eltsov-prakt
.pdf1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
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x |
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dx |
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dx7 |
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1.28. |
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e6xdx |
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1 |
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d e6x |
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1 |
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arctg |
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e6x |
C . |
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12x |
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e |
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2 |
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e |
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9 |
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6 |
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3 |
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6x |
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18 |
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3 |
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2 |
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1.29. |
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e4xdx |
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1 |
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d e4x |
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1 |
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d 2e4x |
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1 |
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2e4x |
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arctg |
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C . |
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8x |
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5 2e |
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2 |
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5 |
2e |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4e 25 4 |
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4x |
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8 |
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4x |
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8 5 |
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5 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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2 |
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2 |
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1.30. |
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sin x |
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dx |
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d(cos x) |
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1 |
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d(2cos x) |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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9 |
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2 |
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|
x |
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|
2 |
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|
2 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4cos |
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9 4cos |
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|
x |
|
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2 |
3 |
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(2cos x) |
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1 |
arctg |
2cos x |
C . |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
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|
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|
3 |
|
|
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|||||||||
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1.31. |
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cos5xdx |
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1 |
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cos5xd(5x) |
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1 |
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d(sin5x) |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
5x |
|
|
|
5 |
|
|
4 |
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5x |
5 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
d(3 sin 5x) |
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
3 sin5x |
C |
|
|
|
|
1 |
arctg |
3 sin 5x |
C . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 3 |
2 |
2 |
|
|
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|
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5 3 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
2 (3 sin 5x) |
|
|
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|
|
|
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|
|
|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
2 |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1.32. |
|
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|
|
dx |
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|
|
dx |
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|
|
|
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|
|
|
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|
1 |
|
|
|
d tg7x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
9 sin2 7x 16 cos2 7x |
9 tg2 7x 16 cos2 7x |
7 |
9 tg2 7x 16 |
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
d |
|
3 tg7x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
arctg |
3 tg 7x |
C |
|
|
|
1 |
arctg |
3 tg7x |
C . |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
7 3 4 |
|
84 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(3 tg 7x) |
|
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|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
1. Неопределенныйинтеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.33. |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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5x(16 45x) |
5 |
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16 |
3 5x |
|
|
|
5 |
|
|
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|
16 3 5x |
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|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
3 |
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
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|
3 |
|
|
|
|
|
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|
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5x |
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arctg |
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C |
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arctg |
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C . |
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4 |
3 5 |
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4 |
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Задачи для самостоятельного решения |
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1.34. |
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cos x |
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dx. |
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1.35. |
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2 |
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2 |
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x 9 4ctg |
2 |
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25 36sin |
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x |
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sin |
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x |
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1.36. |
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dx |
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1.37. |
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dx |
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. |
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1.38. |
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dx |
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x 9 7 ln2 x . |
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49 9x2 |
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25 4x2 |
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1.39. |
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xdx |
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. |
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1.40. |
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xdx |
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. |
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1.41. |
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dx |
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4 |
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9 |
