1							cos3								6x C .
	2																					20																																																			6												18
1.168.															1							cos 3x																1			cos13x C .																											1.169.															1				tg 4x x C .
																																																																																			4
	6																																		26
1.170.			1																		tg35x															1		tg 5x x C .																														1.171.													1				sin 3x																			1					sin13x C .
	15																																																																																6																					26
																																			5
		1.177.		1										arctg x 3 C .																																		1.178.																					1			arctg							x 4											C .
																																																																				5
	6																													6																																																					5
1.179.				1														arctg												3x 2											C .														1.180. arcsin																										x 4												C .
	12																																		4																																																		3
		1.181.		1										arcsin																2x 3											C .
	2																																		4
1.182.			3											ln 4x														2							4x 10																				7						arctg												2x 1									C .
				8																																																		12																			3
	1																										2																												5																				3x 2
1.183.														ln 9x																					12x 20																														arctg																				C .
				9																																																				36																						4
														3																																						13						arcsin															2x 3
1.184.																						7 4x2																12x																																												C .
	4																																															4																									4
													1																																						5		arcsin																		2x 1							C .
1.185.																							8 4x2															4x
	4																																															4																									3
																						(x 1)(x 2)																							C .																																	(x 3)2																	C .
1.188. ln																																																												1.189. ln
																											x 3																																																				x 4
																						x2 1														C .																													1								(x 3)(x 2)2
1.190. ln																																																1.191.																				ln																																	C .
																						2																																																								x 1
																		(x 2)																																									2
																						1																1										1												C .																														(x 1)2																					1
1.194.																																																																									1.195. ln																																													C .
																											2																					x 3
				2(x 1)																															x 1																																																											x 2																		x 1
	ln																(x 3)2																					1										1																																															1												1							1
1.196.																						x 2												x 2 x 3 C .																																							1.197.											2(x 1)2																					x 1									x 2 C .
1.200. ln x																									2		2x 10																					1		arctg																x 1							ln x							2			4x 20 2arctg																																x 2					C .
																																																3																				3																																															4
1.201.	3								ln x																	2		9												1															x				1											ln x						2		6x 18																										5										x 3
																																											arctg																																																															arctg														C .
				2																																				3															3												2																																					3										3
1.202.		1					ln															x2					4x 8																				5		arctg														x 2										ln					x2 2x 10																													1			arctg								x 1			C .
																																																																																																											3
	2																																							2																			2																																																							3
	1						ln x																			2	1 3 arctg x																																1																																				x 2
1.204.																																																														arctg (x 1)																																																		C .
				2																																																								2																											2 x								2
																																																																																																2x 2

184

Ответы

1

x

2

5

1

x

1 x 6

1.205.

ln

arctg

C .

2

6

x2 3

6

3

3

1.206.

1

ln

x2 2x 2

arctg(x 1)

43

arctg

x

3x 10

2

10 5

5 10 x2 5

1

ln x2 5 C .

2

23

x 5

x 1

3

ln x

2

5x 36

1.207.

arctg

arctg

2x 5

C .

54

3

2

2

2

2

18 x 9

1.210.

2

ln

x 5

ln x2 6x 10 2arctg (x 3) C .

x 5

ln x2 4x 13

3

1

1.211. 2x2 3x

2ln

x 1

x 1

x 2

5

arctg

x 2

C .

3

3

1.212. 3 ln

x 2

3

ln

x2 4x 40

2

2

arctg

x 2

C .

2

x 3

3

6

1.213.

A1x B1

A2x B2

A3x B3

C1

x2 2x 37 3

x2 2x 37

x2 2x 37 2

x 4

C2

D

.

(x 4)2

x 8

1.214.

A1x B1

A2x B2

C1

C2

C3

D

x2 10x 34 x2 10x 34 2

x 5 (x 5)2

(x 5)3

x 2 .

C .

6

x 3

x 5

1.220. 6 6

6

2arctg

C .

1.219.

