45.Ф-я распределения вероятности

Пусть имеется сов-ть очень большого числа N одинаковых молекул, находящихся в равновесном состоянии (сост. сист. наз. равновесным, если ее состояние не изменяется с течением времени, причем равновесность состояния не связана с процессами, происходящими во внешней среде).

Предположим, что некоторая величина , хар-ющая некоторое число молекул, может принимать ряд дискретных значений. это значит, что из всего ансамбля молекул всегда найдутсямолекул, которые имеют значения величины. Величина(1) наз. вероятностью того, что величинаимеет значение, причем, тогда, т.е. сумма вероятностей всех возможных значений величины= 1.

Допустим, что молекулы характеризуются значениями 2-х физ. величин , каждая из которых может принимать ряд дискретных значений. Согласно формуле (1), вероятности этих значений равны, если значение одной из величин не зависит от значения другой, то величиныназ. статистически независимыми.

Вероятность того, что статистически независимые величины имеют одновременно значения и, выражается формулой, т.е. вероятности умножаются.

Теорема об умножении вероятностей говорит, что вероятность одновременного появления статически независимых событий = произведению вероятностей этих событий.

Сейчас рассм. случай, когда величина имеет значения, заключенные в пределах малого интервала.

и определим, какова вероятность этого события. Очевидно, что при малом это вероятность пропорциональна этому, и если значение величинывдоль осиX задается какой-то ф-ей f(x), то вероятность того, что величина будет нах-ся в интервалеопределится формулойа ф-яf(x) задает место расположения этого интервала . Ф-яf(x) наз. ф-ей распределения вероятности, или плотностью вероятности.

Умножив на полное число молекулN, мы получим количество молекул, обладающих значениямиx и заключенных в пределах интервала .

Тогда интеграл, взятый по всему интервалу возможных значений x, т.е. сумма , должен равняться полному числу молекулx.

Поскольку число молекул N постоянно, мы получим

Среднее значение величины x в теории вероятности дается формулой (2).

Если величина x задается ф-ей , то ур-ние (2) принимает вид:

Напр., , то

46.Распределение Максвелла.Средняя, среднеквадратичная и наивероятная скорости молекул.

Предполагаем, что состояние газа равновесное, рассм. распределение молекул газа по скоростям. Введем воображаемое пр-во скоростей в котором каждой отдельной молекуле в ПДСК будут соответствовать ск-ти ,,, т.е. в этом пространстве каждой молекуле будет соответствовать точка, наз-емаямолекулярной точкой(М.точкой).

В равновесном состоянии молекулы газа движутся хаотично и все направленные движения молекул равноправны и положение м.точек относительно начала координат сферически симметрично. В этом случае плотность М.точек, т.е. число их в единице объема V пр-ва явл-ся ф-ей расстояния от начала координат, т.е. ф-ей модуля ск-ти.

Во сколько раз увеличивается число молекул газа в объеме, во столько же раз возрастает плотность М.точек, а плотность М.точек пропорциональна числу молекул N. Nогда плотность М.точек можно представить в виде функции Nf(v).

Зная вид ф-ции f(v) можно найти число молекул , компоненты скорости которых заключены в пределах интервалов,,, лежащих в окрестности геом. точки с координатами,,.

Если взять объем прямоуг. параллелепипеда со сторонами ,,, то в этом объеме будет нах-ся,,N точек.

Если в соответствии с нашим рисунком рассматривать шаровой слой радиусом V и толщиной dv, то молекулы, находящиеся в этом слое, обладают скоростями, модули которых лежат в интервале от V до V+dv. Чтобы найти число таких молекул, нужно умножить плотность М.точек, соответствующих данному значению, на объем шарового слоя, равный, т.е., гдеf(v) – функция распределения вероятности значений скорости V. Эту ф-ю теоретически получил Максвелл и она имеет вид

Где - масса молекулы

- постоянная Больцмана

- абсолютная температура

Коэф. пропорциональности А определяется из условия , кот. наз. условием нормировки ф-и.

Соответствующий расчет для коэффициента А дает ее значение .

Тогда окончательное выр. для ф-и распределения молекул газа по скоростям запис. в виде:

Эта ф-я наз. ф-ей распределения Максвелла. В этой формуле под знаком стоит выр.т.е. отношение кинетич. эн. молекулы для данной скоростик величине КТ, хар-ющей среднее значение тепловой энергии молекул.

Наиболее вероятной скоростью, которой обладает молекула газа , будет скорость, отвечающаяmax-муму ф-и . Ее значения можно найти приравняв к нулю производную. Исключив из нее коэф-ты, не зависящие от скоростиv : .

Продиф-вав это ур-ние .

Значение, кот. соответствует max-муму наиверостной ск-ти, опред-ся из равенства ;

Из формул для ф-и распределения вероятности для средней арифметической ск-ти мы можем записать , где- значение ск-ти при данной температуреT.

Тогда средняя квадратичная ск-ть и значение ее.