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4x |
4 |
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4 cos |
2 |
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3x 25 sin |
2 |
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25 4x |
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3x |
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1.42. |
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dx |
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. |
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dx |
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2x(4 18x) |
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3x(4 27x) |
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dx |
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arcsin x |
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C arccos x C , |
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1 x2 |
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% |
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arcsin a |
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C |
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arccos a |
C |
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1.44. |
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x2dx |
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1 |
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3x2dx |
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C . |
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arcsin x |
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1 x |
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x3dx |
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4x3dx |
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d x4 |
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d 3x4 |
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1 3x |
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1 3x |
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3x |
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arcsin |
3x4 C . |
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1.46. |
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dx |
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1 |
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d(2x) |
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1 |
arcsin |
2x |
C . |
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9 4x |
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9 (2x) |
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2 |
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9 (2x) |
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2 |
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3 |
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1.47. |
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dx |
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2 |
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45 |
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(x |
2 |
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14x 45) |
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(x |
2 |
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14x |
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x 14x |
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49 4) |
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dx |
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dx |
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d(x 7) |
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arcsin |
x 7 |
C. |
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4 x2 14x 49 |
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4 (x 7)2 |
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4 (x 7)2 |
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|
2 |
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1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
1 3 |
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1.48. |
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e5xdx |
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1 |
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d e5x |
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1 |
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e5x |
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C . |
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arcsin |
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10x |
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e |
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2 |
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9 e |
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3 |
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5x |
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2 |
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|||||||||||||
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1.49. |
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e4xdx |
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1 |
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d 3e4x |
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1 |
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3e4x |
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arcsin |
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C . |
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12 |
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12 |
2 |
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8x |
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4 3e |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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4 9e |
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4x |
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cos x |
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sin x |
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4 3 cos |
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arcsin |
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d 2 |
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dx |
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3x |
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3x 25 12x |
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25 12x 2 3 |
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3x |
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arcsin |
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3x |
C . |
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5 |
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Задачи для самостоятельного решения |
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1.52. |
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cos 3x |
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dx. |
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1.53. |
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dx |
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2 |
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2 |
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9 4sin |
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3x |
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cos 5x 16 9 tg |
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5x |
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dx |
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dx |
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x 16 25 ln |
2 |
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cos 7x 36 25 tg |
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7x |
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x |
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dx |
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. |
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1.57. |
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dx |
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. |
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1.58. |
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xdx |
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. |
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49 4x2 |
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25 9x2 |
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25 9x4 |
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x2dx |
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. |
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dx |
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dx |
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1.59. |
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49 9x6 |
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1.60. |
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2x |
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4 18x . |
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1.61. |
