eltsov-prakt
.pdf1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
2 1 |
1.148. |
|
|
|
x |
|
dx |
1 |
|
|
|
2x |
|
dx |
1 |
|
|
2x 5 5 |
dx |
1 |
|
dx |
5 |
|
|
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2x 5 |
|
2x 5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2x 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
5 |
ln |
|
2x 5 |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
36 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1.149. |
|
|
|
dx |
|
dx dx 36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
36 |
2 |
36 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x 6arctg |
x |
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1.150. |
|
|
|
x2 |
|
dx |
|
1 |
|
4x2 9 9 |
|
dx |
1 |
dx |
|
|
9 |
|
|
|
dx |
|
|
|
1 |
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||
4x |
2 |
|
|
4 |
|
4x |
2 |
9 |
|
|
4 |
4 |
|
|
4x |
2 |
9 |
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 arctg 2x C .
8 3
|
1.151. |
(x 3)2 |
dx |
|
x2 9 6x |
|
|
|
|
|
x2 4 5 6x |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||||
|
|
2 |
4 |
|
x |
2 |
|
4 |
|
|
|
|
|
x |
2 |
4 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5 |
|
|
dx |
|
|
|
6xdx |
|
dx 5 |
|
|
|
dx |
|
3 |
d x2 4 |
|
x |
5 |
|
arctg |
x |
|
|||||||||||||||||||||||
|
x |
2 |
4 |
x |
2 |
4 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
4 |
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
3 ln x2 4 C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1.152. |
x 3 |
|
1.153. |
|
2x 7 |
|
1.154. |
(4x 5)2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
16x |
25 |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 5 |
|
|
|||||||||||||||
|
1.155. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
1.156. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
1.157. |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9x2 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4x 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
Преобразование тригонометрического выражения |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Наиболее часто применяются формулы понижения степени |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin2 x |
1 cos 2x |
, |
|
cos2 x |
|
1 cos 2x |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
формулы преобразования произведения в сумму
sin sin 1 cos( ) cos( ) , 2
cos cos 1 cos( ) cos( ) , 2
sin cos 1 sin( ) sin( )
2
и некоторые другие.
2 2 |
1. Неопределенныйинтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos 8x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.158. sin |
|
|
4x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 8x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.159. cos |
2 |
5x dx |
1 cos10x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
sin 10x C . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
20 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
1.160. cos 3x cos5x dx |
|
|
|
|
(cos 2x cos 8x) dx |
|
|
|
|
sin 2x |
|
|
|
sin 8x C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
4 |
|
|
16 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.161. cos 3x sin 5x dx |
|
|
1 |
|
(sin 8x sin 2x) dx |
cos 8x |
|
|
cos2x |
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
1.162. sin 2x sin7xdx |
|
(cos5x |
cos 9x)dx |
|
|
|
|
sin5x |
|
sin 9x C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
10 |
|
18 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin |
2 |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.163. ctg2 3x dx |
cos |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
dx |
|
ctg 3x x C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
sin |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.164. cos3 7xdx cos2 7x cos7xdx 1 sin2 7x cos7xdx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
1 |
sin2 7x d sin 7x |
1 |
sin7x |
|
1 |
sin3 7x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
7 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
sin |
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
sin |
|
|
|
|
|
dx |
1 |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.165. |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
2 |
2 |
dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
2sin |
x |
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
cos |
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
d cos |
|
|
|
|
|
|
|
d sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
ln |
cos |
|
|
ln |
sin |
|
|
C |
ln |
|
tg |
|
C. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.166. sin2 5x dx. |
|
|
1.167. sin3 |
6x dx. |
|
|
|
|
1.168. sin 8x cos5x dx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.169. tg2 4x dx. |
|
1.170. tg45x dx. |
|
1.171. cos 8x cos5x dx . |
|
Выделение полного квадрата
Иногда удается получить табличный интеграл, выделив в подынтегральной функции выражения вида (ax b)2, то есть полный квадрат двучлена ax b.
dx
1.172. Вычислить x2 6x 25 .
