eltsov-prakt

2.3. Несобственные интегралы

6 1

Сходимость первого слагаемого установлена в предыдущем примере. Рассмотрим второе слагаемое:

1

dx

1 d(ln x)

1

1

lim

lim

3

3

2

1 e

x ln

x

0

1 e

ln

x

0

2ln

x

1 e

	1						1
			lim
						2
	2		0				(1	)
				ln

1 .

Таким образом, мы получили расходящийся интеграл. Следовательно, исходный интеграл расходится.

2		dx
2.53. Выяснить сходимость интеграла				.
		2
0		4 x

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 2. Поэтому

2		dx			2							dx										x					2																									2
			lim										lim arcsin																		lim									arcsin																				arcsin 0													.
																						2																																2																		2
0 4 x2			0			0					4 x2		0														0					0
		Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 2.
																																4								dx
		2.54. Выяснить сходимость интеграла																																												.
																																					4
																																3							x 3
		Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 3. По опре-
						4						dx				4				dx																		4													3 4						4							4
делению имеем													lim																lim												(x						3)																					.
						3 4 x 3							0 3				4 x 3													0								3																			3 3
		Следовательно, интеграл сходится и его значение равно 4 3.
																																3										dx
		2.55. Выяснить сходимость интеграла																																																	.
																																															6
																																				5
																																1								3 x
		Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 3. По опре-
						3						dx				3										dx										lim 5(3 x) 1 5																															3 .
делению имеем															lim
						1 5 (3 x)6										0	1 5 (3 x)6																								0																										1
		Следовательно, интеграл расходится.
																																5								dx
		2.56. Выяснить сходимость интеграла																																												.
																																				3
																																2						4 x
		Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 4. Поэтому
разбиваем интеграл на сумму двух:																						5							dx											4				dx											5							dx								.
																						2		3																2		3													4 3
																													4 x															4 x																		4 x
		Для первого из них имеем
			4		dx								4			dx														3																				4								3
																																3										2																				3
											lim								lim																	(4 x)																											4 .
				3											3																																											2
			2		4	x						0	2			4 x							0 2																											2

Аналогично доказывается сходимость второго слагаемого. Следовательно, исходный интеграл сходится.

6 2	2. Определенный интеграл

Задачи для самостоятельного решения

Используя определение, выяснить сходимость несобственных интегралов второго рода.

	e				dx								1							dx								1						dx
2.57.								.					2.58.										.				2.59.											.
				5													7
																																	3
	1 x				4ln x								0 x						2 ln x									0 x					ln			x
	1					dx								6						dx								3				dx									5		dx
2.60.	0,5											.	2.61.	3								.					2.62.	2							.			2.63.			2				.
				x5													4												5													3
						7 ln x													x 3												3 x												x 3
	3				dx									4						dx								4						dx
2.64.										.			2.65.													.	2.66.													.
							5									3		(4 x)						4								3		(x		3)		4
	1 (3 x)													0														1

Не всегда удается выяснить сходимость несобственных интегралов с помощью определения. Иногда в этом помогают теоремы сравнения, сформулированные ниже.

Аналогично случаю несобственных интегралов первого рода формулируются признаки сравнения для несобственных интегралов второго рода.

Теорема сравнения в непредельной форме. Пусть для всякого b x b выполнено неравенство 0 f(x) g(x). Тогда если интеграл

b	b
g(x)dx	сходится, то интеграл f(x)dx сходится, а если интеграл
a	a
b	b
f(x)dx	расходится, то интеграл g(x)dx расходится.
a	a

Теорема сравнения в предельной форме. Если f(x) и g(x) —

неотрицательные бесконечно большие одного порядка роста, то есть

f(x)

b

b

lim

K 0, ,

то интегралы

f(x)dx

и g(x)dx либо оба схо-

x b g(x)

a

a

дятся, либо оба расходятся.

1

dx

b

dx

b

dx

Интегралы

,

,

используются в признаке

(x a)

x)

0 x

a

a

(b

сравнения в качестве эталонных.

Заметим, что эти интегралы сходятся при 1 и расходятся при 1.

3

dx

2.67. Выяснить сходимость интеграла .

2 3x 3 5 2 x2

Подынтегральная функция имеет особенность в точках x 3 и x 2 . Точки x 2 в промежуток интегрирования не входят. Поэто-

2.3. Несобственные интегралы

6 3

му,	находя порядок роста этой функции относительно																																	1	, имеем
																																		3 x
																											,					если 1 3;
				1					1				(3 x)														1
lim								:			lim																					,	если 1 3;
x 3		3	x 3	5	2	2			2		x 3 3		x 3	5	2			x			2					5	7
						x			(3 x)
																											0,					если 1 3.
	Таким образом, порядок роста равен 1 3 и интеграл сходится.
															4							dx
	2.68. Выяснить сходимость интеграла																													.
																					3
																									x			2
																			x			16
															2

Подынтегральная функция имеет особенность в точках x 0 и x 4. Точки x 0 и x 4 в промежуток интегрирования не входят. Поэтому,

находя порядок роста этой функции относительно

1

, имеем

4 x

,

если 1 3;

1

lim

(4 x)

lim

(4 x)

,

если 1 3;

4

3 16 x2

x 3 4 x 3 4 x

x 4

x

x 4

если 1 3.