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5x |
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9 20x |
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ex dx ex C |
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1.62. x2ex3 dx |
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1 |
ex3 d x3 |
1 |
ex3 |
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C . |
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3 |
3 |
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3 |
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1 |
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3 |
4d x3 |
1 |
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3 |
4d 5x3 |
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1.63. x2e5x |
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4dx |
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e5x |
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e5x |
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3 |
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3 5 |
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|
1 5x3 4 3 1 5x3 4
15 e d 5x 4 15 e C .
1 4 |
1. Неопределенныйинтеграл |
|
|
1.64. e4 sin 3x cos 3x dx |
1 |
|
|
e4 sin 3xd(sin 3x) |
1 |
|
e4 sin 3xd(4 sin 3x) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
3 4 |
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3 |
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1 |
e4 sin3x C . |
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|||||||
12 |
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1.65. |
e |
3 ctg2x |
|
dx |
1 |
|
e3 ctg2xd(3 ctg 2x) |
1 |
e3 ctg2x C . |
|
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sin |
2 |
2x |
|
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6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
6 |
|
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Задачи для самостоятельного решения |
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1.66. e3x2 ln xdx . |
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1.67. e2cos 5x sin5x dx. |
|
|
1.68. x4e3x5 dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.69. e ln3 x 5 |
ln2 x |
|
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|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
1.70. ecos2 7x sin14x dx . 1.71. |
e5 x |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
x |
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|
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|
|
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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||||||
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cos x dx sin x C , |
|
sin x dx cos x C |
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|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.72. cos 3x dx |
1 |
|
cos3x d(3x) |
1 |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
sin 3x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.73. x2 cos 2x3 3 dx |
|
1 |
|
cos (2x3 3) d x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
cos 2x3 3 d 2x3 |
1 |
sin 2x3 3 C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 2 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.74. sin5x dx |
1 |
|
sin5x d(5x) |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
cos 5x C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
5 |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.75. x3 sin 5x4 6 dx |
|
|
1 |
sin 5x4 4 d x4 |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
sin 5x4 |
|
6 d 5x4 |
1 |
|
cos 5x4 6 C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 5 |
|
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20 |
|
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|
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|
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|
Задачи для самостоятельного решения |
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
1.76. cos9x dx . |
|
1.77. sin (7x 8) dx . |
1.78. |
1 |
|
sin 3 |
|
|
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.79. |
cos 5 ln x |
dx. |
1.80. ex cos 2ex 5 dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
x |
|
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|
|
|
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|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
dx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
||||||||||||||
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
x |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.81. |
|
|
1 dx |
|
|
1 |
|
1 |
|
cos |
1 |
C . |
|||
sin |
|
|
|
sin |
|
d |
|
|
|
||||||
x x2 |
x |
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
1 5 |
|
|
1 x4 |
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 x4 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
1.82. e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1.83. cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
C . |
|
|
||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
x |
4 |
|
3 |
|
x |
3 |
|
|
|
3 |
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи для самостоятельного решения |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 2x3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||||
1.84. e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
1.85. |
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
1.86. |
|
|
|
sin |
|
dx . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
7 |
|
|
x |
6 |
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|||||||||||
|
|
|
Разные задачи для самостоятельного решения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
на подведение под знак дифференциала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1.87. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. 1.88. |
e 2 |
dx . |
1.89. sin4 7x cos7x dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
3 2x |
|
|
|
e3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.90. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
1.91 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x dx |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||
cos2 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 tg3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2sin2 x 3 cos2 x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1.92. |
e 8x e8x |
|
|
|
|
|
|
1.93. |
|
|
|
|
|
sin x cos x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
e |
8x |
|
|
|
|
|
8x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin x |
|
8cos |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 5 arcctg x |
|
|
|
|
|||||
1.94. |
7 |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||
|
|
|
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|||
1.97. |
|
|
|
x6 |
dx |
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7 |
7 |
||||||||||
|
|
|
|
x 9 |
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
||
1.100. |
|
|
e 5 |
dx. |
|||||||
|
|
2x |
|||||||||
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
2x
1.102. 5 x2 dx.
1.95.
1.98.
1.101.
1.103.
|
|
sin x |
|
dx. |
1.96. |
|
|
e2x dx |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
1 2e |
|
|
|||||||
|
|
|
dx |
|
. |
1.99. |
|
|
sin2x dx |
. |
|
||||||||
|
|
|
|
100 |
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3sin x 4 |
|
|
||||||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
7 ln 2x 2 |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
3 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lnx 1 |
|
1.104. |
|
x3 3x |
dx. |
||||||||||
x 2ln2 x 3 dx. |
|
|
|||||||||||||||||
|
3 x4 |
1.105. |
|
x2 dx |
|
|
. 1.106. |
|
sin x |
|
dx . |
1.107. |
|
cos2 2x sin2x dx. |
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
10 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
x3 |
|
|
|
5 cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1.108. |
|
|
|
x |
|
|
1.109. |
|
3x5 4 ln2 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
dx. |
|
dx. |
1.110. x 3 x2 dx . |
|||||||||||||||||||||||
5 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
x2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1.111. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
1.112. |
|
|
dx |
|
1.113. |
4 tg x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
dx. |
||||||||||
|
x |
2 |
1 arcctg |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
5 |
2 |
x |
|
|
|
|
cos |
x |
1 6 |
1. Неопределенныйинтеграл |
1.114. |
|
x dx |
. 1.115. |
|
arctgx 1 |
dx. |
1.116. |
1 |
sin |
2 |
dx. |
|||||
|
|
|
2 |
2 |
|
x |
3 |
x |
2 |
|||||||
|
4 |
|
3x3 |
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2.2. Интегрирование по частям
Предварительно рекомендуется изучить п. 1.2.2 из [5].
Иногда подынтегральное выражение можно представить в виде
U(x)dV(x) , где U(x) и V(x) — дифференцируемые функции, и интеграл
V(x) dU(x) вычисляется проще, чем исходный. Тогда имеет смысл вос-
пользоваться формулой
U(x)dV(x) UV V(x)dU(x),
называемой формулой интегрирования по частям.
1.117. Вычислить xe2xdx.