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Имеем |
x2 6x 25 |
x2 |
6x 9 16 x 3 2 |
|
42 . |
Сделав замену |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 3 t, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
1 |
arctg |
t |
C |
1 |
arctg |
x 3 |
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
6x 25 |
2 |
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
t |
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1.173. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36x 9x |
13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Имеем 36x 9x2 13 9 x2 |
4x 4 36 13 49 9 (x 2)2. Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
arcsin |
3(x 2) |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
36x 9x2 13 |
|
|
|
|
49 9(x 2)2 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1.174. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
Имеем x2 4x x2 4x 4 |
|
4 4 (x 2)2. Поэтому |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4x |
|
|
||||
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
arcsin x 2 C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 (x 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегралы |
|
|
|
Mx N |
|
|
|
dx , |
|
|
|
Mx N |
|
dx выделениемвчис- |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
n |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
px q |
|
|
|
|
|
|
(x |
px q) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
лителе дифференциала выражения x2 px q сводятся к интегралам |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x2 px q |
x2 px q n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1.175. Вычислить |
|
|
|
|
|
|
5x 3 |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Производная знаменателя равна 2x 6. Поэтому |
|
|
|
5x 3 |
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6x 18 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
5 |
|
(2x 6) |
5 |
6 3 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
2x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
6x 18 |
x |
2 |
6x 18 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6x 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|
|
|
d x2 6x 18 |
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2 |
6x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
6arctg |
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 6x 18 |
|
|
|
|
|
|
6x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
18 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Неопределенныйинтеграл |
||||||||||||||||||||
|
|
|
Интеграл |
|
(Mx N)dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выделением в числителе дифференци- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
ала подкоренного выражения сводится к интегралу |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
a |
2 |
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x b) |
||||||||
|
|
|
1.176. Вычислить |
|
|
|
|
|
(6x 2)dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 (x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Производная подкоренного выражения равна 2(x 2). Поэтому |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(6x 2)dx |
|
|
|
|
2(x 2)( 3) 14 dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 4 (x 2) |
|
14arcsin |
|
|
C . |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||
|
4 (x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 (x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.177. |
2 |
6 |
|
|
45. |
|
|
|
|
|
1.178. x2 |
8x 41 |
|
1.179. |
|
|
|
2 |
|
|
|
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9x |
12x 20 |
|||||||||||||||
|
|
|
1.180. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
1.181. |
|
|
|
|
dx |
|
. |
|
|
1.182. |
|
(3x 5)dx |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
8x x2 |
7 |
|
|
7 4x2 12x |
|
4x2 4x 10 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1.183. |
|
|
|
(2x 3)dx |
|
. 1.184. |
|
(3x 2)dx |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
12x 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 4x 12x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1.185. |
|
|
|
|
(x 2)dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 4x |
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.4. Интегрирование рациональных дробей
Предварительно рекомендуется прочитать п. 1.2.4 из [5].
Рациональной дробью или рациональной функцией называется отношение двух полиномов (многочленов), то есть выражение вида
P(x) |
k |
n |
|
, где P(x) blxl bkxk bk 1xk 1 ... b1x b0 |
и Q(x) alxl |
||
Q(x) |
|||
l 0 |
l 0 |
anxn an 1xn 1 ... a1x a0 — полиномы (многочлены) степеней k
иn соответственно. Если степень полинома (многочлена) в числителе меньше степени полинома в знаменателе, то есть k n, то такую рациональную дробь называют правильной, если k n, то рациональную дробь называют неправильной.
Вслучае неправильной дроби числитель можно представить в виде P(x) Q(x)R(x) S(x), где R(x) и S(x) — полиномы, называемые обычно,
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
2 5 |
как и в случае действительных чисел, частным и остатком, причем степень полинома S(x) меньше n. Тогда рациональнаядробь запишется ввиде
P(x) R(x) S(x) , а интеграл от полинома R(x) мы вычислять умеем.
Q(x) Q(x)
Описанный прием называется выделением целой части рациональной дроби. Частное R(x) в этом случае называется целой частью рациональ-
ной дроби, а S(x) — правильной частью. Покажем на конкретном приме-
Q(x)
ре, как выделить целую часть и записать рациональную дробь в виде суммы полинома и правильной рациональной дроби. Пусть
P(x) x5 2x4 10x3 13x2 25x 16, Q(x) x3 x2 4x 4.