0,

Таким образом, порядок роста равен 1 3 и интеграл сходится.

1

tg 2x

2.69. Выяснить сходимость интеграла

dx .

2

0

x

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 0. Находя порядок роста этой функции относительно 1x , имеем

x

x

,

если 1,5;

tg 2x

2

tg 2x

lim

lim

2,

если 1,5;

x2

3

x 0

x 0

2x x

0,

если 1,5.

Таким образом, порядок роста равен 1,5 и интеграл расходится.

1 3 1 cos 2x

2.70. Выяснить сходимость интеграла dx .

x

0

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 0. Находя порядок роста этой функции относительно 1x , имеем

3

3

3

,

если 1 3;

2sin2

x

1

cos 2

x

2

x

lim

x

lim

3 2,

если 1 3;

x

3

x 0

x 0

2x

2 3

x

0,

если 1 3.

Таким образом, порядок роста равен 13 и интеграл сходится.

6 4	2. Определенный интеграл

1	ln 1 27
		x
2.71. Выяснить сходимость интеграла				dx .
	x
0

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 0. Находя порядок роста этой функции относительно 1x , имеем

7

7

,

если 6 7 ;

x

x

x

x

ln 1 2

2ln 1 2

lim

lim

2,

если 6 7 ;

x

7 x6

x 0

x 0

2 7

x

0,

если 6 7.

Таким образом, порядок роста равен 67 и интеграл сходится.

1 esin x 1

2.72. Выяснить сходимость интеграла x dx .

0

Подынтегральная функция имеет особенность в точке x 0. Находя порядок роста этой функции относительно 1x , имеем

lim	x	e sin x 1	lim
		x
x 0			x 0

x

,

если 0,5;

e sin x 1

sin x

1,

если 0,5;

sin x x

x

если 0,5.

0,

Таким образом, порядок роста равен 0,5 и интеграл сходится.

2		dx
2.73. Выяснить сходимость интеграла
				.
1	2 x (x 1)

Подынтегральная функция имеет особенность в точках x 2 и x 1. Обе входят в промежуток интегрирования. Разбиваем интеграл на два, например, следующим образом:

2		dx			1,5		dx			2		dx
														.
1					1					1,5
	2 x (x 1)					2 x (x 1)						2 x (x 1)

Первый из этих интегралов расходится, так как порядок роста подынтег-

ральной функции при x 1 относительно 1 равен 1, а второй — схо-

1 x

дится, так как порядок роста подынтегральной функции при x 2 отно-

сительно	1	равен	1	. Так как одно из слагаемых есть интеграл
	2 x	2

расходящийся, то и исходный интеграл расходится.

Задачи для самостоятельного решения

Используя теорему сравнения, выяснить сходимость следующих несобственных интегралов. (В ответе указаны: точка, в которой функция бесконечно большая; порядокростаподынтегральной функции относительно пробной функции; сходимость.)

3								3			2	3
							x		x
2.74.		dx			. 2.75.					dx .	2.76.	tg x	dx .
												2
2	9 x2 3			x 3	0		sin x				0	x

2.4. Приложения определенного интеграла

6 5

2	e	4			sin x								1													1			ln 1								3		x										3					dx
2.77.																	dx.						2.78.																						dx .		2.79.																	.
																																																			5
							x			3																								x																											3
0																										0																							1			27 x
3								dx																		2				dx																	4							dx
2.80.																					. 2.81.																				.				2.82.																							.
																																																									4
																		5									5																									3														2
1 3			81 x												4											1				64 x																	2			(x 2)									16 x
5														dx																1 5
																																				1 cos 4x
2.83.																									.	2.84.																					dx .
																5																												x
																						x	2
1						x 2												4												0
																										2 ln 1 3																1															4
1 e																																							x														2 e
					tg3x 1																																																					x			1
2.85.																	dx.						2.86.																							dx .			2.87.																	dx .
									2																																														sin						3	x
0					x																					0								sin x																		0
														5
4	1						3					x					1													4	e	4			x 1
2.88.																						dx .				2.89.																		dx .
								sin x																							3
0																														0			sin x

2.4. Приложения определенного интеграла

Рекомендуется предварительно прочитать подразд. 2.7 из [5].