Положим U x, dV e2xdx. Тогда dU dx, dV e2xdx 0,5e2x C ,
и в качестве V можем взять V |
1 |
e2x . Поэтому |
xe2xdx |
1 |
xe |
2x |
||||||
2 |
2 |
|||||||||||
|
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2xdx |
|
xe2x |
|
e2x C . |
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1.118. Вычислить x sin 4xdx . |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Полагаем U x, |
dV sin 4x dx. Тогда dU dx, |
dV sin 4xdx |
|
1 |
cos 4x C , и в качестве V |
можем взять V |
1 |
cos 4x . Следователь- |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
но, x sin 4xdx |
|
|
x cos 4x |
|
|
cos 4xdx |
|
|
|
x cos 4x |
|
sin 4x C . |
||||||||||||||||
4 |
4 |
|
4 |
16 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1.119. Вычислить (x 4) cos5xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
Полагаем U x 4, dV cos 5xdx. Тогда dU dx, |
dV cos5xdx |
|||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
sin 5x C , и в качестве V можем взять V |
1 |
sin 5x , поэтому |
|||||||||||||||||||||||
5 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
1 |
sin5xdx |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||||
(x 4) cos5xdx |
|
(x 4) sin 5x |
|
|
|
|
(x 4) sin 5x |
|
cos5x C . |
|||||||||||||||||||
5 |
5 |
5 |
25 |
Обратим внимание на то, что при использовании формулы интегрирования по частям нужно удачно выбрать U и dV, чтобы интеграл, полученный в правой части формулы, находился легче. Пример, как лучше не делать, приведен в [5]. Основные рекомендации здесь следующие.
1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
1 7 |
Если подынтегральная функция есть произведение полинома
(многочлена) на экспоненту ex exp(x) или тригонометрическую
функцию, то обычно в качестве U(x) выбирают полином, а все остальное относят к dV(x).
Иногда требуется применить формулу интегрирования по частям несколько раз, например при вычислении следующих интегралов.
1.120. Вычислить x2 3x sin 2xdx .
Полагаем U x2 3x, dV sin2xdx. Тогда dU (2x 3)dx, V 1 cos 2x
2
и x2 3x sin 2xdx 12 x2 3x cos 2x 12 (2x 3)cos 2xdx . Для вычис-
ления второго слагаемого снова применяем формулу интегрирования
по частям, полагая U 2x 3, |
|
dV cos 2xdx. Тогда dU 2dx, V |
1 |
sin 2x, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||
и поэтому |
|
|
2x 3 |
|
cos 2xdx |
|
|
2x 3 |
|
sin 2x |
|
|
2sin 2xdx |
|
|
2x 3 |
|
sin2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
cos 2x C . Таким образом, |
|
x2 |
3x sin 2xdx |
|
|
x2 |
3x cos 2x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
3 |
|
sin 2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
4 |
|
|
|
2x |
|
|
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.121. Вычислить x 3 tg2 7x dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Полагаем U x 3, |
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dV tg2 7x dx. Тогда dU dx, |
|
tg2 7x dx |
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|
|
|
|
|
2 |
7x |
|
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|
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|
2 |
7x |
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1 |
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|||||
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sin |
dx |
|
1 cos |
dx |
|
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|
tg 7x x C и в качестве V можем взять |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
7x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
cos |
|
|
|
|
|
cos |
7x |
|
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|
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7 |
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|||||||||||||||||
1 |
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x 3 tg |
2 |
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1 |
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|||||||||||||||||||
|
|
|
tg7x |
x . Поэтому |
|
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7x dx |
|
|
tg7x x (x |
3) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
|
|
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|
|
7 |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||
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1 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
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|
|
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|
x |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
tg 7x x |
dx |
|
|
|
tg7x x |
|
|
|
ln |
cos7x |
|
|
|
C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7 |
7 |
49 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
x 3 |
|
tg7x |
|
3x |
|
1 |
ln |
|
|
cos7x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
49 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||
|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
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|
1.122. Вычислить arcsin2 3x dx . |
|
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|
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|
|
|
|
|
|
Полагаем U arcsin23x, |
|
dV dx. Тогда |
|
dU |
6 |
arcsin 3 |
x |
dx , |
V x и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
arcsin2 3x dx x arcsin2 3x 6 |
|
|
|
x |
|
|
arcsin 3x dx . Для нахождения |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 9x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
1 8 |
1. Неопределенныйинтеграл |
второго слагаемого снова применяем формулу интегрирования по частям,
полагая U arcsin 3x, dV |
|
|
x dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
3dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
d 1 9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Тогда dU |
|
|
, |
|
|
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 9x2 |
C , |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
1 |
9x |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 9x |
|
|
|
1 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
и в качестве V можно взять V |
|
1 9x2 . Таким образом, окончатель- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
но получаем arcsin2 3x dx x arcsin2 3x 6 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
arcsin 3x dx |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 9x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3dx |
|
|
|
|
|||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||
x arcsin 3x 6 |
|
|
|
1 9x |
|
|
arcsin 3x |
|
|
1 9x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x arcsin |
|
3x |
||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 9x |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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2 1 9x2 arcsin 3x 2x C . 3
1.123. Вычислить x arctg25x dx .