Разделим полином P(x) на полином Q(x) так же, как мы делим вещественные числа. Имеем
_ x5 2x4 10x3 13x2 25x 16 |
x3 x2 4x 4 |
|||||||
x2 x 5 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
x5 x4 |
4x3 4x2 |
|
|
|||||
_ x4 |
6x3 9x2 25x 16 |
|
||||||
x4 |
|
x3 4x2 4x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
_ 5x3 5x2 21x 16 |
|
|||||
|
|
|
5x3 5x2 20x 20 |
|
||||
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
Таким образом, мы получили целую часть дроби (частное от деления полинома P на полином Q) R(x) x2 x 5 и остаток S(x) x 4 от этого
деления. Поэтому можем записать |
x5 2x4 10x3 |
13x2 |
25x 16 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
x3 x2 |
4x 4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
2 |
x 5 |
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x |
x |
4x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Аналогичный пример можно найти в [5]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
Простейшими рациональными дробями назовем дроби |
|
1 |
|
, |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
, |
|
|
|
|
|
, |
|
|
и дроби |
|
|
, |
|
|
, |
||||||||
|
(x a)n |
|
x2 |
|
a2 |
x2 a2 n |
|
x2 px q |
x2 |
px q n |
|||||||||||||||
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
Mx N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
, |
|
|
|
при p2 4q |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x2 px q |
|
x2 |
px q n |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 6 |
1. Неопределенныйинтеграл |
Интегралы от первых трех дробей являются табличными. Интеграл
Jn dx может быть найден по рекуррентной формуле
x2 a2 n
|
|
|
|
J |
|
|
|
1 |
|
|
|
x |
|
2n 1 |
J , |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
n 1 |
|
2na2 x2 a2 n |
|
|
2na2 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
два следующих заменой |
|
x |
p |
t |
|
сводятся к интегралам |
|
|
dt |
|
, |
||||||||||||||
|
|
|
t |
2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
||||
|
|
dt |
|
. Интегралы |
|
|
Mx N |
|
dx , |
|
|
Mx N |
|
dx выделением |
|||||||||||
2 |
2 |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
x2 px q |
n |
|||||||||||||||||||||
|
t |
a |
|
|
|
x |
px q |
|
|
|
|
|
|
|
|
в числителе дифференциала выражения x2 px q сводятся к интегралам
|
|
|
dx |
, |
dx |
|
. Более подробно можно посмотреть в [5]. |
|
2 |
|
|
n |
|||
|
x |
|
px q |
|
x2 px q |
Любую правильную рациональную дробь можно представить как сумму простейших. Опишем этот алгоритм.
По основной теореме алгебры [14] любой полином может быть раз-
ложен на простейшие множители, то есть представлен в виде Q(x)
n
an x x1 x x2 ... x xn an x xl , где xl — действительные или
l 1
комплексные корни полинома Q(x), повторенные столько раз, какова их кратность.
Пусть полином Q(x) имеет n различных корней x1, x2, ..., xn. Тогда правильную рациональную дробь можно представить в виде
P(x) |
|
A1 |
|
A2 |
... |
An |
, |
|
x x1 |
x x2 |
|
||||
Q(x) |
|
|
|
x xn |
где A1, A2, .., An — числа, подлежащие определению. Если xi — корень кратности , то ему в разложении на простейшие дроби соответствует
слагаемых |
A1 |
|
A2 |
... |
A |
. Если xj — комплексный |
|
x xi |
x xi 2 |
|
x xi |
|
корень кратности полинома с действительными коэффициентами, то комплексно-сопряженное число xj — тоже корень кратности этого по-
линома. Слагаемые в разложении правильной рациональной дроби, соответствующие парам комплексно-сопряженных корней, объединяют и за-
писывают одним слагаемым вида |
Mx N |
, |
если x |
|
, |
|
— корни |
j |
x |
||||||
|
x2 px q |
|
|
|
j |
||
|
|
|
|
|
|
кратности один. Если xj , xj — корни кратности , то им соответствует
слагаемых и соответствующее разложение имеет вид
M1x N1 |
|
M2x N2 |
... |
M x N |
. |
||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||||
|
px q |
|
x2 |
|
x2 |
|
|
||
x |
|
|
px q |
|
px q |
|
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
2 7 |
Таким образом, интегрирование правильных рациональных дробей свелось к интегрированию простейших дробей, рассмотренных в начале подраздела.