2.4.1. Вычисление площадей плоских фигур

Назовем трапецию простейшей областью первого типа, если она огра-

ничена кривыми x a, x b, y f1(x), y f2(x) и для всех x [a, b] выполнено неравенство f1(x) f2(x). Для простейшей области площадь S криво-

линейной трапеции равна

b

S f2(x) f1(x) dx .

a

Аналогично, если 1(y) 2(y) для всех y [c, d], то для криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y c, y d, x 1(y), x 2(y) (простейшей области второго типа), имеем

d

S 2(y) 1(y) dy .

c

В общем случае плоскую область разбивают на простейшие области рассмотренных выше типов.

2.90. Найти площадь фигуры, ограниченной

линиями y x5		и y x.
Эти кривые пересекаются в точках A(0, 0)
и B(1, 1). Поэтому
1	5		x2			1		x6			1		1	1			1
S	x x	dx																.
			2					6					2		6		3
0						0					0

6 6	2. Определенный интеграл

2.91. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 3x 4

и x y 2 0.

Эти кривые пересекаются в точках A(0, 2) и B(7, 5). В данном случае лучше рассматривать

простейшую область второго типа.												Поэтому
	5		y2 4				y2			10y		y3			5	1
S		y 2			dy											19		.
			3					2		3
												9				18
	2														2
2.92. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линия-
ми x 0, x /2, y 0, y sinx.
2						0 2
В данном случае S sin xdx cos x							(0 1) 1.
0

2.4.2. Вычисление объемов

Пусть область такова, что для x [a, b] известна площадь S(x) сечения плоскостью x const. В этом случае для вычисления объема спра-

b

ведлива формула V S(x)dx .

a

Для тел, полученных вращением криволинейной трапеции a x b,

	b	b
0 y f(x)	вокруг оси OX, имеем V y2dx f2(x)dx .
	a	a

b

Если эту трапецию вращать вокруг оси OY, то V 2 xf(x)dx .

a

Аналогично для тел, полученных вращением криволинейной трапеции c y d, 0 x (y) вокруг оси OY, имеем

d d

V x2dy 2 (y)dy.

c c

d

Если эту трапецию вращать вокруг оси OX, то V 2 y (y)dy .

c

2.93. Трапеция ограничена кривыми y sinx (0 x ) и y 0. Вычислить объем тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси OX.

Подставляя в формулу, получаем

V f2(x)dx sin2

0 0

		1 cos2x	x			sin 2x			2
	xdx		dx							.
		2		2		4			2
	0						0

2.4. Приложения определенного интеграла

6 7

2.94. Трапеция ограничена кривыми y x2, y 0, x 1. Вычислить объем тела, полученного вращением этой трапеции вокруг оси OY.

Подставляя в формулу, получаем

	1	1	3		2
	V 2 xf(x)dx 2 x			dx
						.
					4
	0	0

2.4.3. Вычисление длины дуги кривой

x x(t),

Если кривая в пространстве задана параметрически y y(t),

z z(t),

t [ , ], или, что то же самое, в векторной форме

r r(t) x(t)i y(t)j z(t)k x(t),y(t), z(t) T

то длина этой кривой вычисляется по формуле

x(t)

y(t) ,

z(t)

			2		2			2 dt.
l		x		y			z
		t		t			t

В случае плоской кривой (кривой на плоскости), заданной параметри-

чески x x(t), t [ , ], или, что то же самое, в векторной форме

y y(t),

r r(t) x(t)i y(t)j	x(t)						T
				x(t),y(t)				,
	y(t)
предыдущая формула приобретает вид		l			t			t
					x (t)	2	y (t)		2 dt .

Для плоской кривой, заданной явно уравнением y f(x), длина дуги вычисляется по формуле

	b
		1 f (x) 2 dx .
	l
	a

Если кривая задана в полярной системе координатуравнением ( ), то для вычисления длины кривой справедлива формула

		2	2 d .
l

2.95. Найти длину дуги кривой y ln cos x, заключенной между точками x1 /6 и x2 /3.

6 8	2. Определенный интеграл

Кривая задана явно. Находя производную, имеем y sin x tg x . cos x

Подставляя в формулу для нахождения длины дуги кривой, заданной явно, получаем

					3										2													3					dx							3					cos xdx
			l					1				sin x							dx																																			.
												2																																	2
					6							cos					x											6 cos x												6						cos x
	Делая замену sin x t, получаем
																																																											3	2
			3 2 dt								1 3 2 1																			1											1								t 1
	l	1 2											1 2																					dt									ln													1 2
					1 t2						2							t 1											t 1												2									t 1
															1								3				2						ln 3
																	ln																						.
															2							3						2
																																		a cos								3		t,
	2.96. Найти длину дуги кривой																													x
																																																		заключенной между
																														y a sin3 t,
точками t1 0			и t2 .
	Кривая задана параметрически. Вычисляя xt и																																																										yt , получаем
x	3a cos2 t sin t,						y		3a sin2 t cos t.																					Подставляя в формулу вычисления
t							t
длины дуги кривой, заданной параметрически, имеем
																																									3a
									4						2									4									2
	l 3a						cos			t sin							t sin											t cos						t dt															sin 2t									dt
																																										2
		0																																										0
										2																							cos 2t						2
							3a sin 2t dt 3a																																			3a .
																																		2					0
										0																								1
	2.97. Найти длину дуги кривой																																				, заключенной между точка-

cos

ми 1 0 и 2 /4.

sin

Кривая задана в полярной системе координат. Находим cos2 .