|
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|
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|
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|
|
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|
2 |
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 2 arctg5x |
dx , V |
1 |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
Пусть U arctg |
5x, |
|
dV xdx. Тогда |
|
dU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 25x2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 arctg5x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
и x arctg 5x dx |
|
|
|
x |
arctg |
|
5x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. Полагаяво втором сла- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
1 25x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
гаемом U arctg 5x, dV |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
dx , имеем dU |
|
|
5dx |
|
, |
|
x2 |
|
|
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 25x |
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 25x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 25x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
25x2 1 1 |
|
dx |
|
1 |
|
x |
|
|
1 |
|
arctg5x C , поэтомув качестве V мож- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
1 25x2 |
|
|
|
|
|
125 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
но взять V |
1 |
x |
|
1 |
|
arctg 5x и, следовательно, |
|
|
|
|
x2 |
|
|
arctg 5x dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
125 |
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
arctg 5x arctg 5x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
arctg 5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
|
|
125 |
|
|
|
|
|
125 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 25x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
arctg 5x arctg 5x |
|
|
|
ln 1 25x |
|
|
arctg |
|
|
5x |
C |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25 |
125 |
250 |
250 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
ln 1 25x2 C . Окончательно полу- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x arctg 5x |
|
arctg 25x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
25 |
250 |
250 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
чаем |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x arctg 5x dx |
|
2 |
|
|
50 |
arctg |
|
|
|
5x |
5 |
x arctg 5x |
50 |
|
ln 1 25x |
|
C . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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1.2. Приемы нахождения неопределенного интеграла |
1 9 |
1.124. Вычислить ln2(x 2) dx . |
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2 |
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dV dx. Тогда dU |
2ln(x 2) |
dx , dV |
||||||
Полагаем U ln |
(x + 2), |
|
|
|
||||||||||
|
x 2 |
|||||||||||||
dx x C . |
Если взять V x, то дальнейшие преобразования получа- |
|||||||||||||
ются не очень хорошими. Взяв V x 2, |
имеем ln2(x 2) dx |
|||||||||||||
|
2 |
(x 2) 2 (x 2) |
ln(x 2) |
|
|
2 |
|
2) 2 ln(x 2)dx . |
||||||
(x 2) ln |
|
|
|
|
dx (x 2) ln (x |
|||||||||
|
|
x 2 |
||||||||||||
Применяя ко второму слагаемому формулу интегрирования по частям |
||||||||||||||
с U ln(x 2), dV dx, имеем dU |
|
dx |
, dV x C и, взяв V x 2, име- |
|||||||||||
x 2 |
|
ем ln(x 2) dx (x 2) ln(x 2) |
dx (x + 2) ln(x + 2) – x + C. Поэтому |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln2(x 2) dx (x 2)ln2(x 2) 2(x 2) ln(x 2) 2x C . |
|
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1.125. Вычислить x ln2 3x dx . |
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|
|
Полагаем U ln23x, |
dV xdx. Тогда |
dU |
2ln 3x |
dx , V |
1 |
x2 , и по- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
x |
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|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
2 2 |
|
|
x2 2 ln 3x |
|
|
|
|
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|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
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|
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||||||||||||||||||
этому x ln 3x dx |
|
|
x |
|
ln |
3x 2 |
|
x |
|
|
dx |
|
x |
|
|
ln |
|
3x |