Одним из способов нахождения коэффициентов Aj, Mj, Nj в разложении правильной рациональной дроби является следующий. Правую часть полученного разложения с неопределенными коэффициентами Aj, Mj, Nj приводят к общему знаменателю. Так как знаменатели правой и левой частей равны, то должны быть равны и числители, которые являются полиномами. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x (так как полиномы равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях x), получаем систему линейных уравнений для определения этих коэффициентов. Продемонстрируем изложенное на примерах.
Корни знаменателя вещественны и различны
1.186. Найти |
|
|
x 1 |
|
|
|
|
dx. |
|
x3 |
|
|||
|
7x 6 |
Согласно теореме Виета корни знаменателя ищем среди делителей свободного члена. Таковыми являются 1, 2, 3, 6. Подстановкой убеждаемся, что x 1 является корнем знаменателя. По теореме Безу знаменатель делится на x 1 без остатка. Разделив знаменатель на x 1, имеем
_ x3 |
7x 6 |
x 1 |
|
x2 x 6 |
|||
|
|
||
x3 x2 |
|
|
_ x2 7x 6 x2 x
_ 6x 6
6x 6 0
Поэтому знаменатель x3 7x 6 можно записать в виде x3 7x 6
x 1 x2 x 6 . Два остальных корня находим, решая уравнение
x2 x 6 0. Таким образом, корнями знаменателя являются: x1 3, x2 1 и x3 2. Следовательно, x3 7x 6 (x 3)(x 1)(x 2) и подынтегральная
функция может быть представлена в виде |
|
x 1 |
|
|
A1 |
|
A2 |
|
|
A3 |
. |
|||||||||||
x3 7x 6 |
x 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 2 |
||||||||
Приводя к общему знаменателю, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
x 1 |
|
A1(x 1)(x 2) |
A2 (x 3)(x 2) A3 (x 3)(x 1) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x3 |
7x 6 |
3 |
|
|
x3 7x 6 |
|
|
|
|
3 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
A |
A |
A |
x2 3A |
A |
2A |
x 2A |
6A |
3A |
|
|
|
|
x3 7x 6
2 8 |
1. Неопределенныйинтеграл |
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем
|
A1 A2 A3 0, |
||
|
|
|
|
3A1 A2 2A3 1, |
|||
|
2A 6A 3A 1. |
||
|
1 |
2 |
3 |
|
Решая эту систему, находим A |
1 |
|
, A |
1 |
, |
|
A |
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
10 |
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
dx |
1 |
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
dx |
|
3 |
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 7x 6 |
10 |
|
x 3 2 |
x 1 5 |
x 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
ln |
|
x 3 |
|
|
1 |
ln |
|
x 1 |
|
|
3 |
ln |
|
x 2 |
|
C |
1 |
ln |
|
|
|
|
|
(x 2)6 |
|
C . |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x 3)(x 1)5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
1.187. Найти |
|
2x2 9x 3 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
2x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Корни знаменателя — x1 1, |
|
|
x2 0 и x3 3. Поэтому x3 2x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3x (x 1) x (x 3) |
и подынтегральная функция может быть представле- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x2 |
|
9x 3 |
|
|
A A |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
на в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Приводя к общему знаменателю, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2x2 9x 3 |
|
A x(x 3) A (x 1)(x 3) A (x 1)x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 2x2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 A3 x2 3A1 2A2 A3 x 3A2 . x3 2x2 3x
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем
|
A1 A2 A3 2, |
|
|
|
|
3A1 2A2 A3 9, |
||
|
3A2 |
3. |
|
Решая эту систему, находим A1 2, A2 1, A3 1.
Таким образом, |
2x2 9x 3 |
dx 2 |
dx |
|
|
dx |
|
dx |
2ln |
|
x 1 |
|
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
x3 2x2 3x |
x 1 |
x |
x 3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ln |
|
x |
|
ln |
|
x 3 |
|
C ln |
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
2 9 |
Задачи для самостоятельного решения
|
|
|
x2 6x 1 |
|
|
|
|
|
x 11 |
||||||||
1.188. |
|
|
|
|
|
|
|
dx. 1.189. |
|
|
|
|
dx. |
||||
x |
3 |
|
2x |
2 |
|
|
x |
2 |
x |
|
|||||||
|
|
|
5x 6 |
|
|
|
|
12 |
|||||||||
1.190. |
|
|
|
4x 2 |
1.191. |
|
|
x2 3x 5 |
|||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|||||
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
x |
3 |
|
2 |
|
|
||||||||||
|
x |
|
2x |
|
x 2 |
|
|
2x |
5x 6 |
Среди действительных корней знаменателя есть кратные
dx
1.192. Найти x3 5x2 8x 4 .