3

x 3

x 2

2

1.221. 2ln 5

C .

x 2

6

1

1.222. 2

6 6

3 ln

x 8

C .

x 8

x 8

6 x 8

1

1.223. 2 x 5 C . 1.224. x 3 3 2 6 ln x 3 1 C .

1.227.		16 9x2			C.		1.228.		25 x2				C .
		16x								25x
	1									4 1 3 4
1.232.						C .	1.233.								x			C .
	2 23			5 3
										9		2 3 4				2
			x
														x

Раздел 1

185

				1.234. 2 arctg																					4 16 x2													ln				4 16 x2																											2						C.
																															2
																																										4 16 x2																											2
									5																				9 5						45																						4 5
			1.235.										3 3 x2																											3 3 x2																										C .
								6																											8
														4 x2 1 2
																																	1								4 x2																				x
				1.236.																															ln																																		C .
													2																				2								4 x										2											x
																		x
										8							x																		8 x2															x												1
			1.237.																						6 ln																																												x					8 x2					C .
										8 x2																									8 x2														x								2																						2
																																																																							3
												3 5 x3																	1						3 5 x3																						1																		5 x3					3		5 x3
				1.238.																												ln														1																	ln																						1
																		x											3										x																		6																			x							x
								2 3
	1					arctg							5 x3													x						C .
			3															3 x
											25																																									29						ln										x
				1.242.														ln					x								x2 4x 25																																													x2 4x 25 2
													4																																						4
								29																								C .
	2		x x2 4x 25 2

1.243. ln x2 4x 5 x 2 C .

1.244. 6	x 9 6x x2 3					x	4
								x 3 2
		9 6x x2 x 3
						9 6x x2

36arctg 9 6x x2 3 C .

x

1.245. 5 arcsin x 1 x 1 4 2x x2 C .

2			5				2
					3	ln	3x x2					x
1.246.	3x x2														C .
			2						3x x2 x
x 2			4x 3 x						2
															4x x	2	3
1.247.										arctg								C .
			2												x 1

186

Ответы

1.248.						2											C .
						x2 6x 16 x 2
1.256.	26				arctg			sin 9x							1	sin 9x C .
														9
45						5
1.257.		1		cos11 3x					1			cos9 3x C . 1.258.						1	tg57x	1	tg37x C .
33									27									35		21
1.259. arctg							tg x 2 1							C .
						2

Раздел 2

	3																			1																														1														1								3
							3 4 .																	53 5												23 2 .
2.7. 6															2.8.																															2.9.									ln 5. 2.10.														arctg						.
			2																			4																												24																		36				2
		1			e					1 . 2.12.																	1			e						e .																													1					20
2.11.								3																										2												2.13.					2					.			2.14.								arctg							.
		15																								2																								3															30					3
																																																																							3
2.15.		19			.					2.16.								3e 2								ln (3e 2) e																					2	ln 2.
	49																			3																										3
		4														1				2						1												3						ln 2.
2.17.												3
															96											12
	16																																			16
2.18. 3 arctg 21 arctg 7																													1							221										. 2.19.										1			44e			45		1 .
																																			ln
																												14														25														81
2.20. 124 3 ln															9					2.21.											2										. 2.22. 18 12 ln																			3	.
																	.																				3
															5														3																														2
2.23.		2									11															2.29.																				1											2.30. Расходится.
																				2 .																																.
	315									10080																														8 ln2(4e 1)
2.31. Расходится.																				2.32.									1																	2.33.			1									1	arctg				1			.
																																				3 .
																													27																	8										4							4
2.34. Расходится.																				2.43. 1,5; сходится.																																				2.44. 1,5; сходится.

2.45. 1; расходится. 2.46. 4 ; сходится.

3

2.47. 1; расходится. 2.48. 3 ; расходится. 2.57. 5 5256 .

										4					16
	2.58. Расходится.						2.59. Расходится.								2.60.	5		(7 ln 2)4 5 .
															28
	4						5			3
			4 27 .									3 4 1 . 2.64. Расходится.
	2.61.					2.62.			.	2.63.
		3
								4			2
	2.65. Расходится.						2.66. Расходится.								2.74.		5		; сходится.