x ln 3xdx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Применяя ко второму слагаемому формулу интегрирования по частям |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с U ln 3x, dV xdx, |
имеем x ln 3x dx |
1 |
2 |
ln 3x |
1 |
xdx |
1 |
|
|
|
2 |
ln 3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||
|
|
x C . Поэтому |
|
x ln2 3x dx |
|
|
x2 ln2 3x |
|
|
|
|
x2 ln 3x |
|
|
x2 |
C . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
2 |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.126. Вычислить ln 3x2 4 dx . |
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||||||||||||||||||||
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|
Полагаем U ln 3x2 4 , dV dx . |
Тогда |
dU |
|
|
6xdx |
|
|
, |
V x, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
3x |
4 |
|
|
|
||||||
и |
поэтому |
ln 3x |
2 |
4 dx x ln 3x |
2 |
4 |
|
|
|
|
|
6x2 |
|
|
dx x ln 3x |
2 |
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3x2 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 4 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||
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|
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|
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|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
dx x ln 3x |
|
4 2x |
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
|
3x2 4 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1.127. Вычислить |
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x5 |
dx . |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
4 1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
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|||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
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|
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||||||
|
|
Интеграл вычисляется либо интегрированием по частям с U x3, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dV |
|
|
x2dx |
, |
либо с помощью замены переменной z 1 x3. В первом |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 1 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 0 |
1. Неопределенныйинтеграл |
случае dU 3x2dx, V |
4 |
|
1 x3 3 4 |
, ипоэтому |
|
|
x5 |
|
|
|
|
dx |
|
4 |
x3 1 x3 3 4 |
|
||||||||||||||||||||||||||
9 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
4 |
1 x3 3 4 |
3x2dx |
|
4 |
x3 1 x3 3 4 |
|
16 |
1 x3 7 4 |
C . Во втором случае |
||||||||||||||||||||||||||||||||
9 |
9 |
63 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
3 |
z 1, и поэтому |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
dz 3x |
dx, x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
dz |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
3 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 x |
3 |
|
z |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1 |
|
|
1 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
7 4 |
4 |
|
3 4 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
z3 4dz |
|
z 1 4dz |
|
z7 4 |
|
z3 4 |
|
C |
|
|
1 x3 |
|
|
|
1 x3 |
C . |
||||||||||||||||||||||||
3 |
3 |
21 |
9 |
21 |
9 |
|
Спомощью интегрирования по частям вычисляется пятый интеграл
вконтрольной работе 5 пособия [5]. Шестой интеграл находится аналогично примеру 1.127.
Задачи для самостоятельного решения
1.128.
1.131.
1.133.
1.135.
1.137.
|
|
arcsin5 |
x |
|
|
1.130. ln2(2x 3) dx. |
|||
|
|
dx. |
1.129. x7 5 |
8 x4 |
dx . |
||||
|
|
|
|||||||
|
|||||||||
|
|
1 5x |
|
|
|
|
|
||
ln x2 9 dx . |
|
1.132. (x 2) arctg 5x dx . |
|||||||
(x 3) sin 5xdx . |
1.134. ln(3x 4)dx . |
|
ln 7x2 4 dx . 1.136. arctg 4x dx .
(2x 3)tg22xdx. 1.138. 3x2 5 ln xdx .
1.139.
1.142.
arcctg7xdx . 1.140. (3x 1)e4xdx. 1.141.
e3x cos 5x dx. 1.143. e7x sin3x dx. 1.144.
4
x7ex dx .
x3e3x2 5dx .
1.145. (4x 1) arctg 2xdx . 1.146. x ln2 (x 3) dx.
1.2.3.Простейшие преобразования
подынтегрального выражения
Рекомендуется предварительно изучить п. 1.2.3 из [5].
Выделение целой части
Суть приема видна из примеров.
1.147. |
x |
dx |
1 |
|
3x |
dx |
1 |
|
3x 2 2 |
dx |
1 |
dx |
2 |
|
dx |
|
3x 2 |
3 |
3x 2 |
|
3x 2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
3 |
|
3 |
3 |
|
3x 2 |
1 x 2 ln 3x 2 C . 3 9