Корни знаменателя — x1 2 кратности 2 и x2 1 кратности 1. Поэтому x3 5x2 8x 4 (x 2)2(x 1) иподынтегральная функция может
быть представлена в виде |
1 |
|
|
A1 |
|
A2 |
|
|
|
A3 |
. |
|||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
x3 5x2 8x 4 |
x 1 |
|
(x 2)2 |
|||||||||
Приводя к общему знаменателю, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
|
A (x 2)2 |
A (x 1)(x 2) A (x 1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
x3 5x2 8x 4 |
|
|
x3 5x2 8x 4 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 x2 4A1 3A2 A3 x 4A1 2A2 A3 . x3 5x2 8x 4
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем
|
A1 |
A2 |
0, |
|
|
3A2 |
A3 0, |
4A1 |
|||
|
4A |
2A |
A 1. |
|
1 |
2 |
3 |
Решая эту систему, находим A1 1, A2 1, A3 1.
Таким образом, |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
dx |
|
dx |
|
|||||||||||||||
x |
3 |
|
5x |
2 |
|
|
|
x 1 |
x 2 |
2 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8x 4 |
|
|
(x 2) |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
x 1 |
|
|
|
1 |
C . |
|
|
|
|||||||||
ln |
|
x 1 |
|
ln |
|
x 2 |
|
|
|
|
C ln |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1.193. Найти |
x2 |
3x 3 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(x |
|
|
3 |
(x 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корнями знаменателя являются числа x1 2 кратности 1 и x2 1 кратности 3. Поэтому подынтегральная функция может быть представле-
на в виде |
x2 3x 3 |
|
A1 |
|
|
A2 |
|
|
A3 |
|
A4 |
|
|
(x 1)3(x 2) |
x 2 |
x 1 |
|
(x 1)2 |
|
(x 1)3 . |
|||||||
|
3 0 |
1. Неопределенныйинтеграл |
Приводя к общему знаменателю, получаем |
x2 3x 3 |
|
||
(x 1)3 |
(x 2) |
|||
|
|
A1(x 1)3 A2(x 1)2(x 2) A3(x 1)(x 2) A4(x 2) . (x 1)3(x 2)
Раскрывая в числителе правой части скобки и приводя подобные, имеем
2 |
|
|
|
A |
A |
|
x |
3 |
3A |
4A |
A |
|
2 |
|
|
||
x 3x 3 |
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|||||
(x 1)3(x 2) |
|
|
|
(x 1)3 (x 2) |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
3A 5A 3A A |
x A 2A 2A 2A |
|||||||||||||||
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
4 |
. |
||
|
|
|
|
|
(x 1)3(x 2) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в числителях правой и левой частей последнего соотношения, получаем
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3A1 4A2 A3 |
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5A2 |
3A3 A4 |
|
3, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3A1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
2A |
2A |
|
2A |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решая эту систему, находим A1 1, A2 1, A3 0, A4 1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
x2 |
3x 3 |
dx |
|
dx |
|
|
|
dx |
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
(x |
3 |
|
|
|
x |
2 |
x |
1 |
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) (x 2) |
|
|
|
|
|
|
(x 1) |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ln |
|
x 2 |
|
ln |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
C ln |
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2(x 1)2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
2(x 1)2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1.194. |
7x2 6x 17 |
|
|
1.195. |
|
|
x2 3x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1) (x 3) |
|
|
|
|
|
|
(x 1) (x |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.196. |
x3 |
8x2 |
15x 29 |
1.197. |
|
3x2 |
9x 7 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(x 2) (x |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 2) (x |
1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Корни знаменателя комплексные и различные |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1.198. Найти |
|
x3 2x2 5x 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
5 x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Корнями знаменателя являются две пары комплексно-сопряженных корней x1,2 1 2i и x3,4 2i кратности 1. Поэтому подынтегральная функция может быть представлена в виде
x3 2x2 5x 17 |
M x N |
|
M x N |
|
||
x2 2x 5 x2 4 |
1 |
1 |
|
2 |
2 |
. |
x2 2x 5 |
x2 4 |
|