6

Раздел 3

187

2.75. В точке x 0			1		,	в точке x			1		; сходится.
	2							3
2.76. В точке x 0		1		,		в точке x					3	; расходится.

22 2

2.77.5 ; расходится. 2.78. 1 ; сходится.

					4																																							6
2.79.								1					; сходится. 2.80.																							5			; расходится. 2.81.																		1	; сходится.
					5																													3																						5
2.82. В точке x 2																											3		; в точке x 4																							1	; расходится.
																										2																									4
2.83.											1			; сходится.														2.84.												3		; сходится.
					5																																5
2.85.									3					; расходится.																2.86.														1			; сходится.
					2																																							6
2.87.												11		;		расходится.															2.88.														1			; сходится.
					4																																							6
2.89.										1				;		сходится.														2.101.							e6 1									.			2.102. 52					1	.	2.103. 21				1	.
					12																																		2e2														12			3
2.104. а) (e 2);																				б)					1	e2 1 .
																									2
																												3 2												7 4
					3										21					1													2																	3			2.106. 2 .
																																																								2.107. 3 .
2.105.																								ln											ln																.
					2 2 3 8																							3			2 2									7 4 3
2.108. 876,8 ln4 96.																										2.109. 2,95 0,05e 20.																											2.110. 3992120,64.
Раздел 3
				1												2x x2																		0						x
3.7. а)					dx																	f x,y dy															dx							f x,y dy
				2													2x x			2														1								x
0		y																						1							y
dy								f x,y dx dy																												f x,y dx ;
1					2																			0					1			2
	1 1 y																														1 y
	0												x																	1						x
б) dx																	f x,y dy dx																											f x,y dy
	1																													0
				1 1 x											2																	1					2
																																					1 x
1		2y y2																						0						y
dy										f x,y dx dy f x,y dx ;

2		2	1	y
		2y y

188

Ответы

		1												x													1						2y y2
	в) dx																			f x,y dy dy																										f x,y dx ;
		0							1					1 x2													0										y
		0															x										0										1									1 y2
	г) dx																					f x,y dy dy																												f x,y dx;
		1																		2								1																	y
														2x x
		0								1 1 x2																	1				1 1 x2
	д) dx																				f x,y dy dx																											f(x,y) dy
		1								1						1 x				2							0														x
1				y																		2					2y y2
dy											f x,y dx dy																							f(x,y) dx ;
0			2y y2																			1			2y y2
		0															x										1						1											1 x2
	е) dx																					f x,y dy dx																											f x,y dy
		1								1										2							0						1													2
																	1 x																											1 x
1			2y y2																			0						2y y2
dy															f(x,y)dx dy																						f(x,y) dx ;
2										2												1						y
				2y y
		0									x2														0			y2
	ж) dx																		f(x,y) dy dy f(x,y) dx;
			1												x									1						y
		3										0													0					y 9
	з) dx																	f(x,y) dy dy													f(x,y) dx;
		3								x2 9														9							y 9
										16 x2
		4																							16							16 y
	и) dx																		f(x,y) dy dy																										f(x,y) dx ;
		4											0												0								16 y
														16 x2
																																			y																						16 y
		2 2																									8																											16
	к)								dx												f(x,y) dy dy f(x,y) dx dy																																							f(x,y) dx.
		2					2										x2										0										y																	8				16 y
										5										0									0															5
	3.8. а)											dx													dy								dy															f						dx ;
																						f x,y																											x,y
										2								2x 4										6														4 y
																																												2
		5								1 x 2														0					5																							1			5
										3							3
	б)				dx																					dy																												dy
																			f x,y dy																		f x,y dx																			f x,y dx ;