Подставляя в формулу вычисления длины дуги кривой, заданной в полярной системе координат, имеем

4

l

0

sin2						1						4
										d
cos	4				cos		2
												0
				4			d
											tg
								2
				0		cos

sin2 cos2 d cos4

4 1.

0

2.4. Приложения определенного интеграла

6 9

2.4.4. Вычисление количества электричества

Пусть по проводнику течёт ток с силой I(t) и I(t) 0 для всех

1	2	.	Разобьём отрезок времени	1	2		на части точками
t T ,T				T ,T
T1 t0	t1		... tn T2 . Пусть, далее, ti	ti 1	ti, i 0, 1, ..., n 1. Тогда

количество электричества, протекшее по проводнику за время ti, равно

Qi I i ti , где i — некоторый момент времени между моментами ti и ti 1 ti ti. Суммируя по всем участкам разбиения и переходя к пределу по всевозможным разбиениям, получаем величину количества электричества, протекшего по проводнику за время от момента T1 до момен-

	T2
та T2, равную	Q I(t)dt. Если сила тока I(t) меняет знак за отрезок
	T1
	T2
времени от T1	до T2, то Q I(t)dt равно разности между количеством
	T1

электричества, протекшим по проводнику в ту и другую стороны.

2.98. Падениенапряжения в электрической цепи 220 В. В цепь включена постоянная нагрузка с сопротивлением 15 Ом и дополнительно вводится сопротивление со скоростью 0,2 Ом/с. Какое количество электричества протечёт по цепи за 1 мин?

По закону Ома падение напряжения U, сила тока I и сопротивле-

ние R связаны между собой соотношением	I	U	. По условиям задачи
		R
			t
сопротивление цепи изменяется по закону	R(t) 15 0,2dt 15 0,2t .
	0
Тогда, по закону Ома, сила тока изменяется по закону I(t)				U		220
				R(t)
						R(t)

220 . Поэтому количество электричества, протекшее по проводни15 0,2t

ку за 1 мин, равно

60	I(t)dt	60			220	dt	220		15 0,2t		60
								ln
			15		0,2t	0,2					0
0		0

1100 ln 15 12 ln15 1100 ln1,8 Кл.

7 0	2. Определенный интеграл

2.4.5. Вычисление длины пути

Пусть тело движется со скоростью

1 2

Разобьём отре-

v f(t), t T ,T .

зок времени T ,T

на части точками T

1

t

0

t

1

... t

n

T

. Пусть,

1

2

2

далее, ti ti 1 ti,

i 0,1,...,n 1. За время ti

тело пройдёт путь f i ti ,

где i — некоторый момент времени между моментами ti и

ti 1

ti ti .

Суммируя по всем участкам разбиения и переходя к пределу по всевозможным разбиениям, получаем величину пути, пройденного телом за вре-

			T1
мя от момента T0 до момента T1,	равную S		f(t)dt. Средняя скорость,
			T0
развиваемая телом от момента T	0	до момента T , равна		v		S
			1	ср	T1	T0

1T1

f(t)dt . Пусть a(t) — ускорение, а v(t) — скорость, с которыми

T0 T0T1

движется тело. Тогда a(t) v (t). Поэтому если тело, начальная скорость

которого v t0 , движется с ускорением a(t), то скорость тела в момент

t

времени t равна v(t) v t0 a(t)dt.

t0

2.99. Начальная скорость тела v(0) 2 м/с. Тело движется с ускорени-

ем a(t) 1 t . Определить путь, пройденный за 15 с после начала движе-

ния, и среднюю скорость за это время.

Так как ускорение переменное, то скорость тела в момент времени t равна

						t											2						3 2		t	2			3 2			2					4				2			3 2
	v(t) 2						1 tdt 2													1 t					2		1 t															1 t			м/с.
																										3
																	3								0					3 3											3
						0																							15							2
		Тогда путь, пройденный телом, равен S																												4								1		t 3 2			dt
																													0
																														3				3
		4	t	4		1 t			5 2					15					4392			292,8 м, а средняя скорость за 15 с дви-
				15													15
	3													0
жения равна							v					S						4392			19,52 м/с.
							ср				15						225