2	2x 4	6			1	0	3y 2
			2		2y

Раздел 3

189

	2							2x 8								5									8 2x
							3
	в) dx									f x,y dy dx																		f x,y dy
					1			4 2x								2									4 2x
							3																		3
2					8 y									4					8 y
					2														2					f x,y dx ;
dy							f x,y dy dy
2				4 3y										2				3y 8
		2																2
	2							5x 5								5									29 7x
							3																		3			f x,y dy
	г) dx									f x,y dy dx
					1			x 1								2										x 1
							3																			3
0				29 3y										5						29 3y
				7																		7				f x,y dx.
dy								f x,y dx dy
2				3y 1										0							3y 5
																						5
	3							2x								4										x 5
							3
	3.9. dx									f x,y dy dx																		f x,y dy
	0								2							3										3x 11
									3 x
0				y 11										1			y 11												2					y 5
			3														3
dy							f x,y dx dy																f x,y dx dy												f x,y dx .
2	3													0		3													1					3
				2y															2y															2y
										6																			4 3
							4						y	f x,y dx ;														8				y		f x,y dx ;
	3.10. а) dy																										б) dy
							0			y2		4																0
																													y 2
	0							y 5
	в) dy f x,y dx .
				3			0
	3.11. а) 1,125;													б) 1,5;									в) 1, переменить порядок интегрирования;
	г) 2, переменить порядок интегрирования;																																		д) e 2, переменить поря-
док интегрирования; е) 0,5, переменить порядок интегрирования.
							2				2x x2																		8
	3.12. а) dx
															(2 2x										4xy) dy									;
																															3
							0					0
								3x 3																			4x 13
	1						2															4						3							1
	б) dx									(3x 2y)dy dx
																													(3x					2y)dy 45			;
																																				3
					1			x 1														1					x 1
							5																					5
	2						ln 2x			2						e4 e
	в) dx								ex ydy															;
																2
	1							ln x

190

Ответы

	0								x 1																			1			x 1													1					3				x		716
г) dx														x y2 dy dx																				x y2 dy														;	д) dx xy2dy								;
																																													3										45
	1								x 1																			0			x 1																		1				1
																																																					x
	2								3 cos x
е)	dx															x 3y dy 6 2 28,5 ;
	0											0
	1																											1
										2x															1
	2																												x						1
ж)							dx							xydy														dx xydy								ln 2;
																																			4
	0											x													1				x
																									2
																															1
	0,5								2																			2
																																x														47
з) dx												x2 y2 dy dx x2 y2 dy																																					.
																																														12
	0								0																			0,5			0
												1 2 2x														x2 y2 3																		1					2 2y		x2 y2
3.19. а) dx																								dy							f(x,y, z)dz ;										б)			dy dx								f(x,y, z) dz ;
												0							0									0																0					0			0
																										8 x2 y2
														8 x2
	2 2
в)									dx															dy							f(x,y,z) dz;
	2					2									8 x2													0
																									8 x2 y2																								6 2x
													8 x2																																						5 x y
	2 2																																											3					3
г)									dx															dy							f(x,y, z) dz;										д) dx dy												f(x,y,z) dz ;
	2				2									0														0																0					0			0
										4y y2
	4																							10										2		2 4 x2								10
е) dy																			dx f(x,y, z)dz dx																									dy f(x,y, z)dz ;
	0							4y y2																1										0		2 4 x2								1
																																					4y y2
	2								2 4 x2															8										4															8
ж) dx																						dy f(x,y,z) dz dy																						dx f(x,y,z) dz ;
	0											2												0										2		4y y2													0
	15								15 x											15 x y															15									15 x						25 x y
												3												2																				3						2
з) dx dy																												f(x,y, z) dz ;								и) dx													dy				f(x,y, z) dz ;
	0								15 x															0															0					15 x					0
												5																																5
	2								2x x2																4 x										2						4x x2									4 x
к) dx																			dy									f(x,y,z) dz dx																				dy			f(x,y, z)dz
	0													2											x 4										0									2						x 4
												4x x																													2x x
4	4x x2														4 x
dx									dy f(x,y, z)dz ;

2		2	x 4
		4x x